23.3.3 相似三角形的性质课后培优提升训练（含答案）华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 23.3.3 相似三角形的性质课后培优提升训练（含答案）华东师大版2025—2026学年九年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1009.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-22 07:32:20 | ||
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文档简介
23.3.3相似三角形的性质课后培优提升训练华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．在中，点、分别在边、上，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，点D为边的中点，点E在线段的延长线上，且．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
3．如图，，和分别是和的高，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于、两点．若，则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长分别为和的正方形与并排放在一起，交于点，则的面积是（ ）平方厘米．
A． B． C．18 D．
7．如图，点M是正方形内一点，是等边三角形，连接，对角线交于点N，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？
A． B． C．15 D． E．
二、填空题
9．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，，则的长为 ．
10．如图，在平行四边形中，是边上的一点，交于，若，，则 ．
11．如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ．
12．如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ．
三、解答题
13．如图，梯形中，，对角线，，，，点E是边上一个点，，交于点F、交延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
14．定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点P，D，E分别在，，上，连接，，．
(1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形；
(2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，，求：的值；
(3)如图3，当，，，是的镶嵌相似形，且与不平行时，试求：边的长．
15．如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，．
(1)求证：；
(2)当时，求证：
16．如图，点、分别在的边、上，且．
(1)求证：；
(2)已知，，，求的长．
17．如图，在矩形中，，是射线上一点（不与点重合），连接，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若点是线段的中点，求的值（用含k的代数式表示）；
(3)取的中点，连接，，当，，时，求的长．
18．综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：．
深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值．
拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．B
5．A
6．A
7．D
8．A
二、填空题
9．
10．
11．
12．2
三、解答题
13．【解】（1），
，
，
，
又，，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
又，
．
（2）由勾股定理得，，，
由（1）知，，可得，
，
，
，
，，
，
，
．
14．【解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵P是中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是的镶嵌相似形；
（2）∵是的镶嵌相似形，，
∴也是等腰三角形，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵是的镶嵌相似形，，
①当时，
有，
过点P作于H，作于I，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
设，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵在中，，
∴
∵，
∴，
解得：（舍去负值）
∴；
②当时，
此时，则，
显然不成立，舍去；
综上所述，．
15．【解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
16．【解】（1），
，，
．
（2），
，
由，，
可得，即，
，
．
17．【解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：连接，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵于点，是线段的中点，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
（3）解：∵，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
作，交于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长或．
18．【解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，
四边形是矩形，
∴，．
四边形、四边形都是平行四边形，
，．
又，
，
．
四边形是矩形，
，
，
．
，
，
，
（2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2，
则四边形是平行四边形．
，
是矩形，
，，．
，
由（1）中的结论可得
，
设，，则，，
在中，①，
在中，②，
由得③，
解方程组，
得（不合题意的值已舍），
，
．
（3）过点作，延长交于点，如图，
在中，，，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
一、选择题
1．在中，点、分别在边、上，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，点D为边的中点，点E在线段的延长线上，且．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
3．如图，，和分别是和的高，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于、两点．若，则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长分别为和的正方形与并排放在一起，交于点，则的面积是（ ）平方厘米．
A． B． C．18 D．
7．如图，点M是正方形内一点，是等边三角形，连接，对角线交于点N，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？
A． B． C．15 D． E．
二、填空题
9．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，，则的长为 ．
10．如图，在平行四边形中，是边上的一点，交于，若，，则 ．
11．如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ．
12．如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ．
三、解答题
13．如图，梯形中，，对角线，，，，点E是边上一个点，，交于点F、交延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
14．定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点P，D，E分别在，，上，连接，，．
(1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形；
(2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，，求：的值；
(3)如图3，当，，，是的镶嵌相似形，且与不平行时，试求：边的长．
15．如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，．
(1)求证：；
(2)当时，求证：
16．如图，点、分别在的边、上，且．
(1)求证：；
(2)已知，，，求的长．
17．如图，在矩形中，，是射线上一点（不与点重合），连接，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若点是线段的中点，求的值（用含k的代数式表示）；
(3)取的中点，连接，，当，，时，求的长．
18．综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：．
深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值．
拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．B
5．A
6．A
7．D
8．A
二、填空题
9．
10．
11．
12．2
三、解答题
13．【解】（1），
，
，
，
又，，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
又，
．
（2）由勾股定理得，，，
由（1）知，，可得，
，
，
，
，，
，
，
．
14．【解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵P是中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是的镶嵌相似形；
（2）∵是的镶嵌相似形，，
∴也是等腰三角形，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵是的镶嵌相似形，，
①当时，
有，
过点P作于H，作于I，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
设，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵在中，，
∴
∵，
∴，
解得：（舍去负值）
∴；
②当时，
此时，则，
显然不成立，舍去；
综上所述，．
15．【解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
16．【解】（1），
，，
．
（2），
，
由，，
可得，即，
，
．
17．【解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：连接，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵于点，是线段的中点，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
（3）解：∵，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
作，交于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长或．
18．【解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，
四边形是矩形，
∴，．
四边形、四边形都是平行四边形，
，．
又，
，
．
四边形是矩形，
，
，
．
，
，
，
（2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2，
则四边形是平行四边形．
，
是矩形，
，，．
，
由（1）中的结论可得
，
设，，则，，
在中，①，
在中，②，
由得③，
解方程组，
得（不合题意的值已舍），
，
．
（3）过点作，延长交于点，如图，
在中，，，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．