2025-2026学年江苏省宿迁市宿城区项里学校九年级（上）开学数学试卷(答案不全)

2025-2026学年江苏省宿迁市宿城区项里学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A. -x2+2x=3 B. C. x3+2x-1=0 D. x2+2y=2
2.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程变形为（　　）
A. （x+1）2=6 B. （x-1）2=6 C. （x+1）2=9 D. （x-1）2=9
3.已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为4，则⊙O的半径可能是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100°，则∠A的度数为（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
5.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A. 2500(1+x)2=3200 B. 2500(1-x)2=3200
C. 3200(1-x)2=2500 D. 3200(1-x)2=2500
6.如图半径为5的⊙A与y轴交于B（0，2），C（0，10），则点A的坐标为（　　）
A. （3，6）
B. （3，5）
C. （2，4）
D. （2，3）
7.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 6
8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=120°，弦BD平分∠ABC并交AC于点E，弦AC=，连接DA，DC，则⊙O的半径是（　　）
A. 2
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若x=1是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，则m=______．
10.关于x的一元二次方程（x+5）2=m有实数根，则m的取值范围是 .
11.如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为______.
12.已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为______．
13.如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE=CD=4，则⊙O的半径为______．
14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点且∠COD=64°，连接AC、BD并延长交于点E，则∠E的大小为______.
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC= .
16.已知O为△ABC的外心，∠BOC=70°，则∠A= .
17.在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A.直线y=kx-3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为______.
18.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是______.
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C.
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R.
四、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-9=2（x-3）；
（2）x2-5x+3=0.
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1、x2，且x1+2x2=5，求m的值.
22.(本小题8分)
如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD=48°，A为DC延长线上一点，且AB=OC，求∠A的度数.
23.(本小题8分)
如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA=PC.求证：AB=CD.
24.(本小题10分)
某商店经销的某种商品，每件成本价为40元．经市场调研，售价为50元/件，可销售150件；销售单价每提高1元，销售量将减少5件．如果商店将一批这种商品全部售完，盈利了1500元，问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？
25.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且，连接AF.
（1）求证：AF=CD；
（2）连接BF，BD.若AE=2，BF=6，求BD的长.
26.(本小题10分)
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，AC=6，求BD的长.
27.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，设运动时间为t秒.
（1）当t=2时，△DPQ的面积为______cm2；
（2）是否存在一个时刻，使得点Q在DP的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值.
28.(本小题12分)
某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E.求证：BE=DE+AD.
小明同学的思路是：如图2.在BE上截取BF=AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程.
【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD=45°，连接BD，CD.过点A作AE⊥CD，垂足为E.若，求△BCD的周长.
【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请直接写出BE、AD、DE之间的等量关系.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】2
10.【答案】m≥0
11.【答案】6
12.【答案】2或3
13.【答案】2.5
14.【答案】58°
15.【答案】60°
16.【答案】35°或145°
17.【答案】6
18.【答案】
19.【答案】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，
∵BC=16cm，
∴BD=8cm，
∵AB=10cm，
∴AD=6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-6）cm，
∴R2=82+（R-6）2，
解得：R=cm，
∴圆片的半径R为cm．
20.【答案】解：（1）x2-9=2（x-3），
（x+3）（x-3）=2（x-3），
（x+3）（x-3）-2（x-3）=0，
（x-3）（x+3-2）=0，
∴x-3=0或x+3-2=0，
解得：x1=3，x2=-1；
（2）∵a=1，b=-5，c=3，
∴Δ=b2-4ac=（-5）2-4×1×3=13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，．
21.【答案】证明过程见解答；
±1．
22.【答案】解：如图，连接OB，
由AB=OC，得AB=OB，∠AOB=∠A．
由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠EBO=∠A+∠AOB=2∠A．
由OB=OE，得∠E=∠EBO=2∠A．
由∠A+∠E=∠EOD，即∠A+2∠A=48°．
解得∠A=16°．
23.【答案】证明：连接AC、OA、OB、 OC、OD，如图所示，
∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵,
∴∠BOC=∠AOD
∴=，
∴-=-，
∴=，
∴AB=CD．
24.【答案】解：设每件售价为x元，则可售出这种商品[150-5（x-50）]件，
根据题意得：（x-40）[150-5（x-50）]=1500，
整理得：x2-120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70，
当x=50时，150-5（x-50）=150；
当x=70时，150-5（x-50）=50．
答：每件售价为50元时，销售这种商品150件；每件售价为70元时，销售这种商品50件．
25.【答案】（1）证明：∵CD⊥AB于点E，
∴=，
∵，
∴=，
∴AF=CD；
（2）解：连接OC，
∵，
∴OC⊥AF，
∴AH=FH，
∵OA=OB，
∴OH是△ABF的中位线，
∴OH=BF=×6=3，
∵OE⊥CD，CD=AF，
∴OH=OE=3，
∴OA=AE+OE=2+3=5，
∴BE=AB-AE=10-2=8，
∵CE==4，
∴DE=CE=4，
∴BD==4．
26.【答案】（1）证明：连接OD，如图：
∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴BD=CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵OB=OC，
∴DO⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC===10，
由（1）知：△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC=×10=5．
27.【答案】28；
t2=-18+6；
当t=6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上
28.【答案】【问题探究】证明：如图2，在BE上截取BF=AD，连接CA，CB，CD，CF，
∵点C为的中点，
∴，
∴AC=BC，
∵，
∴∠DAC=∠DBC，
在△DAC和△FBC中，
，
∴△DAC≌△FBC（SAS），
∴CD=CF，
又∵CE⊥BD，
∴DE=EF，
∴BE=EF+BF=DE+AD；
【结论运用】解：连接AD，在CE上截取CF=BD，连接AF，如图3，
∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，
∴，
由问题探究可知，△DAB≌△FAC，
∴BD=CF，AD=AF，
∵AE⊥CD，
∴DE=EF，
∴EC=EF+CF=DE+BD，
∴DB+DC=2EC，
在Rt△AEC中，∠ACE=45°，
∴，
∴；
【变式探究】解：BE+AD=DE；理由如下：
点C为优弧ACB的中点，如图4，在线段DE上截取DF=AD，连接CB、CF、CD、CA，
∴，
∴AC=CB，∠ADC=∠BDC，
在△ADC和△FDC中，
，
∴△ADC≌△FDC（SAS），
∴CA=CF，
∵CA=CB，
∴CF=CB，
∵CE⊥BD，
∴BE=EF，
∴DE=DF+EF=BE+AD．
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