2.2基本不等式同步练习卷（含解析）

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2.2基本不等式同步练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知，则函数的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
2．已知正实数a、b满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．5 D．9
3．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（　　）
A．8 B． C．9 D．
4．函数 （ ）的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．5
5．若x>0，y>0，且 ，则xy有（　　）
A．最大值64 B．最小值 C．最小值 D．最小值64
6．已知正实数x，y，则“”是“”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，且，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
8．若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． 或
C． D． 或
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知 为非零实数，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．且，则的可能取值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
11．设 ， 且 ，那么（　　）
A．a+b有最小值 B．a+b有最大值
C．ab有最大值 D．ab有最小值
三、填空题(共3题；共15分)
12．函数 的最小值为　 　，此时的x的取值为　 　.
13．已知 ，且 ，则 的最小值为　 　．
14．已知正实数x，y满足：，则的最小值为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．（1）已知 ，求 的最小值，并求取到最小值时x的值；
（2）已知 ， ， ，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
16．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
17．已知正实数 ， 满足
（1） ，求 的最大值；
（2） 且 ，求 的最小值．
18．
（1）已知 ，求 的最小值；
（2）已知 ，求 的最大值.
19．
（1）已知 ，求函数 的最大值；
（2）已知 (正实数集)，且 ，求 的最小值；
（3）已知 ， ，且 ，求 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.
故答案为：D.
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解函数的最小值.
2．【答案】B
【解析】【解答】，当且仅当时等号成立.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，再利用基本不等式求出 的最小值 。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
4．【答案】C
【解析】【解答】
当且仅当 即 时，上式取等号
（ ）的最小值为
故答案为：C.
【分析】函数可变形成，再整体利用基本不等式即可得出答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：因为 ，且，
故答案为：D
【分析】利用均值不等式得出xy的最小值。
6．【答案】B
【解析】【解答】，当且仅当等号成立，所以充分性成立，
当时，，此时，所以必要性不成立.
故答案为：B.
【分析】由，利用基本不等式，结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
7．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以，令，则且
，代入中得：
当即时取“=”，
所以最小值为1.
故答案为：B
【分析】令，则且，，再利用基本不等式即可求出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】因为 ，
取等号时 ，所以 ，
因为不等式 有解，所以 ，
所以 或 ，
故答案为：B.
【分析】先根据条件求解出 ，然后根据不等式有解得到 ，由此求解出 的取值范围.
9．【答案】B,C
【解析】【解答】对于 ，当 时， ，故 不正确；
对于 ， ，即 ，故 正确；
对于 ， ，即 ，故 正确；
对于 ，当 异号时， ，故 不正确.
故答案为：BC
【分析】对于A，当 时， 不正确；对于 ，作差分析可知 正确；对于 ，作差分析可知C符合题意；对于 ，当 异号时， 不正确.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】，
当且仅当即时等号成立，取得最小值，
所以的不可能为，可能取值为，
故答案为：BCD.
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】由 得： （当且仅当 时取等号），
即 且 ，解得： ，
有最小值 ，知A符合题意；
由 得： （当且仅当 时取等号），
即 且 ，解得： ，
有最小值 ，知 正确.
故答案为：AD.
【分析】先利用 可求出a+b有最小值 ，再 可得 有最小值 .
12．【答案】6；1
【解析】【解答】因为 ，所以由基本不等式 得：
，当且仅当 ，即 时取到等号
故答案为：6，1
【分析】 根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可.
13．【答案】4
【解析】【解答】 ， ，
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ，解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
14．【答案】
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】由已知条件变式可得从而令，再由，代入由基本不等式即可求解。
15．【答案】（1）解：已知 ，
则： ，
故： ，
当且仅当： ，
解得： ，
即：当 时，y的最小值为7
（2）解：已知 ， ， ，
则： ，
解得： ，
即： ，
解得： ， 时，xy的最大值为6．
【解析】【分析】（1）根据题意得出 ，再利用基本不等式的关系式的变换得出结果。
（2）首先根据题意得出 ，再利用基本不等式的关系式的变换得出结果。
16．【答案】（1）解：因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8
（2）证明：因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，
所以.
【解析】【分析】（1）根据题意和基本不等式求出 的最小值；
（2）由，结合基本不等式即可证得 ．
17．【答案】（1）由 ，则有 （ 时等号成立），
即 ，所以 ，所以 的最大值为 .
（2）由 ，有 ，
因为 ，且 ， 均为正实数，所以 ，
从而
，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
【解析】【分析】（1）由基本不等式即可求出 的最大值；
（2）根据题意结合，基本不等式的性质分析得到，从而求得最小值．
18．【答案】（1） ，
，
当且仅当 时取等号；
所以 的最小值为12；
（2） ，
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为-1.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值 。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值 。
19．【答案】（1）解： ， ，故 ．
．
，
，
当且仅当 ，即 或 (舍)时，等号成立，
故当 时， ．
（2）解： ， ， ，
．
当且仅当 ，且 ，即 时等号成立，
∴当 ， 时， ．
（3）解： ，
当且仅当 ，即 ， 时取最大值，
所以 有最大值 ．
【解析】【分析】(1) 将 再对 进行基本不等式求最值即可. (2)利用 ，再展开用基本不等式即可.(3)利用 在 中拼凑出 再利用基本不等式即可.
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