第8章 函数应用（单元测试.含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第8章 函数应用
一、选择题（共17小题，每小题0分，满分0分）
1．函数f（x）＝2x在定义域内的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数f（x）的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数，若方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，3） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）
4．函数f（x）＝xlg（x+2）﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k＝　 　 ．
5．函数f（x）＝x2﹣2x的零点个数是　 　 个．
6．已知函数f（x）若函数g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点，求实数m的取值范围．
7．若关于x的方程x2+（a+1）x+2a＝0的两个互异实数根均在（﹣1，1）内，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，3﹣2] B．（0，3+2）
C．（0，3﹣2]∪[3+2，+∞） D．（0，1）
8．已知函数f（x）＝（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．
（Ⅰ）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α β的值．
9．某企业生产的一种电器的固定成本（即固定投资）为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本（即另增加投资）25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入（R）与销售量（t）的关系可用抛物线表示如图
（注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本+可变成本，精确到1台和0.01万元）
（1）写出销售收入（R）与销售量（t）之间的函数关系R＝f（t）；
（2）认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．
10．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae﹣nt，桶2中的水量就是y2＝（a﹣ae﹣nt）升，桶1与桶2的大小和形状相同，假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等，则桶1中的水量为升时，需再经过 　 　 分钟．
11．已知关于x的方程2kx2﹣2x﹣3k﹣2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．
12．函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣log4|x|的零点个数是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
14．若定义在R上的奇函数f（x），满足当x≥0时，f（x）则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）
A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a
15．x0是x的方程ax＝logax（0＜a＜1）的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是　 　 ．
16．已知函数的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是　 　 ．
17．由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是
P，
日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q＝﹣t+40（t≤30，t∈N*）．
（Ⅰ）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；（商品的日销售额＝该商品每件的销售价格×日销售量）
（Ⅱ）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？
第8章 函数应用
参考答案与试题解析
一、选择题（共17小题，每小题0分，满分0分）
1．函数f（x）＝2x在定义域内的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用函数的定义域，结合函数的单调性，判断函数零点个数即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
当x＜0时，f（x）＜0，当x＞0时，f（x）＞0；
所以函数f（x）没有零点，
故选：A．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，是中档题．
2．函数f（x）的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】可以利用零点的定义分别求出零点，或者利用图象法观察函数与x轴交点的个数．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝0得x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，函数的零点是x＝﹣3，
当x＞0时，由f（x）＝0得﹣2+lnx＝0，即lnx＝2，解得x＝e2．
所以函数f（x）的零点个数为2个．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的个数，可以直接使用定义求解方程f（x）＝0根的个数即可．
3．已知函数，若方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，3） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）
【分析】结合方程f（x）＝a有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f（x）的图象即可获得解答．
【解答】解：由题意可知：函数f（x）的图象如下：
由关于x的方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数解，
可知函数y＝a与函数y＝f（x）有三个不同的交点，
由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）．
故选：D．
【点评】此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想．
4．函数f（x）＝xlg（x+2）﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k＝　1　 ．
【分析】函数f（x）＝xlg（x+2）﹣1在其定义域上连续，从而利用零点的判定定理判断即可得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝xlg（x+2）﹣1在其定义域上连续，
f（2）＝2lg4﹣1＞0，f（1）＝lg3﹣1＜0；
故f（1） f（2）＜0，
故函数f（x）＝xlg（x+2）﹣1的零点在区间（1，2）上，
因为函数f（x）＝xlg（x+2）﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，
所以k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数零点存在的条件是解决本题的关键．
5．函数f（x）＝x2﹣2x的零点个数是　3　 个．
【分析】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答时，可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．
【解答】解：由题意可知：
要研究函数f（x）＝x2﹣2x的零点个数，
只需研究函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数即可．
画出函数y＝2x，y＝x2的图象
由图象可得有3个交点．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．
6．已知函数f（x）若函数g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点，求实数m的取值范围．
【分析】利用函数的零点个数，转化为函数的图象解得的个数，利用数形结合，转化求解即可．
【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣m＝0，
可得：f（x）＝m，
画出函数y＝f（x）与y＝m的图象，
函数y＝f（x）与y＝m的图象的交点个数就是函数g（x）＝f（x）﹣m的零点个数．
因为函数g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点，
所以函数y＝f（x）与y＝m的图象有四个交点，
由图可知，要使函数y＝f（x）与y＝m的图象有四个交点，
实数m的取值范围是（0，1）．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．若关于x的方程x2+（a+1）x+2a＝0的两个互异实数根均在（﹣1，1）内，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，3﹣2] B．（0，3+2）
C．（0，3﹣2]∪[3+2，+∞） D．（0，1）
【分析】利用函数的零点与方程根的关系，通过数形结合，转化求解即可．
【解答】解：关于x的方程x2+（a+1）x+2a＝0的两个互异实数根均在（﹣1，1）内，
令y＝x2+（a+1）x+2a，由题意可知，函数的两个不同的零点均在（﹣1，1）内，作出函数的大致图象，如图所示，
则
解得0＜a＜3﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8．已知函数f（x）＝（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．
（Ⅰ）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α β的值．
【分析】（Ⅰ）转化g（t）＝t2+4t+m，t∈[﹣3，2]g（t）在t∈（0，2]时有零点g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0＝﹣2，根据二次函数求解得出即即可．
（Ⅱ）根据二次函数得出，运用韦达定理求解即可，方程g（t）＝t2+4t+m＝0的两根t1+t2＝﹣4，即再运用对数求解即可，，
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．
令t＝log2x，
∵x∈[，4]，∴t∈[﹣3，2]
则 由已知，若f（x）存在大于1的零点，即g（t）在t∈（0，2]时有零点g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0＝﹣2，
所以若g（t）在t∈（0，2]时有零点，即 ﹣12≤m＜0
即m的取值范围为[﹣12，0），
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的零点，
即g（t）在t∈[﹣3，2]
时有两个相异零点
∴g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0＝﹣2
∴
即m的取值范围为[3，4），
此时，方程g（t）＝t2+4t+m＝0的两根t1+t2＝﹣4
即，
【点评】本题综合考查了函数的性质，不等式，方程，函数的零点的求解，属于中档题，关键是确定相应的函数解析式，以及范围．
9．某企业生产的一种电器的固定成本（即固定投资）为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本（即另增加投资）25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入（R）与销售量（t）的关系可用抛物线表示如图
（注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本+可变成本，精确到1台和0.01万元）
（1）写出销售收入（R）与销售量（t）之间的函数关系R＝f（t）；
（2）认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可
（2）结合二次函数的性质，利用配方法进行求解即可
【解答】解：（1）由图可知：R＝a（t﹣5）2，
由t＝0时，R＝0，得a．
∴R＝f（t）（t﹣5）2，（0≤t≤5）；
（2）年纯收益yt2+5ttt2，
当t4.75时，y取得最大值10.78万元．
故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．
【点评】本题主要考查函数的应用问题，结合一元二次函数的数学模型，以及一元二次函数最值性质是解决本题的关键．
10．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae﹣nt，桶2中的水量就是y2＝（a﹣ae﹣nt）升，桶1与桶2的大小和形状相同，假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等，则桶1中的水量为升时，需再经过 　10　 分钟．
【分析】由题意建立方程求出e﹣n，设再经过t0分钟，桶1中的水量为升，如何建立方程即可求解．
【解答】解：由题意得ae﹣5n＝a﹣ae﹣5n，解得e﹣n，
设再经过t0分钟，桶1中的水量为升，
则a，则，即3，解得t0＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
11．已知关于x的方程2kx2﹣2x﹣3k﹣2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．
【分析】利用函数的零点与方程根的关系，结合函数的图象，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：令f（x）＝2kx2﹣2x﹣3k﹣2，要使方程f（x）＝0的两个实根一个小于1，
另一个大于1，则函数f（x）的大致图象只能如图所示．
所以或即或解得k＞0或k＜﹣4．
故实数k的取值范围是{k|k＜﹣4或k＞0}．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
12．函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点
【解答】解：由于函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0，
所以f（0）f（1）＜0，
故函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，
故选：B．
【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．
13．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣log4|x|的零点个数是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】在同一个坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与函数y＝log4|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求．
【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），故函数的周期为2．
当x∈[0，1]时，f（x）＝x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．
函数y＝f（x）﹣log4|x|的零点的个数等于函数y＝f（x）的图象与函数y＝log4|x|的图象的交点个数．
在同一个坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与函数y＝log4|x|的图象，如图所示：
显然函数y＝f（x）的图象与函数y＝log4|x|的图象有6个交点，
故选：D．
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
14．若定义在R上的奇函数f（x），满足当x≥0时，f（x）则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）
A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a
【分析】利用分段函数，结合函数的图象，利用函数的对称性，求解函数零点和即可．
【解答】解：根据分段函数的解析式和奇函数图象的对称性作出函数f（x）在R上的图象和y＝a（0＜a＜1）的图象，
如图，
由图可知函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）共有5个零点，其中最左边两个零点之和为﹣6，最右边两个零点之和为6，
中间一个零点x是方程log2（1﹣x）＝a的根，解得x＝1﹣2a，故所有零点之和为﹣6+1﹣2a+6＝1﹣2a．
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．
15．x0是x的方程ax＝logax（0＜a＜1）的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是　a＜x0＜1　 ．
【分析】显然方程ax＝logax不能用代数方法研究．利用数形结合的思想，先分别作函数y＝ax及y＝logax的图象，如图，它们的交点为P（x0，y0），结合图形得出结论即可．
【解答】解：根据题意，分别作函数y＝ax及y＝logax的图象
如图，它们的交点为P（x0，y0），易见x0＜1，y0＜1，
而y0logax0即logax0＜1＝logaa，又0＜a＜1，
∴x0＞a，即a＜x0＜1．
故答案为：a＜x0＜1．
【点评】本题查图象法求方程根的问题，对于本题这样的特殊方程解的问题通常是借助相关的函数图象交点的问题来研究．
16．已知函数的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是　x1＜x2＜x3　 ．
【分析】由于函数的零点分别为x1，x2，x3，即函数令y1＝2x，y2＝lnx，与函数y＝﹣x的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，作出函数的图象，结合函数的图象可判断
【解答】解：令y1＝2x，y2＝lnx，，y＝﹣x
∵函数的零点分别为x1，x2，x3
函数令y1＝2x，y2＝lnx，与函数y＝﹣x的交点的横坐标分别作出函数的图象
，结合图象可得x1＜x2＜x3
故答案为：x1＜x2＜x3
【点评】本题主要考查了方程的零点的大小的判断，解题的关键是结合函数的图象，体现了方程与函数的相互转换及数形结合的数学思想的应用．
17．由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是
P，
日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q＝﹣t+40（t≤30，t∈N*）．
（Ⅰ）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；（商品的日销售额＝该商品每件的销售价格×日销售量）
（Ⅱ）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？
【分析】（I）y＝PQ，分段写出y关于x的函数；
（II）利用二次函数性质和函数单调性分段求出y的最大值，得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）当t＜25，t∈N×时，y＝（t+20）（﹣t+40）＝﹣t2+20t+800，
当25≤t≤30，t∈N×时，y＝45（﹣t+40）＝﹣45t+1800．
∴y．
（Ⅱ）当0＜t＜25时，y＝﹣t2+20t+800＝﹣（t﹣10）2+900，
故当t＝10时，y有最大值900；
当25≤t≤30时，y＝﹣45t+1800为减函数，
故当t＝25时，y有最大值675，
故所求日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大．
【点评】本题考查了分段函数的解析式与函数最值的计算，属于中档题．
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