2025年山东省青岛市西海岸新区实验中学中考模拟五一培优数学试卷（含答案）

2025年山东省青岛市西海岸新区实验中学五一培优数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
2.皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点.已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（　　）
A. 266 B. 270 C. 271 D. 285
3.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（　　）

A. B.
C. D.
4.将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）
A. ﹣或﹣12 B. ﹣或2 C. ﹣12或2 D. ﹣或﹣12
5.已知整式M：anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0，其中n,an-1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an-1+ +a1+a0=5.下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n,使得满足条件的整式M有且仅有3个；
③满足条件的整式M共有16个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连接CE．下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则=；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+．其中含所有正确结论的选项是（　　）
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
7.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟.
8.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10，AB=8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF=3，则tan∠B'AC′= ．
9.如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y=（k＜0，x＜0）与 ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（-12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是 ．
10.[x]表示不超过x的最大整数.方程[x]=3x-2的解是x= .
11.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.
若AB=AC=，BC=2，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ______；
若AB=2，BC=2，AC=4，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ______.
12.一个各数位均不为0的四位自然数M=，若满足a+d=b+c=9，则称这个四位数为“友谊数”.例如：四位数1278，∵1+8=2+7=9，∴1278是“友谊数”.若是一个“友谊数”，且b-a=c-b=1，则这个数为______；若M=是一个“友谊数”，设F（M）=，且是整数，则满足条件的M的最大值是______.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞-2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.
14.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE.
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.
15.(本小题10分)
如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y=-x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p-q=3，求t的值．
16.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过点（-1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA=4.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D.点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF.当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是______；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB=1，AC=2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】53 28
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】或1
11.【答案】5，2
12.【答案】3456 6273
13.【答案】解：（1）函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到y=x-1，
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y=x-1．
（2）把x=-2代入y=x-1，求得y=-2，
∴函数y=mx（m≠0）与一次函数y=x-1的交点为（-2，-2），
把点（-2，-2）代入y=mx，求得m=1，
∵当x＞-2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=x-1的值，
∴≤m≤1．
14.【答案】解：（1）∵∠DAE=∠BAC=α，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD，
∵M为BC的中点，
∴BM=CM，
∴BE+MD=BM；
（2）如图，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F
由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ABE=∠ABD，
在△BEF和△BHF中，
，
∴△BEF≌△BHF（ASA），
∴BE=BH，
由（1）知：BE+MD=BM，
∴MH=MD，
∵MN∥HF，
∴，
∴EN=DN．

15.【答案】（Ⅰ）解：∵m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x-3）=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴m=-1，n=3，
∴A（-1，0），B（0，3），
把（-1，0），（0，3）代入得，，解得，
∴函数解析式为y=-x2+2x+3．
（Ⅱ）证明：令y=-x2+2x+3=0，即x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A（-1，0），C（3，0），
∴OA=1，OC=3，
∴对称轴为，顶点D（1，-1+2+3），即D（1，4），
∴，，，
∵CD2=DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°，
∴∠AOB=∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，=，，
∴，
∴△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）解：抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，顶点为D（1，4），
（1）在0≤x≤3范围内，
当x=1时，y最大值=4；当x=3时，y最小值=0；
（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x=t时取得最小值q=-t2+2t+3，最大值p=-（t+1）2+2（t+1）+3，
p-q=-（t+1）2+2（t+1）+3-（-t2+2t+3）=3，即-2t+1=3，解得t=-1．
②当t+1=1时，此时p=4，q=3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时p=4，
p-q=4-（-t2+2t+3）=3，即t2-2t-2=0，解得：t1=1+（舍），t2=1-（舍）；
或者p-q=4-[-（t+1）2+2（t+1）+3]=3，即（不合题意，舍去）；
④当t=1时，此时p=4，q=3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x=t时取得最大值p=-t2+2t+3，最小值q=-（t+1）2+2（t+1）+3，
p-q=-t2+2t+3-[-（t+1）2+2（t+1）+3]=3，解得t=2．
综上，t=-1或2．
16.【答案】解：（1）由抛物线的表达式知，OC=4，
∵tan∠CBA=4，则OB=1，
即点B（1，0），
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=-x2-3x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：（-4，0）、（1，0）、（0，4），则点F（，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=x+4，
设点P（x,-x2+3x+4），则点D（x,x+4），
则PD=-x2+3x+4-x-4=-x2-4x,
当x=-2时，PD取得最大值，则点E（-2，0）、D（-2，2），则MN=2，
将点A向右平移2个单位得到点A′（-2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，
则四边形MNA′A为平行四边形，则AM=A′N，
则此时AM+MN+NF=A′N+MN+NF=2+A′F=2+=2+为最小；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，当向左平移m个单位时，则向下平移了m个单位，
则新抛物线的表达式为：y=-（x+m）2+3（x+m）+4-m,
将点D（-2，2）的坐标代入上式得：2=-（-2+m）2+3（-2+m）+4-m,
解得：m=2，
则新抛物线的表达式为：y=-（x+m）2+3（x+m）+4-m=-x2-7x-8，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-4x+4，
当点Q在AC下方时，
∵∠QDK=∠ACB，则DQ∥BC，
则直线DQ的表达式为：y=-4（x+2）+2，
联立上式和新抛物线的表达式得：-4（x+2）+2=-x2-7x-8，
解得：x=-2（舍去）或-1，
即点Q（-1，-2）；
当点Q（Q′）在AC上方时，
同理可得，点H′（-4，），
由点D、H′的坐标得，直线DH′的表达式为：y=-（x+2）+2，
联立上式和新抛物线的表达式得：-（x+2）+2+2=-x2-7x-8，
解得：x=-2（舍去）或-，
即点Q（-，）；
综上，点Q的坐标为：（-1，-2）或（-，）．
17.【答案】解：（1）B2C2．
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y轴，且B′C′=1，
∴AO为B′C′边上的高的2倍，且此高的长为，
∴t=或-．
（3）OA的最小值为1，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为，
由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知AB′=AB=OB′=OC′=1，AC′=AC=2，如图1，
利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，
此时OA=OB′=OC′，
∴∠AB′C=90°，
∴B′C′===．
当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，
此时OA=2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F．
∵AO=AC′=2，AE⊥OC′，
∴OE=EC′=，
∴AE===，
∵S△AOC′= AO C′F= OC′ AE，
∴C′F=，
∴OF===，
∴FB′=OB′-OF=，
∴B′C′===．
综上OA的最小值为1，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为．
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