第1章 集合（培优卷.含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第1章 集合
一、单选题
1．（5分）下列判断正确的个数为（　　）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，B＝{2，5，7}，则A∩（ UB）＝（　　）
A．{5} B．{1，3，7} C．{1，3，6} D．{1，3，5，7}
3．（5分）设集合M＝{x|﹣1≤x＜2}，N＝{x|x﹣k≤0}，若M N，则k的取值范围是（　　）
A．k≤2 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k≥2
4．（5分）已知集合U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x∈Z|x2+x≤0}关系的韦恩（Venn）图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）非空集合X＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，Y＝{x|1≤x≤16}，使得X （X∩Y）成立的所有a的集合是（　　）
A．{a|3≤a≤7} B．{a|0≤a≤7} C．{a|3＜a≤7} D．{a|a≤7}
6．（5分）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）
A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩ IS D．（M∩P）∪ IS
7．（5分）已知全集U，有下列命题：
①若A∩B＝U，则A＝B＝U；
②若A∪B＝ ，则A＝B＝ ；
③若A∩B＝ ，则 UA∪ UB＝U；
④若A∩B＝ ，则A＝B＝ ；
⑤若A∪B＝U，则 UA∩ UB＝ ；
⑥若A∪B＝U，则A＝B＝U．
其中正确的命题是（　　）
A．没有 B．①②③⑤ C．仅有②和⑤ D．仅有①和③
8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝ ；
（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、多选题
（多选）9．（5分）下列与集合M＝{（x，y）|}表示同一个集合的有（　　）
A．{（2，﹣1）} B．{2，﹣1}
C．{（x，y）|x＝2，y＝﹣1} D．{x＝2，y＝﹣1}
E．{（﹣1，2）}
（多选）10．（5分）下列命题，错误的是（　　）
A．空集没有子集
B．任何集合至少有两个子集
C．空集是任何集合的真子集
D．若 A，则A≠
（多选）11．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2a﹣3＜x＜a﹣2}，下列命题正确的是（　　）
A．不存在实数a使得A＝B B．存在实数a使得A B
C．当a＝4时，A B D．当0≤a≤4时，B A
E．存在实数a使得B A
（多选）12．（5分）设非空集合S R．若x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S是封闭集．下列结论正确的是（　　）
A．有理数集Q是封闭集
B．若S是封闭集，则S一定是无限集
C．一定是封闭集
D．若S1，S2是封闭集，则S1∪S2一定是封闭集
三、填空题
13．（5分）由大于﹣3且小于11的偶数组成的集合用描述法表示为　 　 ．
14．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，且B A，则实数a＝　 　 ．
15．（5分）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S A且S∩B≠ 的集合S有　 　 个．
16．（5分）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B有k个元素，且B A，若所有可能的B的各个元素之和是210，则k的所有可能值为 　 　 ．
四、解答题
17．（12分）已知集合A中有三个元素：a﹣3，2a﹣1，a2+1，集合B中也有三个元素：0，1，x．
（1）若﹣3∈A，求a的值；
（2）若x2∈B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A＝B？
18．（12分）写出下列每组中集合之间的关系：
（1）A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|﹣1＜x＜2}；
（2）A＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n+1，n∈N*}；
（3）A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
（4）A＝{x|﹣1≤x＜3，x∈Z}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
19．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}．
（1）若B A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；
（2）若A B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；
（3）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}．
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
21．（12分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）当m＝﹣1时，求A∪B；
（2）若A B，求实数m的取值范围；
（3）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
22．（10分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，集合B＝{x|x2﹣3ax+2a2＝0}．
（1）求使A∩B＝B的实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使A∩B≠ 成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
23．已知S＝{1，2，…，n}，A S，T＝{t1，t2} S，记Ai＝{x|x＝a+ti，a∈A}（i＝1，2），用|X|表示有限集合X的元素个数．
（Ⅰ）若n＝5，A＝{1，2，5}，A1∩A2＝ ，求T；
（Ⅱ）若n＝7，|A|＝4，则对于任意的A，是否都存在T，使得A1∩A2＝ ？说明理由；
（Ⅲ）若|A|＝5，对于任意的A，都存在T，使得A1∩A2＝ ，求n的最小值．
第1章 集合
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）下列判断正确的个数为（　　）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用集合中元素的确定性、互异性直接求解．
【解答】解：在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；
在（2）中，若a，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；
在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；
在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查集合中元素的确定性、互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，B＝{2，5，7}，则A∩（ UB）＝（　　）
A．{5} B．{1，3，7} C．{1，3，6} D．{1，3，5，7}
【分析】进行补集和交集的运算即可．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，5，6}，B＝{2，5，7}，
∴ UB＝{1，3，4，6}，
∴A∩（ UB）＝{1，3，6}．
故选：C．
【点评】本题考查了列举法的定义，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5分）设集合M＝{x|﹣1≤x＜2}，N＝{x|x﹣k≤0}，若M N，则k的取值范围是（　　）
A．k≤2 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k≥2
【分析】集合M＝{x|﹣1≤x＜2}，N＝{x|x﹣k≤0}＝{x|x≤k}，M N，利用子集定义能求出结果．
【解答】解：∵集合M＝{x|﹣1≤x＜2}，
N＝{x|x﹣k≤0}＝{x|x≤k}，
M N，
∴k≥2．
故选：D．
【点评】本题考查集合的包含关系的判断及其应用，解题时要认真审题，注意集合思想的合理运用．
4．（5分）已知集合U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x∈Z|x2+x≤0}关系的韦恩（Venn）图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】求出集合N的等价条件，判断两个集合的元素的关系即可得到结论．
【解答】解：N＝{x∈Z|x2+x≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤0}＝{﹣1，0}，
则N M，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合关系的判断，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键．
5．（5分）非空集合X＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，Y＝{x|1≤x≤16}，使得X （X∩Y）成立的所有a的集合是（　　）
A．{a|3≤a≤7} B．{a|0≤a≤7} C．{a|3＜a≤7} D．{a|a≤7}
【分析】由条件X （X∩Y）可知X Y，然后根据集合关系求解a的取值范围即可．
【解答】解：∵X （X∩Y）成立，
∴X Y成立．
∵X≠ ，要使X Y，
则，
即，
∴3≤a≤7，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合关系的判断，将条件X （X∩Y）转化为X Y是解决本题的关键，利用数轴是解决集合关系的基本方法．
6．（5分）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）
A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩ IS D．（M∩P）∪ IS
【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．
【解答】解：图中的阴影部分是：
M∩P的子集，
不属于集合S，属于集合S的补集
即是 IS的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩ IS
故选：C．
【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．
7．（5分）已知全集U，有下列命题：
①若A∩B＝U，则A＝B＝U；
②若A∪B＝ ，则A＝B＝ ；
③若A∩B＝ ，则 UA∪ UB＝U；
④若A∩B＝ ，则A＝B＝ ；
⑤若A∪B＝U，则 UA∩ UB＝ ；
⑥若A∪B＝U，则A＝B＝U．
其中正确的命题是（　　）
A．没有 B．①②③⑤ C．仅有②和⑤ D．仅有①和③
【分析】由交集与并集的运算说明①②正确；画图说明③④；由集合的运算性质判断⑤；举例说明⑥错误．
【解答】解：已知全集为U，
①若A∩B＝U，则A＝B＝U，故①正确；
②若A∪B＝ ，则A＝B＝ ，故②正确；
③④若A∩B＝ ，如图，
则 UA∪ UB＝U，故③正确；④A＝B＝ 错误；
⑤若A∪B＝U，则 UA∩ UB＝ U（A∪B）＝ ，故⑤正确；
⑥取U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，满足A∪B＝U，A＝B＝U不成立，故⑥错误．
∴正确的命题是①②③⑤．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查集合的有关运算，是基础题．
8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝ ；
（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．
【解答】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1 A，5 B，
此时（A，B）有1个，
若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则2 A，4 B，
此时有4，
若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3 A，3 B，不满足题意，
若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则4 A，2 B，
即2∈A，4∈B，此时有4，
若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则5 A，1 B，
即1∈A，5∈B，此时有1，
故有序集合对（A，B）的个数是1+4+4+1＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．
二、多选题
（多选）9．（5分）下列与集合M＝{（x，y）|}表示同一个集合的有（　　）
A．{（2，﹣1）} B．{2，﹣1}
C．{（x，y）|x＝2，y＝﹣1} D．{x＝2，y＝﹣1}
E．{（﹣1，2）}
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
【解答】解：，解得x＝2，y＝﹣1，
故与集合M＝{（x，y）|}表示同一个集合的有{（2，﹣1）}，{（x，y）|x＝2，y＝﹣1}．
故选：AC．
【点评】本题主要考查集合相等，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列命题，错误的是（　　）
A．空集没有子集
B．任何集合至少有两个子集
C．空集是任何集合的真子集
D．若 A，则A≠
【分析】根据已知条件，结合空集，子集，真子集的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，空集是其本身的子集，故A错误，
对于B，空集只有一个子集，故B错误，
对于C，空集是任何非空集合的真子集，故C错误，
对于D，若 A，空集是任何非空集合的真子集，
则A≠ ，故D正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查空集，子集，真子集的定义，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2a﹣3＜x＜a﹣2}，下列命题正确的是（　　）
A．不存在实数a使得A＝B B．存在实数a使得A B
C．当a＝4时，A B D．当0≤a≤4时，B A
E．存在实数a使得B A
【分析】直接利用集合间的关系，不等式组的解法的应用判断A、B、C、D、E的结论．
【解答】解：对于A选项，由相等集合的概念可得解得a＝2且a＝4，得此方程组无解，故不存在实数a使得集合A＝B，因此A正确；
对于B选项，由A B，得 即，此不等式组无解，因此B错误；
对于C选项，当a＝4时，得B＝{x|5＜x＜2}为空集，不满足A B，因此C错误；
对于D选项，当2a﹣3≥a﹣2，即a≥1时，B＝ A，符合B A；当a＜1时，要使B A，需满足解得2≤a≤4，不满足a＜1，
故这样的实数a不存在，则当0≤a≤4时B A不正确，因此D错误；
对于E选项，由D选项分析可得存在实数a使得B A，因此E正确．
综上AE选项正确．
故选：AE．
【点评】本题考查的知识要点：集合间的关系，不等式组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）设非空集合S R．若x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S是封闭集．下列结论正确的是（　　）
A．有理数集Q是封闭集
B．若S是封闭集，则S一定是无限集
C．一定是封闭集
D．若S1，S2是封闭集，则S1∪S2一定是封闭集
【分析】直接利用定义性问题和集合的运算的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：有理数集Q，相加，相减，相乘还为有理数，故A正确；
对于B：若S＝{0}，则0±0＝0,0×0＝0，故S为封闭集，故B错误；
对于C：S，任取，，
所以，，
．，故C正确；
对于D：若a1，b1∈S1，a2，b2∈S2，
a1+b1∈S1，a1﹣b1∈S1，a1b1∈S1，
a2+b2∈S2，a2﹣b2∈S2，a2b2∈S2，
但是a1+a2，b1+b2，....不一丁属于S1∪S2不一定是封闭集，故D错误。
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：定义性问题，集合的相关的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）由大于﹣3且小于11的偶数组成的集合用描述法表示为　{x|x＝2n，﹣2＜n＜6，n∈Z}　 ．
【分析】利用描述法的定义即可得到结论．
【解答】解：根据描述法的定义可知：大于﹣3且小于11的偶数组成的集合为：
{x|x＝2n，﹣2＜n＜6，n∈Z}，
故答案为：{x|x＝2n，﹣2＜n＜6，n∈Z}
【点评】本题主要考查集合的表示方法，要求熟练掌握描述法和列举法表示集合，比较基础．
14．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，且B A，则实数a＝　或0或﹣1　 ．
【分析】求出集合A＝{﹣1，4}，B＝{x|ax﹣1＝0}，且B A，当a＝0时，B＝ ，成立；当a≠0时，B＝{}，从而1或4，由此能求出实数a的值．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＝0}＝{﹣1，4}，B＝{x|ax﹣1＝0}，且B A，
当a＝0时，B＝ ，成立；
当a≠0时，B＝{}，
∴1或4，
解得a＝﹣1或a，
∴实数a的值为或0或﹣1．
故答案为或0或﹣1．
【点评】本题考查集合的包含关系，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S A且S∩B≠ 的集合S有　56　 个．
【分析】因为集合S为集合A的子集，而集合A的元素有6个，所以集合A的子集有26个，又集合S与集合B的交集不为空集，所以集合S中元素不能只有1，2，3，把不符合的情况舍去，即可得到满足题意的S的个数．
【解答】解：集合A的子集有：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，…，{1，2，3，4，5，6}， ，共64个；
又S∩B≠ ，B＝{4，5，6，7，8}，
所以S不能为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 共8个，
则满足S A且S∩B≠ 的集合S的个数是64﹣8＝56．
故答案为56；
【点评】此题考查学生掌握子集的计算方法，理解交集的意义，是一道基础题．
16．（5分）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B有k个元素，且B A，若所有可能的B的各个元素之和是210，则k的所有可能值为 　3或4　 ．
【分析】分别考虑k＝1，2，3，4，5，然后得出结论．
【解答】解：当k＝1时，B＝{1}，{2}，{3}，{4），{5}，{6），元素和为：1+2+3+4+5+6＝21，不符；
当k＝2时，B＝{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，每个数字出现5次，元素和为：21×5＝105，不符：
当k＝3时，B＝{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，6}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，6}，{1，4，5}，{1，4，6}，{1，5，6}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，4，5}，{2，4，6}，{2，5，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{4，5，6}，每个数字出现10次，元素和为：21×10＝210，符合；
当k＝4时，B＝{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，3，6}，{1，2，4，5}，{1，2，4，6}，{1，2，5，6}，{1，3，4，5}，{1，3，4，6}，{1，3，5，6}，{1，4，5，6}，{2，3，4，5}，{2，3，4，6}，{2，3，5，6}，{2，4，5，6}，{3，4，5，6}，每个数字出现10次，元素和为：21×10＝210，符合；
当k＝5时，B＝{1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，3，4，5，6}，每个数字出现5次，元素和为：21×5＝105，不符合．
故k的所有可能值为3或4．
故答案为：3或4．
【点评】本题考查集合间的关系的应用，采用列举法的时候，最好可以按照从小到大或者从大到小的顺序去列举，避免造成遗漏，属于基础题．
四、解答题
17．（12分）已知集合A中有三个元素：a﹣3，2a﹣1，a2+1，集合B中也有三个元素：0，1，x．
（1）若﹣3∈A，求a的值；
（2）若x2∈B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A＝B？
【分析】（1）若﹣3∈A，则a﹣3＝﹣3或2a﹣1＝﹣3，再结合集合中元素的互异性，能求出a的值．
（2）当x取0，1，﹣1时，都有x2∈B，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数x的值．
（3）a2+1≠0，若a﹣3＝0，则a＝3，A＝{0，5，10}≠B，若2a﹣1＝0，则a，A＝{0，，}≠B，由此求出不存在实数a，x，使A＝B．
【解答】解：（1）集合A中有三个元素：a﹣3，2a﹣1，a2+1，﹣3∈A，
∴a﹣3＝﹣3或2a﹣1＝﹣3，
解得a＝0或a＝﹣1，
当a＝0时，A＝{﹣3，﹣1，1}，成立；
当a＝﹣1时，A＝{﹣4，﹣3，2}，成立．
∴a的值为0或﹣1．
（2）集合B中也有三个元素：0，1，x．x2∈B，
当x取0，1，﹣1时，都有x2∈B，
∵集合中的元素都有互异性，∴x≠0，x≠﹣1，
∴x＝﹣1．
∴实数x的值为﹣1．
（3）∵集合中的元素都有互异性，∴x≠0且x≠1，
a2+1≠0，
若a﹣3＝0，则a＝3，A＝{0，5，10}≠B，
若2a﹣1＝0，则a，A＝{0，，}≠B，
∴不存在实数a，x，使A＝B．
【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）写出下列每组中集合之间的关系：
（1）A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|﹣1＜x＜2}；
（2）A＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n+1，n∈N*}；
（3）A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
（4）A＝{x|﹣1≤x＜3，x∈Z}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
【分析】（1）将两个集合在数轴上表示出来，看得到答案；
（2）当n∈N*时，由列举法可得答案；
（3）由图形的特点可画出Venn图，可得答案；
（4）依题意可得答案．
【解答】解：（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有B A；
（2）当n∈N*时，由x＝2n﹣1知x＝1，3，5，7，9，…
由x＝2n+1知x＝3，5，7，9，…
故A＝{1，3，5，7，9，…}，B＝{3，5，7，9，…}，因此B A；
（3）由图形的特点可画出Venn图，如图所示，从而可得D B A C；
（4）依题意可得：A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，1，2}，所以B A．
【点评】本题考查集合之间的关系，属于基础题．
19．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}．
（1）若B A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；
（2）若A B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；
（3）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据B A得出B＝ 或B≠ 时B是A的子集进行解答即可．
（2）化简后的基础上，借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m的范围．
（2）两个集合相等，则x的取值范围相等．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，
由B A得：，或B＝ 即m+1＞2m﹣1
解得：2≤m≤3，或m＜2．
所以实数m的取值范围是（﹣∞，3]；
（2）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，
由A B得：，
解得：3≤m≤4，
所以实数m的取值范围是[3，4]；
（3）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，
由A＝B得：，
无解，
所以实数m∈ ．
【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了不等式的解法，是基础题．
20．（12分）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}．
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【分析】（1）若A中只有一个元素，表示方程ax2+2x+1＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，
（2）A为空集，表示方程ax2+2x+1＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．
【解答】解：（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1＝0有且只有一个实根，
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件，此时x
当a≠0，此时Δ＝4﹣4a＝0，解得：a＝1，此时x＝﹣1
（2）若A是空集，
则方程ax2+2x+1＝0无解
此时Δ＝4﹣4a＜0，解得：a＞1
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a＝0或a≥1
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2+2x+1＝0根的情况，是解答本题的关键．
21．（12分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）当m＝﹣1时，求A∪B；
（2）若A B，求实数m的取值范围；
（3）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
【分析】（1）m＝﹣1时，求出B，计算A∪B；
（2）由A B列出关于m的不等式组，求出求得m的取值范围；
（3）讨论m的取值，使A∩B＝ 成立．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，B＝{x|2m＜x＜1﹣m}＝{x|﹣2＜x＜2}，且A＝{x|1＜x＜3}，
∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}；
（2）∵A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
由A B知：，
解得m≤﹣2，
所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]；
（3）由A∩B＝ 得：
①若2m≥1﹣m，则，此时B＝ ，符合题意，
②若2m＜1﹣m，则，需，或；
解得，或 ，即；
综上知：m≥0；
即实数m的取值范围是[0，+∞）．
【点评】本题考查了集合的运算以及分类讨论思想的应用问题，是易错题．
22．（10分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，集合B＝{x|x2﹣3ax+2a2＝0}．
（1）求使A∩B＝B的实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使A∩B≠ 成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解x2﹣3ax+2a2＝0可得x＝2a或x＝a，从而由题意可得﹣2＜2a＜4，﹣2＜a＜4；从而解得；
（2）可得﹣2＜2a＜4或﹣2＜a＜4；从而解得．
【解答】解：（1）解x2﹣3ax+2a2＝0得，
x＝2a或x＝a；
∵A∩B＝B，
∴﹣2＜2a＜4，﹣2＜a＜4；
解得，﹣1＜a＜2；
（2）由（1）知，存在；
﹣2＜2a＜4或﹣2＜a＜4；
解得，﹣2＜a＜4．
【点评】本题考查了集合的化简与运算，同时考查了集合的包含关系的应用．
23．已知S＝{1，2，…，n}，A S，T＝{t1，t2} S，记Ai＝{x|x＝a+ti，a∈A}（i＝1，2），用|X|表示有限集合X的元素个数．
（Ⅰ）若n＝5，A＝{1，2，5}，A1∩A2＝ ，求T；
（Ⅱ）若n＝7，|A|＝4，则对于任意的A，是否都存在T，使得A1∩A2＝ ？说明理由；
（Ⅲ）若|A|＝5，对于任意的A，都存在T，使得A1∩A2＝ ，求n的最小值．
【分析】（Ⅰ）由已知可得t1﹣t2≠a﹣b，其中a，b∈A，t1，t2相差2，由此分析求解即可；
（Ⅱ）当A＝{1，2，5，7}时，t1，t2不可能相差1，2，3，4，5，6，即可判断得到答案；
（Ⅲ）因为，故集合A中的元素的差的绝对值至多由10种，分别研究n≥12，n＝11，n＝10，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）若A1∩A2＝ ，则t1﹣t2≠a﹣b，其中a，b∈A，否则t1+a＝t2+b，A1∩A2≠ ，
又n＝5，A＝{1，2，5}，2﹣1＝1，5﹣2＝3，5﹣1＝4，则t1，t2相差2，
所以T＝{1，3}或T＝{2，4}或T＝{3，5}；
（Ⅱ）不一定存在．
当A＝{1，2，5，7}时，2﹣1＝1，5﹣1＝4，5﹣2＝3，7﹣1＝6，7﹣2＝5，7﹣5＝2，
则t1，t2不可能相差1，2，3，4，5，6，
这与T＝{t1，t2} {1，2，3，4，5，6}矛盾，故不都存在T；
（Ⅲ）因为，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，
当n≥12时，结论都成立；
当n＝11时，不存在A S，|A|＝5，使得A中任意两个元素差不同，所以当n＝11时，结论成立；
当n＝10时，若A＝{1，3，6，9，10}，则不存在T；
综上所述，n的最小值为11．
【点评】本题考查了新定义问题，涉及了最值问题的求解，解题的关键是正确理解题意，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
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