5.1 导数的概念及其意义 教学设计及课后反思

5．1 导数的概念及其意义（单元教学设计）
一、【单元目标】
（1）通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．
（2）体会极限思想．
（3）通过函数图象直观理解导数的几何意义．
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
本节课面对的学生群体已经具备了一定的数学基础，对函数的概念、性质以及图像有了初步的了解．然而，导数作为一个新的数学概念，对学生来说可能相对抽象和难以理解．因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际出发，通过具体实例来感受导数的产生背景和实际意义．同时，要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生采取不同的教学策略，确保每位学生都能理解并掌握导数的概念及其在计算、解决实际问题中的应用，为后续的数学学习打下坚实的基础．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排：约4课时
教学重点：导数的概念及其几何意义，极限思想．
教学难点：极限思想，导数概念，导数符号．
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
环节一、情景引入，温故知新
情景1：同学们，大家平时在高速路上可能会经常看到“区间测速”的提示牌，这是为了提醒我们司机朋友要安全驾驶．区间测速其实是通过测量你在一段固定路程上所用的时间，来计算出你的平均速度．另外，大家可能也常听到家长们谈论汽车的油耗，比如“你的车几个油？”这里的“几个油”指的是汽车每行驶百公里所消耗的油量．而有些汽车还能显示瞬时油耗，即当前时刻的油耗情况．今天，我们就一起来深入探讨一下生活中的这种变化率问题，看看它是如何在我们身边无处不在地发挥着作用的．
环节二、抽象概念，内涵辨析
1．平均速度
问题1：在高台跳水中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系，
根据上述探究，你能求该运动员在内的平均速度吗
【破解方法】当时，
当时，
当时，；
虽然运动员在这段时间里的平均速度是，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
【归纳新知】平均变化率问题
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
（2）平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：
知识点诠释：
①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为
②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小．
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度．
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即．
知识点诠释：
（1）是的一个“增量”，可用代替，同样．
（2）是一个整体符号，而不是与相乘．
（3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则．
2．瞬时速度
问题2：我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？
【破解方法】由可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了．我们把函数值的增量记为，即，自变量的增量记为，即，这里的可以看成是的一个增量，可用来表示，则平均变化率可记为，我们发现如果时间的增量无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让无限趋近于0．
【归纳新知】
（1）瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
（2）瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度．
（3）瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为，则物体在时刻的瞬时速度为
问题3：在点的附近任取一点，考察抛物线的割线P0P有什么变化趋势？
【破解方法】当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置．
【归纳新知】
切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点P0处的切线，这时，割线的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率．
3．导数的概念
问题4：瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
【破解方法】瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率．实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就大致了解了瞬时变化率在数学中的意义．
【归纳新知】导数的概念
（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数．
②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．
即存在一个常数与无限接近．
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．
（2）求导数值的一般步骤：
①求函数的增量：；
②求平均变化率：；
③求极限，得导数：．
也可称为三步法求导数．
4．导数的几何意义
问题5：导数的几何意义是什么？
【破解方法】我们知道导数f′（x0）表示函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f（x）在x＝x0附近的变化情况，如下图．
容易发现，平均变化率表示的是割线的斜率，当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线，因此函数在处的导数就是切线的斜率，即，这就是导数的几何意义．
【归纳新知】导数几何意义
（1）平均变化率的几何意义——曲线的割线
函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率．
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率．
事实上，．
换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有．
知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．
（2）导数的几何意义——曲线的切线
如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．
定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率．
即：．
知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．
（2）切线斜率的本质———函数在处的导数．
（3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性．
①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直．
②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减．
5．导函数
问题6：如何利用的定义以及函数的概念给出导函数的概念？
【破解方法】如果函数在开区间（a，b）内的每点处都有导数，即任给，总有，从而对开区间（a，b）内的每一个值，都有唯一确定的函数值与对应，所以在开区间（a，b）内，构成一个新的函数——导函数．
【归纳新知】导数的概念
导函数定义：
由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或，
即：
知识点诠释：
函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系．
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．
（2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数．
（3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值．
导函数也简称导数，所以
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值．
导函数求法：
由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：
（1）求函数的改变量．
（2）求平均变化率．
（3）取极限，得导数．
环节三：例题练习，巩固理解
题型一：求函数在某点处的导数
例1．设，求．
【解析】．
题型二：求瞬时速度
例2．将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
【解析】在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为：
，
其意义表示当x＝2 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第2 h附近，原油温度大约以的速率下降．
在第6 h时，原油温度的瞬时变化率为：
，
其意义表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第6 h附近，原油温度大约以的速率上升．
例3．一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
【解析】在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是和．
根据导数的定义，
，
所以．
同理可得．
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是与．
说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加；
在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少．
题型三：利用图象理解导数的几何意义
例4．如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象，根据图象，请描述、比较曲线在，，附近的变化情况．

【解析】我们用曲线从在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
（1）当时，曲线在处的切线平行于t轴，．这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
（3）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．
从图中可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢．
例5．如图是人体血管中药物浓度（单位：）随时间t（单位：）变化的函数图象．根据图象，估计，0．4，0．6，0．8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0．1）．

【解析】血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图，作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率为，
所以．同理可得处药物浓度的瞬时变化率，下表给出了药物浓度的瞬时变
化率的估计值．
t 0．2 0．4 0．6 0．8
药物浓度的瞬时变化率 0．4 0
例6．吹气球时，气球的半径r（单位：）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，气球的瞬时膨胀率．
【解析】函数图象如下所示：
，
则，，
题型四：求切线方程
例7．求曲线在点（处的切线的倾斜角．
【解析】
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
则倾斜角为．
例8．你认为应该怎样定义抛物线在点处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率．
【解析】在点的附任取一点，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置称为抛物线在点处的切线．
抛物线在点处的切线的斜率为
．
环节四：小结提升，形成结构
问题7：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）如何计算平均速度与瞬时速度
（2）割线斜率和切线斜率有什么关系
（3）什么是导数？导数的意义是什么？导数蕴含着什么重要思想？
（4）用导数的定义求函数在处的导数的基本步骤是什么？
（5）导数的几何意义是什么？
【破解方法】学生独立思考、小组交流后，学生代表发言，教师引导完善．
六、【教学成果自我检测】
环节五：目标检测，检验效果
1．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，
即，，，
又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，
故．
故选：A．
2．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，求高台跳水运动员在时的瞬时速度．
【解析】
，
所以， ．
所以，高台跳水运动员在时的瞬时速度为．
3．火箭发射后，其高度（单位：m）为．求：
（1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度；
（2）发射后第时，火箭爬高的瞬时速度．
【解析】（1）因为，
所以在这段时间里，火箭爬高的平均速度为；
（2）因为
所以发射后第时，火箭爬高的瞬时速度．
4．求抛物线在点处的切线方程．
【解析】因为，所以，所以，故切线方程为
5．设，求．
【解析】．
6．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，求质点A在时的瞬时速度．
【解析】由题知，，
当时，
故质点A在时的瞬时速度为10．8
7．求曲线在点处的切线方程．
【解析】由题意知：，则．
所以曲线在点处的切线方程为
【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．
环节六：布置作业，应用迁移
作业：教科书第70页习题5．1第1、3、6、7、10题．
【设计意图】巩固本节课的知识点．
七、【教学反思】
在本次5．1导数的概念及其意义的教学中，我深刻体会到导数作为微积分的基础，其概念的引入和讲解至关重要．我通过实例引导学生理解导数的研究对象是变化率问题，并强调了“运动变化的观点”和“极限思想”在导数定义中的重要性．
在教学过程中，我通过逐步引导，让学生从平均变化率过渡到瞬时变化率，帮助他们建立起对导数概念的直观理解．同时，我也注重导数的几何意义的讲解，通过图形和实例，让学生体会到“以直代曲”的数形结合思想．
然而，我也意识到在教学中还需更加注重学生的参与度，鼓励他们主动思考和提问，以加深对导数内涵和思想的理解．未来教学中，我将继续努力优化教学方法，提高教学效果．
图1