人教A版(2019)高二上册数学选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式 课件（共23张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版(2019)高二上册数学选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式 课件（共23张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 503.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-21 08:52:12 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
普通高中教科书数学选择性必修第一册
第二章直线和圆的方程
2.3.3 点到直线的距离公式
开拓·奉献 团结·进取·勤奋·求实
探究新知
问题1
如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离
P
Q
x
y
O
l
答案:
过点作直线的垂线，记垂足为，则垂线段的长度就是点到直线的距离.
探究新知
追问1
答案:
如何求出的距离？
利用两点间距离公式，需要先求出、点的坐标.
其中，点坐标已知，因此只需要求出点的坐标.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问2
答案:
如何求出点的坐标？
是直线与垂线的交点，
所以联立两条直线方程求交点坐标.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问3
答案:
如何求垂线的方程？
已知一点，再求出直线的斜率，
即可写出直线的点斜式方程.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问4
答案:
如何求垂线的斜率？
直线与直线垂直，直线的斜率为，
可得垂线的斜率.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
由此，求得垂线的方程为，整理得.
解方程组：
将得.
整理得.
同理可得.
则
P
Q
x
y
O
l
探究新知
利用两点间距离公式
由此，求得点P到直线l的距离
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问5
答案:
如图，如果直线平行于x轴，点到直线的距离还满足上式吗？
到直线的距离
由A=0，d也表示为
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问6
答案:
如果直线垂直于x轴，点到直线的距离还满足上式吗？
到直线的距离
由B=0，d也表示为
P
Q
x
y
O
l
探究新知
一般地， 点到直线的距离：
P
Q
x
y
O
l
P
Q
x
y
O
l
P
Q
x
y
O
l
探究新知
问题2
上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，
你能发现引起复杂运算的原因吗
答案:
原因在于，求出的点Q坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问1
答案:
能否不求出点Q的坐标，推得点到直线的距离公式？
设Q(x，y) ，观察两点间距离公式的结构
能否从方程组中直接写出，的表达式？
由
得
将(3)、(4)两边分别平方后相加可得
所以
从而
探究新知
追问2
答案:
与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低. 能否概述简化运算的过程吗
第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然设出点Q的坐标，但是并不求出点Q的坐标，通过整体代换简化了运算.
“设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法.
探究新知
问题3
答案:
向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线
的距离呢
如图，点到直线的距离|PQ|是点与直线上所有点的距离中最短的.
P
Q
x
y
O
l
M(x,y)
探究新知
追问1
答案:
点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？
设是直线上任意一点，
是在直线方向上的投影.
，
其中是与直线的方向向量垂直的单位向量.
P
Q
x
y
O
l
M(x,y)
探究新知
追问2
答案:
如何用坐标表示向量？
因为直线的斜率为 ，它的一个方向向量为 ，
由向量的数量积运算可求得与直线垂直的一个方向向量为
由此，与直线l垂直的单位向量
探究新知
因为
，其中
所以
（5）
因为M(x，y)在直线l上，则Ax+By=C.
代入（5）式整理得 .
探究新知
问题4
答案:
比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点
“坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式. 坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法. 这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.
“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量.
探究新知
问题5
答案:
点到直线距离公式有什么结构特征？
公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.
特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0. 运算结果与实际相符. 这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.
知识应用
例1
解：
求点到直线的距离.
点到直线的距离.
知识应用
例2
解：
如图，已知的三个顶点分别是求的面积.
如图，设边上的高为，则.
边AB所在直线l的方程为
，即．
故点到直线的距离 .
课堂小结
问题6
答案:
你能写出点到直线的距离公式吗？这个公式如何证明？ 公式证明的三种方法各有特点，谈一谈你的体会？
坐标法是解析几何问题中最本质的方法，是通过点的坐标建立方程再计算获得结论.第二种“坐标法”采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算.
向量法利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式. 这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识.
普通高中教科书数学选择性必修第一册
第二章直线和圆的方程
2.3.3 点到直线的距离公式
开拓·奉献 团结·进取·勤奋·求实
探究新知
问题1
如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离
P
Q
x
y
O
l
答案:
过点作直线的垂线，记垂足为，则垂线段的长度就是点到直线的距离.
探究新知
追问1
答案:
如何求出的距离？
利用两点间距离公式，需要先求出、点的坐标.
其中，点坐标已知，因此只需要求出点的坐标.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问2
答案:
如何求出点的坐标？
是直线与垂线的交点，
所以联立两条直线方程求交点坐标.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问3
答案:
如何求垂线的方程？
已知一点，再求出直线的斜率，
即可写出直线的点斜式方程.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问4
答案:
如何求垂线的斜率？
直线与直线垂直，直线的斜率为，
可得垂线的斜率.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
由此，求得垂线的方程为，整理得.
解方程组：
将得.
整理得.
同理可得.
则
P
Q
x
y
O
l
探究新知
利用两点间距离公式
由此，求得点P到直线l的距离
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问5
答案:
如图，如果直线平行于x轴，点到直线的距离还满足上式吗？
到直线的距离
由A=0，d也表示为
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问6
答案:
如果直线垂直于x轴，点到直线的距离还满足上式吗？
到直线的距离
由B=0，d也表示为
P
Q
x
y
O
l
探究新知
一般地， 点到直线的距离：
P
Q
x
y
O
l
P
Q
x
y
O
l
P
Q
x
y
O
l
探究新知
问题2
上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，
你能发现引起复杂运算的原因吗
答案:
原因在于，求出的点Q坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.
P
Q
x
y
O
l
探究新知
追问1
答案:
能否不求出点Q的坐标，推得点到直线的距离公式？
设Q(x，y) ，观察两点间距离公式的结构
能否从方程组中直接写出，的表达式？
由
得
将(3)、(4)两边分别平方后相加可得
所以
从而
探究新知
追问2
答案:
与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低. 能否概述简化运算的过程吗
第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然设出点Q的坐标，但是并不求出点Q的坐标，通过整体代换简化了运算.
“设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法.
探究新知
问题3
答案:
向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线
的距离呢
如图，点到直线的距离|PQ|是点与直线上所有点的距离中最短的.
P
Q
x
y
O
l
M(x,y)
探究新知
追问1
答案:
点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？
设是直线上任意一点，
是在直线方向上的投影.
，
其中是与直线的方向向量垂直的单位向量.
P
Q
x
y
O
l
M(x,y)
探究新知
追问2
答案:
如何用坐标表示向量？
因为直线的斜率为 ，它的一个方向向量为 ，
由向量的数量积运算可求得与直线垂直的一个方向向量为
由此，与直线l垂直的单位向量
探究新知
因为
，其中
所以
（5）
因为M(x，y)在直线l上，则Ax+By=C.
代入（5）式整理得 .
探究新知
问题4
答案:
比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点
“坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式. 坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法. 这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.
“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量.
探究新知
问题5
答案:
点到直线距离公式有什么结构特征？
公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.
特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0. 运算结果与实际相符. 这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.
知识应用
例1
解：
求点到直线的距离.
点到直线的距离.
知识应用
例2
解：
如图，已知的三个顶点分别是求的面积.
如图，设边上的高为，则.
边AB所在直线l的方程为
，即．
故点到直线的距离 .
课堂小结
问题6
答案:
你能写出点到直线的距离公式吗？这个公式如何证明？ 公式证明的三种方法各有特点，谈一谈你的体会？
坐标法是解析几何问题中最本质的方法，是通过点的坐标建立方程再计算获得结论.第二种“坐标法”采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算.
向量法利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式. 这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识.