14.3 第1课时 角平分线的性质 课件 (共31张PPT) 2025-2026学年人教版八年级数学上册

(共31张PPT)
第十四章 全等三角形
14.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
情 境 导 入
14.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
对折
问题1 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？
A
O
B
折痕是∠AOB的角平分线.
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新课探究
课堂小结
问题2 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
A
B
D
C
E
新 课 探 究
14.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
问题：如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
A
B
O
提示：角平分仪是怎么实现平分角的？
任务一 尺规作角平分线
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课堂小结
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
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课堂小结
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂
线的方法.
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课堂小结
如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝ ∠AOB.
导引：要作射线OM，使∠AOM＝ ∠AOB，其实质是作 ∠AOB的平分线．
A
B
O
练一练
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角平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB的平分
线OC.在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你
得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
A
B
O
P
C
D
E
任务二 角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
猜想
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课堂小结
已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
验证猜想
一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
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课堂小结
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）点在角平分线上；
（2）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
总结归纳
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课堂小结
(1)∵如下左图,AD平分∠BAC(已知),
∴BD=CD,(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
×
B
A
D
C
(2)∵如上右图,DC⊥AC,DB⊥AB(已知).
∴BD=CD,(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
×
B
A
D
C
判一判
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课堂小结
例1 已知：如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,
DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法．
归纳
典例精析
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课堂小结
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
典例精析
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课堂小结
A
B
C
P
如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段——构造应用
变式
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课堂小结
2、△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1、如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
练习
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新课探究
情境导入
课堂小结
3、如图，在△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：
①AD 上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF．其中，正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
练习
4.用尺规作图作一个已知角的平分线,则能说明∠AOC=∠BOC
的依据是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
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情境导入
课堂小结
5、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．
350
练习
课 堂 小 结
143 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
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课堂小结
新课探究
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
1．(人教8上P48、北师7下P126)用尺规作图：作出已知角的平分线．
已知：如图，∠AOB，求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
(要求：保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，射线OC即为所求作．
答案图
课后练习
2．(人教8上P49、北师8下P28)(2024广东)证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．求证：PD＝PE．
证明：在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE(AAS)，∴PD＝PE．
3．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC＝DC，你能说出BE与DF的数量关系吗？为什么？
解：BE＝DF．理由如下：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
在Rt△DCF和Rt△BCE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BCE(HL)，∴BE＝DF．
小结：根据作图得出OE是∠AOB的平分线，再逐项分析
结论.
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
4．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是
( )
C
A．M点
B．N点
C．P点
D．Q点
5．(2024山东模拟)在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A
小结：根据角平分线的性质得出△BCE的高，再根据公式求面积.
6． (2024汕头期末)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( )
A．8 B．6 C．5 D．4
C
7．(2024湖北一模)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是72 cm2，AB＝14 cm，AC＝10 cm，则DE的长为　 　．
　6 cm　
8． (人教8上P51、北师8下P30)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：∠B＝∠C．
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE＝DF，DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C．
小结：根据角平分线的性质可得DE=DF，则可证△BDE≌△CDF.
9．(北师8下P32)如图，P，E是∠AOB的平分线上的点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：CE＝DE．
证明：∵P是∠AOB的平分线上的点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，∠POC＝∠POD．∵∠POC＋∠CPE＝90°，∠POD＋∠DPE＝90°，∴∠CPE＝∠DPE．
在△CPE和△DPE中，，∴△CPE≌△DPE(SAS)，∴CE＝DE．
10． (北师8下P31改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC＝BE．
(1)求证：AD＝BD；
(2)∠B＝　 　°．
　30　
(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，
∵AC＝BE，∴AE＝BE，
又∠DEA＝∠DEB＝90°，DE＝DE，
∴△DEA≌△DEB(SAS)，∴AD＝BD．
小结：注意列方程求角度或线段长.
★11． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
0.50
解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC．
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE．
在Rt△CDF和Rt△EDB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF＝EB．
设CF＝x，则EB＝x，∴AE＝12－x，
∵AC＝AE，∴8＋x＝12－x，解得x＝2，即CF＝2．
THANK YOU