第三章 幂、指数与对数（单元测试.含解析）2025-2026学年上教版（2020）数学必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章 幂、指数与对数（单元测试.含解析）2025-2026学年上教版（2020）数学必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 66.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-21 12:30:20 | ||
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文档简介
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第三章 幂、指数与对数
一、选择题
1．将a2b＝N（a＞0且a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．blogaN B．bN
C．N＝2 D．b＝loga．
2．已知a、b、c均大于1，且logca logcb，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c
3．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则下列说法一定成立的是（ ）
A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．log23×log25＝log215
C．210﹣29＝29 D．
二、填空题
5．将化为分数指数幂的形式为 ．
6．计算： ．
7．已知a2（a＞0），则a＝ ．
8．已知4a＝8，2m＝9n＝6，且，则a+b＝ ．
9．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）＝lga+lgb，则 ，lg（a﹣1）+lg（b﹣1）＝ ．
10．方程2x2的解为x＝ ．
11．记An＝logn+1（n+2）（n∈{N*）．观察下列算式：
A1 A2＝log23×log34＝2；
A1 A2 … A6＝log23×log34×…×log78＝3；
……
若A1 A2 … Am＝2020，则m＝ ．
12．关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k＝0有两个不等实根，则实数k的取值范围是 ．
13．正数a、b、c满足条件：（lgab） （lgbc）＝﹣1，则的取值范围是 ．
三、解答题
14．（1）计算（log2125+log425+log85） （log52+log254+log1258）的值．
（2）已知tan（π+α）＝2，α是第三象限角，求的值．
15．（1）已知33，求的值；
（2）计算：log3lg25+lg4+7log72﹣ln1．
第三章 幂、指数与对数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．将a2b＝N（a＞0且a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．blogaN B．bN
C．N＝2 D．b＝loga．
【答案】D
【分析】根据对数的换底公式及对数的运算性质、指数式与对数式的互化即可判断每个选项的正误．
【解答】解：∵a2b＝N，
∴2b＝logaN，
∴，．
故选：D．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
2．已知a、b、c均大于1，且logca logcb，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c
【答案】B
【分析】由对数函数的性质和基本不等式化简已知的方程，再利用对数的运算进行化简，即可选出正确的答案．
【解答】解：∵a、b、c均大于1，且logca logcb，
∴logca、logcb大于零，
则logca logcb，即，
∴或，当且仅当logca＝logcb，即a＝b时取等号，
∵a、b、c均大于1，∴，解得ab≥c，
故选：B．
【点评】本题考查了对数函数的性质，对数的运算，以及基本不等式的应用，属于基础题．
3．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则下列说法一定成立的是（ ）
A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1
C． D．
【答案】A
【分析】推导出（x1+x2）（）≥4，e，由此能推导出1．
【解答】解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），
∴e，
而（x1+x2）（）＝11≥2+24．
即（x1+x2）（）≥4，
又e，
∴1．
故选：A．
【点评】本题考查有理数指数幂，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．log23×log25＝log215
C．210﹣29＝29 D．
【答案】C
【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误．
【解答】解：A．m＜n时不成立，不正确；
B．log23×log25log215，不正确．
C.210﹣29＝2 29﹣29＝29，正确
D.，因此不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题
5．将化为分数指数幂的形式为 ．
【答案】．
【分析】利用指数幂与根式的互化求解即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了指数幂与根式的互化，属于基础题．
6．计算： 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用对数的性质，把等价转化为（log26﹣log23），由此能求出结果．
【解答】解：
＝（log26﹣log23）
＝1
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
7．已知a2（a＞0），则a＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】利用对数的运算性质求解．
【解答】解：∵a2（a＞0），
∴a，
∴a1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．
8．已知4a＝8，2m＝9n＝6，且，则a+b＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对数的运算和性质即可求出．
【解答】解：4a＝8，2m＝9n＝6，
∴a＝log48，
∴m＝log26，n＝log96，
∴log62，log69
∴b＝log62log69＝1
∴a+b，
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的运算和性质，属于基础题．
9．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）＝lga+lgb，则 1 ，lg（a﹣1）+lg（b﹣1）＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：若a＞1，b＞1，且lg（a+b）＝lga+lgb，
可得a+b＝ab，
则1，
lg（a﹣1）+lg（b﹣1）＝lg（﹣a﹣b+ab+1）＝lg1＝0．
故答案为：1；0．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
10．方程2x2的解为x＝ log2（1） ．
【答案】log2（1）．
【分析】分当x≥0、x＜0利用换元法分别求解即可．
【解答】解：当x≥0时，原方程等价于2x2，
令t＝2x，t≥1，
即有t2 t2﹣2t﹣1＝0，
解得t＝1或t＝1（舍），
即有2x＝1，
解得x＝log2（1）；
当x＜0时，原方程等价于2x2x﹣2x＝2，
此式显然不成立，
综上所述x＝log2（1）．
故答案为：log2（1）．
【点评】本题考查了指数函数的性质、利用换元法解方程，属于中档题．
11．记An＝logn+1（n+2）（n∈{N*）．观察下列算式：
A1 A2＝log23×log34＝2；
A1 A2 … A6＝log23×log34×…×log78＝3；
……
若A1 A2 … Am＝2020，则m＝ 22020﹣2 ．
【答案】22020﹣2．
【分析】根据条件可得出，然后即可求出m的值．
【解答】解：∵An＝logn+1（n+2），
∴A1 A2 A3 ... Am＝log23 log34 log45 ... logm+1（m+2），
∴lg（m+2）＝2020lg2＝lg22020，
∴22020＝m+2，
∴m＝22020﹣2．
故答案为：22020﹣2．
【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
12．关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k＝0有两个不等实根，则实数k的取值范围是 （0，1）∪（1，+∞） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得x＝1为方程的一个根，则方程的另一个根为x＞0且x≠1，若k＝1，推出方程只有一解x＝1；讨论x＞1，0＜x＜1，分离参数k，求出右边函数的范围和单调性，即可得到所求k的范围．
【解答】解：关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k＝0，
显然x＝1，k﹣2ln1﹣k＝0成立；
则方程的另一个根为x＞0且x≠1，
若k＝1，则方程为x2﹣2lnx﹣1＝0，
由y＝x2﹣2lnx﹣1，导数为2x，
可得x＝1为极小值点也为最小值点，
则x2﹣2lnx﹣1＝0只有一解x＝1．
当x＞1时，方程可化为k，
由f（x），x＞1，
f′（x），
令g（x）＝2x4xlnx，x＞1，
可得g′（x）＝24（1+lnx）2﹣4lnx，
显然g′（x）在x＞1递减，即有g′（x）＜g′（1）＝0，
则g（x）在x＞1递减，即有g（x）＜g（1）＝0，
即有f（x）在（1，+∞）递减；
同样当0＜x＜1时，f（x）递减，
且有f（x）＞0在x＞0且x≠1恒成立，
则当k＞0且k≠1时，原方程有两个不等实根．
故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查方程的根的情况，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，考查函数的单调性，以及运算能力，属于中档题．
13．正数a、b、c满足条件：（lgab） （lgbc）＝﹣1，则的取值范围是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设x＝lg（bc），根据题意和指数式与对数的互化求出，再对x的范围分两类利用基本不等式求x，再由指数函数的性质求出的取值范围．
【解答】解：设x＝lg（bc），则由题意得，lg（ab），
由对数的定义得，bc＝10x，ab，∴，
当x＞0时，由基本不等式得，x2，
又因y＝10x在定义域上是增函数，所以100，
当x＜0时，则﹣x2，即x2，同理可求：
综上，所求的取值范围是 （0，]∪[100，+∞）．
故答案为：．
【点评】本题的考点是指数式和对数互化的应用，即用指对互化的式子将对数的真数用幂的形式表示出来，利用基本不等式和指数函数的单调性求出范围，一定注意基本不等式的条件：“一正二定三相等”．
三、解答题
14．（1）计算（log2125+log425+log85） （log52+log254+log1258）的值．
（2）已知tan（π+α）＝2，α是第三象限角，求的值．
【答案】（1）13；
（2）．
【分析】（1）由已知结合对数的运算性质进行化简即可求解；
（2）由已知结合诱导公式及同角商的关系进行化简即可求解．
【解答】解：（1）（log2125+log425+log85） （log52+log254+log1258）
＝（3log25+log25log25） （log52+log52+log52）3log52＝13；
（2）因为tan（π+α）＝tanα＝2，α是第三象限角，
所以．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，还考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
15．（1）已知33，求的值；
（2）计算：log3lg25+lg4+7log72﹣ln1．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）对两边平方即可求出的值，进而求出的值，并求出，从而得出答案；
（2）进行对数的运算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，，，，
∴；
（2）原式．
【点评】本题考查了完全平方式的运用，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第三章 幂、指数与对数
一、选择题
1．将a2b＝N（a＞0且a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．blogaN B．bN
C．N＝2 D．b＝loga．
2．已知a、b、c均大于1，且logca logcb，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c
3．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则下列说法一定成立的是（ ）
A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．log23×log25＝log215
C．210﹣29＝29 D．
二、填空题
5．将化为分数指数幂的形式为 ．
6．计算： ．
7．已知a2（a＞0），则a＝ ．
8．已知4a＝8，2m＝9n＝6，且，则a+b＝ ．
9．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）＝lga+lgb，则 ，lg（a﹣1）+lg（b﹣1）＝ ．
10．方程2x2的解为x＝ ．
11．记An＝logn+1（n+2）（n∈{N*）．观察下列算式：
A1 A2＝log23×log34＝2；
A1 A2 … A6＝log23×log34×…×log78＝3；
……
若A1 A2 … Am＝2020，则m＝ ．
12．关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k＝0有两个不等实根，则实数k的取值范围是 ．
13．正数a、b、c满足条件：（lgab） （lgbc）＝﹣1，则的取值范围是 ．
三、解答题
14．（1）计算（log2125+log425+log85） （log52+log254+log1258）的值．
（2）已知tan（π+α）＝2，α是第三象限角，求的值．
15．（1）已知33，求的值；
（2）计算：log3lg25+lg4+7log72﹣ln1．
第三章 幂、指数与对数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．将a2b＝N（a＞0且a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．blogaN B．bN
C．N＝2 D．b＝loga．
【答案】D
【分析】根据对数的换底公式及对数的运算性质、指数式与对数式的互化即可判断每个选项的正误．
【解答】解：∵a2b＝N，
∴2b＝logaN，
∴，．
故选：D．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
2．已知a、b、c均大于1，且logca logcb，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c
【答案】B
【分析】由对数函数的性质和基本不等式化简已知的方程，再利用对数的运算进行化简，即可选出正确的答案．
【解答】解：∵a、b、c均大于1，且logca logcb，
∴logca、logcb大于零，
则logca logcb，即，
∴或，当且仅当logca＝logcb，即a＝b时取等号，
∵a、b、c均大于1，∴，解得ab≥c，
故选：B．
【点评】本题考查了对数函数的性质，对数的运算，以及基本不等式的应用，属于基础题．
3．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则下列说法一定成立的是（ ）
A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1
C． D．
【答案】A
【分析】推导出（x1+x2）（）≥4，e，由此能推导出1．
【解答】解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），
∴e，
而（x1+x2）（）＝11≥2+24．
即（x1+x2）（）≥4，
又e，
∴1．
故选：A．
【点评】本题考查有理数指数幂，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．log23×log25＝log215
C．210﹣29＝29 D．
【答案】C
【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误．
【解答】解：A．m＜n时不成立，不正确；
B．log23×log25log215，不正确．
C.210﹣29＝2 29﹣29＝29，正确
D.，因此不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题
5．将化为分数指数幂的形式为 ．
【答案】．
【分析】利用指数幂与根式的互化求解即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了指数幂与根式的互化，属于基础题．
6．计算： 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用对数的性质，把等价转化为（log26﹣log23），由此能求出结果．
【解答】解：
＝（log26﹣log23）
＝1
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
7．已知a2（a＞0），则a＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】利用对数的运算性质求解．
【解答】解：∵a2（a＞0），
∴a，
∴a1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．
8．已知4a＝8，2m＝9n＝6，且，则a+b＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对数的运算和性质即可求出．
【解答】解：4a＝8，2m＝9n＝6，
∴a＝log48，
∴m＝log26，n＝log96，
∴log62，log69
∴b＝log62log69＝1
∴a+b，
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的运算和性质，属于基础题．
9．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）＝lga+lgb，则 1 ，lg（a﹣1）+lg（b﹣1）＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：若a＞1，b＞1，且lg（a+b）＝lga+lgb，
可得a+b＝ab，
则1，
lg（a﹣1）+lg（b﹣1）＝lg（﹣a﹣b+ab+1）＝lg1＝0．
故答案为：1；0．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
10．方程2x2的解为x＝ log2（1） ．
【答案】log2（1）．
【分析】分当x≥0、x＜0利用换元法分别求解即可．
【解答】解：当x≥0时，原方程等价于2x2，
令t＝2x，t≥1，
即有t2 t2﹣2t﹣1＝0，
解得t＝1或t＝1（舍），
即有2x＝1，
解得x＝log2（1）；
当x＜0时，原方程等价于2x2x﹣2x＝2，
此式显然不成立，
综上所述x＝log2（1）．
故答案为：log2（1）．
【点评】本题考查了指数函数的性质、利用换元法解方程，属于中档题．
11．记An＝logn+1（n+2）（n∈{N*）．观察下列算式：
A1 A2＝log23×log34＝2；
A1 A2 … A6＝log23×log34×…×log78＝3；
……
若A1 A2 … Am＝2020，则m＝ 22020﹣2 ．
【答案】22020﹣2．
【分析】根据条件可得出，然后即可求出m的值．
【解答】解：∵An＝logn+1（n+2），
∴A1 A2 A3 ... Am＝log23 log34 log45 ... logm+1（m+2），
∴lg（m+2）＝2020lg2＝lg22020，
∴22020＝m+2，
∴m＝22020﹣2．
故答案为：22020﹣2．
【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
12．关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k＝0有两个不等实根，则实数k的取值范围是 （0，1）∪（1，+∞） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得x＝1为方程的一个根，则方程的另一个根为x＞0且x≠1，若k＝1，推出方程只有一解x＝1；讨论x＞1，0＜x＜1，分离参数k，求出右边函数的范围和单调性，即可得到所求k的范围．
【解答】解：关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k＝0，
显然x＝1，k﹣2ln1﹣k＝0成立；
则方程的另一个根为x＞0且x≠1，
若k＝1，则方程为x2﹣2lnx﹣1＝0，
由y＝x2﹣2lnx﹣1，导数为2x，
可得x＝1为极小值点也为最小值点，
则x2﹣2lnx﹣1＝0只有一解x＝1．
当x＞1时，方程可化为k，
由f（x），x＞1，
f′（x），
令g（x）＝2x4xlnx，x＞1，
可得g′（x）＝24（1+lnx）2﹣4lnx，
显然g′（x）在x＞1递减，即有g′（x）＜g′（1）＝0，
则g（x）在x＞1递减，即有g（x）＜g（1）＝0，
即有f（x）在（1，+∞）递减；
同样当0＜x＜1时，f（x）递减，
且有f（x）＞0在x＞0且x≠1恒成立，
则当k＞0且k≠1时，原方程有两个不等实根．
故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查方程的根的情况，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，考查函数的单调性，以及运算能力，属于中档题．
13．正数a、b、c满足条件：（lgab） （lgbc）＝﹣1，则的取值范围是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设x＝lg（bc），根据题意和指数式与对数的互化求出，再对x的范围分两类利用基本不等式求x，再由指数函数的性质求出的取值范围．
【解答】解：设x＝lg（bc），则由题意得，lg（ab），
由对数的定义得，bc＝10x，ab，∴，
当x＞0时，由基本不等式得，x2，
又因y＝10x在定义域上是增函数，所以100，
当x＜0时，则﹣x2，即x2，同理可求：
综上，所求的取值范围是 （0，]∪[100，+∞）．
故答案为：．
【点评】本题的考点是指数式和对数互化的应用，即用指对互化的式子将对数的真数用幂的形式表示出来，利用基本不等式和指数函数的单调性求出范围，一定注意基本不等式的条件：“一正二定三相等”．
三、解答题
14．（1）计算（log2125+log425+log85） （log52+log254+log1258）的值．
（2）已知tan（π+α）＝2，α是第三象限角，求的值．
【答案】（1）13；
（2）．
【分析】（1）由已知结合对数的运算性质进行化简即可求解；
（2）由已知结合诱导公式及同角商的关系进行化简即可求解．
【解答】解：（1）（log2125+log425+log85） （log52+log254+log1258）
＝（3log25+log25log25） （log52+log52+log52）3log52＝13；
（2）因为tan（π+α）＝tanα＝2，α是第三象限角，
所以．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，还考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
15．（1）已知33，求的值；
（2）计算：log3lg25+lg4+7log72﹣ln1．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）对两边平方即可求出的值，进而求出的值，并求出，从而得出答案；
（2）进行对数的运算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，，，，
∴；
（2）原式．
【点评】本题考查了完全平方式的运用，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
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