2024-2025学年河南省开封市通许县九年级（上）期末数学试卷(含答案)

2024-2025学年河南省开封市通许县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（每题3分，共30分）
1．（3分）下列式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，AB＝4，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根．则2024﹣2a+2b的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2022 D．2023
4．（3分）从﹣2，﹣1，+1，0，2，五个数中任选一个数作为m的值，能使得x2﹣2mx+4是关于x的完全平方式的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（　　）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
7．（3分）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
8．（3分）如图，点G是△ABC的重心，若S△BGC＝6cm2，则S△ABC为（　　）
A．12cm2 B．18cm2 C．54cm D．24cm
9．（3分）平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题。（每题3分，共15分）
11．（3分）计算： 　 　．
12．（3分）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的周长为 　 　．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD＝1，那么tan∠BCD＝　 　．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值的和是　 　．
15．（3分）如图，P是边长为3的等边△ABC边AB上一动点，沿过点P的直线折叠∠B，使点B落在AC上，对应点为D，折痕交BC于E，点D是AC的一个三等分点，PB的长为　 　．
三、解答题.（共75分）。
16．（8分）计算．
（1）；
（2）．
17．（8分）解方程．
（1）x2﹣6x﹣6＝0；
（2）2x2﹣x﹣15＝0．
18．（9分）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．
请结合图中信息，解决下列问题：
（1）求此次调查中接受调查的人数．
（2）求此次调查中结果为非常满意的人数．
（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．
19．（10分）为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度（指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比）i＝3：4．已知斜坡CD度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
20．（10分）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（kg）与售价x（元/kg）之间的关系如图所示，其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若该种商品的成本为40元/kg，则该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
21．（10分）如图，在 ABCD中，过B作BE⊥CD于点E，连结AE，F为AE上一点，且∠AFB＝∠D．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）若AD＝6，∠BAE＝30°，求BF的长．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线l：x＝﹣1，且与y轴的交点坐标为（0，﹣1），直线l与x轴相交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．
①当四边形APBC为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出PB＜PA时，m的取值范围．
23．（10分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
特例解析：
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；
类比探究：
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°，求证：．
2024-2025学年河南省开封市通许县九年级（上）期末数学试卷
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．B 9．D 10．B
11． 12．19或21或23 13．1 14．﹣4 15．或
16．解：（1）原式＝1+1﹣224
＝﹣2；
（2）原式＝4（1）
＝43﹣1
2．
17．解：（1）x2﹣6x﹣6＝0，
x2﹣6x+9＝6+9，
（x﹣3）2＝15，
则x﹣3，
所以．
（2）2x2﹣x﹣15＝0，
（x﹣3）（2x+5）＝0，
则x﹣3＝0或2x+5＝0，
所以．
18．解：（1）∵满意的有20人，占40%，
∴此次调查中接受调查的人数：20÷40%＝50（人）；
（2）此次调查中结果为非常满意的人数为：50﹣4﹣8﹣20＝18（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有2种情况，
∴选择的市民均来自甲区的概率为：．
19．解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
∵AF⊥BC，AD∥EF，
∴DE＝AF，
设AF＝3x米，
∵斜面AB的坡度i＝3：4，
∴，
∴BF＝4x米，
由勾股定理得：AB5x米，
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米．
∵sinC，
∴DE＝CD sinC≈20×0.31＝6.2（米），
∴AF＝DE＝6.2米，即3x＝6.2米，
∴x，
则AB＝5x10.3米，
答：斜坡AB的长约为10.3米．
20．解：（1）设y＝kx+b，
把（50，100），（80，40）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣2x+200；
（2）设该电商每天获得的利润是W元，
W＝y（x﹣40）
＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，50≤x≤80，
∴当x＝70时，W有最大值＝1800．
答：该电商售价定为70元/kg时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED．
又∵∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD．
（2）解：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°
在Rt△ABE中，
cos∠BAE．
∵∠BAE＝30°，
∴．
∵△ABF∽△EAD．
∴．
∴．
∵AD＝6．
∴BF＝63．
即BF的长为3．
22．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线l：x＝﹣1，
∴1，
∴b＝2，
∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣1；
（2）①∵点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，PA⊥x轴，PB⊥l，点P的横坐标为m，
∴m＞﹣1，
∴AC＝|m﹣（﹣1）|＝m+1，PA＝|m2+2m﹣1|，
当四边形APBC为正方形时，PA＝AC，
∴|m2+2m﹣1|＝m+1，
∴m2+m﹣2＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣2（不符合题意，舍去），
或者m2+3m＝0，
解得m3＝0，m4＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴m的值为1或0；
②根据①可知：当m＝1或m＝0时，PB＝PA，
∴当0＜m＜1时，PB＞PA，
∵m＞﹣1，
∴当﹣1＜m＜0或m＞1时，PB＜PA，
∴当PB＜PA时，m的取值范围为﹣1＜m＜0或m＞1．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠FGD＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴，
又∵AB＝CD，
∴；
（2）证明：如图，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，
∴∠CMF＝∠CFM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠A＝∠CDM，∠B+∠A＝180°，
∵∠B+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°
∴∠EGF+∠A＝180°，
∴∠AED+∠AFG＝180°，
∵∠CFM+∠AFG＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴，
又∵AB＝CD，CM＝CF，
∴．