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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
（第4课时）
1．掌握“作一个角等于已知角”的尺规作图方法及原理；
2．会根据“两边及夹角”作三角形，理解作图与SAS判定的联系．
说一说判定两个三角形全等的方法：
1．两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等．
（简写 “边角边”或 “________”）．
2．两角和它们的________分别相等的两个三角形全等．
（简写 “角边角”或 “________”）．
3．两角分别________且其中一组等角的________相等的两个三角形全等． （简写 “角角边”或 “________”）．
4．三边分别_______的两个三角形全等（简写 “边边边”或 “________”）．
夹角
SAS
夹边
ASA
相等
对边
AAS
相等
SSS
利用三角形全等的判定方法，我们再来研究一些尺规作图问题．
思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素．我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？
如图所示，已知角∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB的大小．
分析：对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的．如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB．进而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠AOB的对应角就是要求作的角．
显然，这样的三角形是容易作出的．如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取点C，D，连接C，D，得到△COD，∠AOB就是△COD的一个内角．再作出△C′O′D′，使△C′O′D′≌△COD，则∠C′O′D′＝∠COD＝∠AOB．由此我们得到作一个角∠A′O′B′等于已知角的方法．
为了作图方便，一般取OC＝OD．
作一个角∠A′O′B′等于已知角的方法．
作法：如图所示．
（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D′；
（4）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图．
例1：如图所示，已知直线AB及直线AB外一点C．利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD．
分析：我们知道，同位角相等，两直线平行.可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD.为此需要先作出截线，再作出相等的同位角.
作法：如图所示．
（1）过点C作一条直线，与直线AB相交于点E；
（2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD＝∠CEB；
（3）反向延长CD，得直线CD，则直线CD//AB．
还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图．
例2：如图所示，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α．
作法：如图所示．
（1）作∠DAE＝∠α；
（2）在射线AD上作AB＝a，在射线AE上作AC＝b；
（3）连接BC，则△ABC就是所求作的三角形．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
2．有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的
两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的
两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等
角的对边相等的两个三角形全等
B
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，已知线段a，c和，
求作：，使，，，
作法：（1）如图②，作 ；
（2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ；
（3）如图④，连接，即所求作的三角形．
a
c
【知识技能类练习】选做题：
4．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
已知： ，线段a．
求作：，使．
解：如图，即为所求．
【综合拓展类练习】
5．已知，点是边上一点，
按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程．
(1)画出表示点到的距离的线段和表示到的距离的线段．
(2)用尺规作图在的右侧以点为顶点作；
(3)射线与的位置关系为______，理由是__________.
解：（1）如图，线段即为所求：
（2）如图，即为所作．
平行
同位角相等，两直线平行．
尺规作图
应用
作一个角等于已知角
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法．
（1）作 ；
（2）以点 为圆心，以 的长为半径在射线上画弧，交于点B；
（3）以点 为顶点作 ，交射线于点C，则即为所求作的三角形．
A
a
B
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，已知．求作，使（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
解：如图，即为所求．
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为 ．
【综合拓展类作业】
5．如图，点在的边上，用尺规作图：
以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；
以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；
以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；
作射线．
下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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同步探究学案
课题 14.2 三角形全等的判定（第4课时） 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握“作一个角等于已知角”的尺规作图方法及原理； 2．会根据“两边及夹角”作三角形，理解作图与SAS判定的联系．
重点 掌握“作一个角等于已知角”的尺规作图方法与原理，会按“两边及夹角”作三角形并联系SAS判定。
难点 理解尺规作图背后的三角形全等原理，准确完成作图中弧的半径选取与交点确定。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等．（简写 “边角边”或 “________”）． 2．两角和它们的________分别相等的两个三角形全等．（简写 “角边角”或 “________”）． 3．两角分别________且其中一组等角的________相等的两个三角形全等．（简写 “角角边”或 “________”）． 4．三边分别_______的两个三角形全等（简写 “边边边”或 “________”）
新知探究 本节课来研究： 利用三角形全等的判定方法，我们再来研究一些尺规作图问题． 思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素．我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 如图所示，已知角∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB的大小． 分析：对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的．如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB．进而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠AOB的对应角就是要求作的角．显然，这样的三角形是容易作出的．如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取点____，____，连接C，D，得到△COD，∠AOB就是△COD的一个______．再作出△C′O′D′，使△C′O′D′≌△COD，则∠C′O′D′＝∠COD＝∠_______．由此我们得到作一个角∠A′O′B′等于已知角的方法． 提示：为了作图方便，一般取OC＝OD． 作一个角∠A′O′B′等于已知角的方法． 作法：如图所示． （1）以点O为圆心，任意长为_____作弧，分别交OA，_____于点____，D； （2）作一条射线O′A′，以点O′为_____，_____为半径作弧，交O′A′于点_____； （3）以点C′为____，CD为____作弧，与上一步作的弧相交于点_____； （4）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠_____． 注意：与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图． 例1：如图所示，已知直线AB及直线AB外一点C．利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD． 想一想：能利用“内错角相等，两直线平行”作图吗？ 例2：如图所示，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 2．有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（ ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 3．如图，已知线段a，c和，求作：，使，，， 作法：（1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 选做题： 4．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知： ，线段a． 求作：，使． 【综合拓展类练习】 5．已知，点是边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程． (1)画出表示点到的距离的线段和表示到的距离的线段． (2)用尺规作图在的右侧以点为顶点作； (3)射线与的位置关系为__________，理由是__________；
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法． （1）作 ； （2）以点 为圆心，以 的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点 为顶点作 ，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 2．如图，已知．求作，使（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 3．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为 ． 【综合拓展类作业】 5．如图，点在的边上，用尺规作图： 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点； 以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点； 以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点； 作射线． 下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D．
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分课时教学设计
第五课时《14.2 三角形全等的判定（第4课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生已掌握“作一条线段等于已知线段”的尺规作图方法及三角形全等判定定理（SSS、SAS等）的基础上展开的，属于“尺规作图与三角形全等”的融合应用内容。核心包含两部分：一是以“SSS全等判定”为原理，推导“作一个角等于已知角”的尺规作图步骤，明确该作图是利用构造全等三角形实现角的相等；二是基于“作一个角等于已知角”的基本作图，延伸出两个应用——过直线外一点作已知直线的平行线、按“两边及夹角”作三角形。本节课的内容既是对三角形全等判定定理的具象化应用，也是后续复杂尺规作图（如作三角形、作角平分线等）的重要基础。
学习者分析 学生已具备的基础：掌握“作一条线段等于已知线段”的尺规作图步骤，理解三角形全等的判定定理（SSS、SAS），能识别简单全等三角形并运用性质推导边、角关系，具备初步的几何逻辑推理能力。 存在的潜在问题：一是易“重步骤、轻原理”，可能仅机械记忆“作一个角等于已知角”的操作流程，难以主动关联背后“构造全等三角形”的逻辑；二是动手操作易出错，如作弧时半径选取不一致导致弧的交点偏差；三是将作图与全等判定深度结合存在困难，如在“两边及夹角作三角形”中，难以自主意识到“作角”与“SAS中‘夹角’”的对应关系。
教学目标 1．掌握“作一个角等于已知角”的尺规作图方法及原理； 2．会根据“两边及夹角”作三角形，理解作图与SAS判定的联系．
教学重点 掌握“作一个角等于已知角”的尺规作图方法与原理，会按“两边及夹角”作三角形并联系SAS判定。
教学难点 理解尺规作图背后的三角形全等原理，准确完成作图中弧的半径选取与交点确定。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握“作一个角等于已知角”的尺规作图方法及原理； 2．会根据“两边及夹角”作三角形，理解作图与SAS判定的联系．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说判定两个三角形全等的方法： 1．两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等．（简写 “边角边”或 “________”）． 答案：夹角，SAS 2．两角和它们的________分别相等的两个三角形全等．（简写 “角边角”或 “________”）． 答案：夹边，ASA 3．两角分别________且其中一组等角的________相等的两个三角形全等．（简写 “角角边”或 “________”）． 答案：相等，对边，AAS 4．三边分别_______的两个三角形全等（简写 “边边边”或 “________”）． 答案：相等，SSS 导语：利用三角形全等的判定方法，我们再来研究一些尺规作图问题．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习全等三角形判定方法，为利用三角形全等的判定方法研究尺规作图做好准备。环节三：新知讲解教师活动3： 思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素．我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 如图所示，已知角∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB的大小． 分析：对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的．如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB．进而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠AOB的对应角就是要求作的角． 显然，这样的三角形是容易作出的．如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取点C，D，连接C，D，得到△COD，∠AOB就是△COD的一个内角．再作出△C′O′D′，使△C′O′D′≌△COD，则∠C′O′D′＝∠COD＝∠AOB．由此我们得到作一个角∠A′O′B′等于已知角的方法． 提示：为了作图方便，一般取OC＝OD． 作一个角∠A′O′B′等于已知角的方法． 作法：如图所示． （1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D′； （4）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 指出：与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图． 例1：如图所示，已知直线AB及直线AB外一点C．利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD． 分析：我们知道，同位角相等，两直线平行.可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD.为此需要先作出截线，再作出相等的同位角. 指出：还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图． 例2：如图所示，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α． 作法：如图所示． （1）作∠DAE＝∠α； （2）在射线AD上作AB＝a，在射线AE上作AC＝b； （3）连接BC，则△ABC就是所求作的三角形． 学生活动3： 学生在老师的指导下，与同伴合作探究用直尺和圆规作一个角等于已知角，并归纳并互相补充作图步骤及原理活动意图说明： 通过探究用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图原理及步骤，即让学生掌握基本的尺规作图，又让学生在实际操作过程中进一步体会全等三角形的判定方法的应用，提高学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：14.2 三角形全等的判定（第4课时） 一、尺规作图——作一个角等于已知角 二、应用教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（ ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 答案：B 3．如图，已知线段a，c和，求作：，使，，， 作法：（1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 答案： a c 选做题： 4．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知： ，线段a． 求作：，使． 解：如图，即为所求． 【综合拓展类练习】 5．已知，点是边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程． (1)画出表示点到的距离的线段和表示到的距离的线段． (2)用尺规作图在的右侧以点为顶点作； (3)射线与的位置关系为__________，理由是__________； 解：（1）如图，线段即为所求： （2）如图，即为所作． （3）射线与的位置关系为平行，理由是同位角相等，两直线平行， 故答案为：平行；同位角相等，两直线平行．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法． （1）作 ； （2）以点 为圆心，以 的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点 为顶点作 ，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 答案： A a B 2．如图，已知．求作，使（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 解：如图，即为所求． 3．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 选做题： 4．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为 ． 答案： 【综合拓展类作业】 5．如图，点在的边上，用尺规作图： 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点； 以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点； 以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点； 作射线． 下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C
教学反思 本节课教学中，学生对“作一个角等于已知角”的步骤掌握较好，通过教师演示与小组动手操作，多数学生能独立完成作图，但部分学生对“为何这样作能得到相等角”即全等三角形原理仍模糊，需通过分步拆解全等条件的直观演示强化理解。在“两边及夹角作三角形”环节，学生能顺利关联SAS判定，但部分学生因作弧时半径未与已知线段保持一致，导致三角形边长偏差，后续需增加“定半径”的练习。
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