高中数学选修2-2第一章单元测试

高二理科数学选修2-2第一章单元测验
一、选择题
1.若，则等于( )
A．－1 B．－2 C．－ D．
2.是函数在点处取极值的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 　C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f' (x)的图象可能是( )
4.已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为：( )
A． B． C． D．
5.下列求导运算正确的是:( )
A．(x+ B．(log2x= C．(3x=3xlog3e D．(x2cosx=－2xsinx
6．已知对任意实数，有，且时，，则时：( )
A． B．
C． D．
7．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9.一个物体的运动方程为，的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度
是: .
10.函数的导数为___________．11.函数在区间上的最大值是 ．
12.= .
13.已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是 .
14.已知是在R上的奇函数，，，则不等式的解集
是 .
三、计算题
15.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且.
（1）求的表达式；（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线（）把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值.
16.已知在时有极大值6，在时有极小值，
（1）求的值；（2）求在区间[－3，3]上的最大值和最小值.
17.如图，把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面
为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h所做成的盒子体积V(不计接缝).
（1）写出体积V与高h的函数关系式；（2）当为多少时，体积V最大，最大值是多少？
18．（本小题满分13分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
19.(本题满分14分)已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3．
（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1992对于x∈[－1，4]恒成立；
（3）令．是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？
20．已知函数
（1）若处取得极值？若能，求出实数的值，否则说明理由；
（2）若函数内各有一个极值点，试求的取值范围。
21．已知函数（），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．①求的值；②设、是函数的图象上两点，（ 为的导函数），证明：．
22．已知函数. ①若b=2，且存在单调递减区间，求a的取值范围.②设函数的图像C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ中点做x轴垂线分别交C1、C2于点M、N，证明，C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
参考答案1-4：ABAC 5-8：BBDC 9. 5m/s； 10. ； 11.； 12. ；13.； 14.
15. 解：（1）设，则，由已知，
所以，所以 又方程有两个相等的实根
所以，即 所以
（2）依题意知：
所以
所以 即，于是
16.解：（1）由条件知

（2）
x
－3
(－3,－2)
－2
(－2,1)
1
(1,3)
3
＋
0
－
0
＋
↗
6
↘
↗
由上表知，在区间[－3，3]上，当时，时，
17．解：（1）六棱柱的底边长（ ）cm， 底面积为（）cm2
∴体积V＝＝
（2）V′＝得或（舍去）
∴当cm时V有最大值cm3
18.解：（1）．则切线方程为：，即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．
记 ，则 ．当变化时，变化情况如下表：
0
0
0
极大值
极小值
由的大致图象，当极大值或极小值时，方程有三个实数根；
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，
则 即．
19．解：（1）= 依题意得k==3+2a=－3， ∴a=－3
，把B（1，b）代入得b= ∴a=－3，b=－1
（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3 f（－1）=－3，f（4）=17 ∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1992 ∴A≥2009．
(3)已知g（x）=－ ∴
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0， 当t＞3时，t－3x2＞0， ∴g（x）在上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
当0≤t≤3时, 令=0,得x=
列表如下:
x
（0, ）
＋
0
－
g（x）
↗
极大值
↘
g（x）在x=处取最大值－＋t=1 ∴t==＜3 ∴x=＜1
③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数， ∴g（x）在上为增函数，
∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1．
20．解：（1）由题意， …………2分
若
即 函数为单调递增函数。
这与该函数能在处取得极值矛盾，所以该函数不能在取到极值。……5分
（2）因为函数在区间（-1，2），（2，3）内各有一个极值点。
所以（-1，2），（2，3）内各有一个实根。
…………8分
画出不等式表示的区域如图所示，将，
当变化时，它表示斜率为轴上的截距为的一组不行线。
当直线向上移动时，截距增大，减小，于是当目标函数过点N（-5，6），对应的最小；当目标函数过点M（-2，-3），对应的最大。
所以的取值范围是…………12分
21.解：（1）因为，所以．…………3分
因为h（x）在区间上是增函数，所以在区间上恒成立．
若0lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．所以a>1．由恒成立，又存在正零点，
故△＝（－2lna）2－4lna＝0，所以lna＝1，即a＝e．……7分
（2）由（Ⅰ），，于是，．……9分
以下证明． （※）（※）等价于．……11分
令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，…………13分
r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数．
当x1对于同理可证……16分 所以．
22．解：（1）
（2）设点P，Q的坐标分别为， 则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为，C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行 则
则
令 ①
则 因为t>1,r′（t）>0,所以在上单调递增，故 则这与①矛盾，所以假设不成立，故原结论成立。