14.3第2课时 角平分线的性质 课件(共32张PPT) 2025-2026学年人教版八年级数学上册

(共32张PPT)
第十四章 全等三角形
14.3 角平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
情 境 导 入
14.3 角平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题 叙述角平分线的性质定理
O
D
P
A
C
B
E
新 课 探 究
14.3 角平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
O
D
P
A
C
B
E
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新课探究
情境导入
课堂小结
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
几何语言：
猜想:
思考：这个结论正确吗？
任务一 角平分线的判定
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情境导入
课堂小结
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
B
A
D
O
P
E
任务一 角平分线的判定
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情境导入
课堂小结
判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
总结归纳
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课堂小结
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
归纳：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
典例精析
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课堂小结
例2 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点
E，F，BE=CF．求证：AD平分∠BAC．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．
∴DE＝DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
典例精析
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情境导入
课堂小结
如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　)
A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
C
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.
归纳
练一练
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情境导入
课堂小结
例3 【教材P55 习题T6 改编】如图，直线l1 ，l2 ，l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
解：(1)可选择的地点有4处．
任务二 角平分线的应用
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课堂小结
(2)你能画出塔台的位置吗？
(2)能．如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交形成的角的平分线，平分线的交点P1，P2，P3，P4就是所求的点．
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课堂小结
到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(　　)
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．以上均不对
B
M
E
N
A
B
C
P
O
D
变式：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
答案：12
练一练
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情境导入
课堂小结
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
P
C
OP平分∠AOB
PD=PE
P
C
角的平分线的判定
总结归纳
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
新课探究
情境导入
课堂小结
1. 正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(　　)
A．点M B．点N C．点P D．点Q
A
2、如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC D．以上结论都正确
B
练习
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情境导入
课堂小结
3．如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D．
若QC=QD，则∠AOQ= 　35°　 ．
35°　
4.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，
50，60，其三条角平分线交于点O，
则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________.
4 ∶ 5 ∶6
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课堂小结
当堂练习
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE=DC．若∠A=40°，求∠DBC的度数．
解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC.
∵DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上．∴BD平分∠ABC.
∵∠A＝40°，∴∠ABC＝50°.
∴∠DBC＝∠ABC＝25°.
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情境导入
课堂小结
6、如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.
证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N.
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，
∴PM = PQ，PN = PQ，
∴PM = PN.
N
Q
M
又PM⊥AE，PN⊥AF，
∴ AP平分∠BAC.
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
14.3 角平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
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情境导入
课堂小结
新课探究
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
1．(人教8上P50、北师8下P28)证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
已知：如图，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝PD，求证：∠COP＝∠DOP．
证明：在Rt△OCP和Rt△ODP中，，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL)，
∴∠COP＝∠DOP．
课后练习
2．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC( )的交点．
A．角平分线 B．高线
C．中线 D．边的垂线
3．若点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
C
A
4．(人教8上P50、北师8下P32)如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AP平分∠BAC．(提示：过P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M)
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴PQ＝PN，PN＝PM，
∴PQ＝PM，
∵PQ⊥AB，PM⊥AC，
∴AP平分∠BAC．
小结：根据角平分线的性质得到OC平分∠AOB，即可求出答案.
5．如图，∠AOB＝50°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD＝CE，则∠DOC＝　 　．
　25°　
6．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离都相等，则∠P＝　 　°．
　90　
7．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．

证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD．
小结：根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，可知∠CAD=∠BAD，然后根据SAS证明△ADC≌△ADB，即可证明结论.

8．(2024西安模拟)如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．
证明：∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠BFC＝90°，
∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE和△CBF中，，
∴△CDE≌△CBF(AAS)，
∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．
9． (人教8上P52)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠ADC＝130°，求∠MAB的度数．
答案图
解：如图，作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°－∠ADC＝50°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，
又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝25°．
10．(人教8上P56改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
(1)证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．
(2)解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°．
小结：根据角平分线的性质，中转仓应建在任意2个内角的平分线的交点处.

11． (跨学科融合)如图是“一带一路”示意图，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，连接AB，AC，BC，形成一个三角形．若在三角形内建立一个中转仓，使其到AB，BC，CA的距离相等，则中转仓的位置应选在
　 　．
　∠A，∠B的平分线的交点处(答案不唯一)　
★12． (跨学科融合)(人教8上P55、北师8下P32)如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离都相等，则满足条件的油库位置有( )

A．1个 B．2个 C．3个 　 D．4个
0.50
D
THANK YOU