课件14张PPT。3.1.4空间向量的正交分
解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示问题： 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ 由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得
我们称 为向量 在
上的分向量。探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的
结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 （2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。特别提示：对于基底 ,除了应知道 不共面，还应明确：一、空间直角坐标系 给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3 二、空间向量的直角坐标系xyzO
e1e2e3 在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3 在单位正交基底e1, e2, e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3练习：
1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，
关于原点的对称点为 ，
关于轴的对称点为 ，(1,-2,-3)(2,-3,0)(-2,3,4)(2,0,-4)(0,-3,-4)(2,3,4)(-2,-3,4)(-2,3,-4)例题已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.数学运用练习共线共面1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．
求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习练习2课件19张PPT。3.1.2空间向量的数乘运算两向量的和与差空间向量的数乘运算空间向量的数乘： 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 即：空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算abbaOAP 点P在直线L上 ?存在实数非零向量 叫做直线L的方向向量.①②空间向量的数乘运算平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 什么是共面向量？空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算思考：求证:E,F,G,H四点共面分析:空间向量的数乘运算由于四边形ABCD是平行四边形,证明:因为所以所以空间向量的数乘运算因此由向量共面的充要条件知E,F,G,H四点共面.空间向量的数乘运算练习：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求x。解:空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
(A)若 ，则P、A、B共线
(B)若 ，则P是AB的中点
(C)若 ，则P、A、B不共线
(D)若 ，则P、A、B共线2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， , 则x的值为( )1.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面小结：作业：P89 1 ,2空间向量的数乘运算感谢莅临指导课件17张PPT。3.1.3空间向量的数量积(2)一、向量的数量积1、向量的数量积2、数量积的性质(证明线线垂直)(求线段的长)（3）（２）(求线线夹角)3.（课本92页第3题）已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.答案:已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ,
点 分别是 的中点，求下列向量的
数量积：
三、典型例题 例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥?分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。l要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0而l·m＝0 ，l·n＝0故 l·g＝0三、典型例题 例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥?证明：在?内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n
∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0
∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面?内的任一条直线，所以l⊥?例2：已知：在空间四边形OABC中,OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理证明：∵练习2.已知空间四边形求证：求异面直线BA1与AC1所成的角ABCDA1B1C1D1求异面直线BA1与AC所成的角ABCDA1B1C1D12.课件33张PPT。3.1.1空间向量及其加减运算一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示．相等的向量： 长度相等且方向相同的向量． ⒉平面向量的加减法运算⑴向量的加法：aba+b平行四边形法则aa+b三角形法则(首尾相连)⑵向量的减法aba-b三角形法则 减向量终点指向被减向量终点⒊平面向量的加法运算律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：已知F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量……起点终点加法交换律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？OABC空间向量的加减法OAB 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。OBCOBC向量加法结合律在空间中仍成立吗?AAOABCOABC加法交换律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律 注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 满足 ，则 ；
（3）在正方体 中，必有 ；
（4）若空间向量 满足 ，则 ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4C如图，以长、宽、高分别为AB=3，AD=2,AA1=1
的长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点的两点为始点和终点的向量中，试写出：(1)所有单位向量；(2)模为 所有向量；(3)与向量 相等的所有向量；(4)与向量 的相反向量。变题：例2解：始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量例4、如图所示，在正方体 中，下列各式中运算的结果为向量 的共有（ ）A.1 B.2 C.3 D.4变式：加法交换律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律 注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的. 我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢??例如:定义: 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.(如图)GM平行六面体：平行四边形ABCD按向量 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。练习：课本97页习题3.1 2课件22张PPT。1一、共线向量:零向量与任意向量共线.2②OAP32.共面向量定理:如果两个向量
不共线,则向量 与向量 共面的充要
条件是存在实数对 使4 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使
或对空间任一点O,有
56 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.7 平面向量的夹角：8平面向量的数量积的定义：即9教学过程一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义102）两个向量的数量积注意：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
113）射影BA注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。123）射影A1B1BA13(3)空间两个向量的数量积性质注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据；144)空间向量的数量积满足的运算律 注意：数量积不满足结合律1516课堂练习17解：课堂练习:1819203.（课本92页第3题）已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.答案:2122 小 结：
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
（3、证明线面垂直;）
4、求两直线所成角的余弦值等等.
课件17张PPT。3.1.5 空间向量运算的坐标表示一、向量的直角坐标运算已知 ＝(3,-2,4)， ＝(-2,5,-3)，则（1，3，1）（5，-7，7）（19，-31，27）-2866类似于平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。在空间直角坐标系中，已知 、
，则（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：
（1）当 时， 同向；
（2）当 时， 反向；
（3）当 时， 。思考：当 及 时，夹角在什么范围内？练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：三、应用举例例2 已知 、 ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度； 解：设 是 的中点，则∴点 的坐标是 . （2）到 两点距离相等的点 的
坐标 满足的条件。解：点 到 的距离相等，则化简整理，得即到 两点距离相等的点的坐标 满
足的条件是例2 已知 、 ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度； 例3 如图，在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值。 解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 ，则 例3 如图，在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值。 练习二：练习三：四、课堂小结：1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。思考题：课件10张PPT。3.1.5 空间向量运算的坐标表示(二)注意：
（1）当 时， 同向；
（2）当 时， 反向；
（3）当 时， 。空间向量的基本公式：
证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系练习2：数学运用边长各不相等的钝角三角形练习3：
