课件23张PPT。12研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.3思考1：
如何确定一个点在空间的位置？
OP4思考2：
在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
BP5BP此方程称为直线的向量参数方程6思考3：
给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
答：空间中平面的位置可以由平面内两条相
交直线来确定。7 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.8 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.A平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有9 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？1011练习1：设直线l，m的方向向量分别为 ， ，根据下列条件判断l，m的位置关系：12练习2：设平面 ， 的法向量分别为 ， ，根据下列条件判断 ， 的位置关系：13如果是求单位法向量呢？1415例1.在正方体AC1中，E为DD1的中点，
求证：DB1//面A1C1EExyzABDCA1B1D1C116例２：右图是一个直三棱柱（以 为底面）
被一平面所截得到的几何体，截面为 ．
已知 ，
， ，
， ． 设点O是AB的中点，
证明： 平面 ；A1B1C1ABCO17练习１: 如图 , 正方体 AC1 中,点N在 BD上,点M在
B1 C上, 且CM = DN= DB,
求证: MN // 平面AA1B1B .D1A1BDCB1C1ANM18练习２：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，
求证：
FD∥平面ABC;
(2) AF⊥平面EDB.ＡＢＣＥＦＤ19小结:1.法向量的求法.2.向量证明平行关系:2021lm22l23课件19张PPT。123练习：ABCDA1B1C1D1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心 （1）求证：B1O3⊥PAO3PO2O14 例1、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EF56例2：7所以：解：以点C为坐标原点建立空间
直角坐标系 如图所示，
设 则 C所以 与 所成角的余弦值为8证明：如图建立坐标系，则9例３已知正三棱柱 的各棱长都为1， 是底面上 边的中点， 是侧棱 上的点，且 ，求证： 。解1：向量解法 设 ，则由已知条件和正三棱柱的性质 ，得你能建立直角坐标系解答本题吗？10解2：直角坐标法 。 取 由
已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC,
如图建立坐标系m-xyz。则 例5 已知正三棱柱 的各棱长都为1， 是底面上 边的中点， 是侧棱 上的点，且 ，求证： 。11课堂小结：1213lm14l1516lmlm17ll1819课件16张PPT。求空间距离利用向量求空间距离 空间距离是一种重要的几何量，利用常规方法求距离，需要较强的转化能力，而用向量法则相对简单 一．两点间的距离公式
利用 可以求有关两点间的距
离问题； 例1．在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，
∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，
使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.｜ ｜=2或 2.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为二．如何用向量法求点到平面的距离：DABCGFEDABCGFE解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )
引申：线面、面面距离的向量公式 １.平面α∥直线l，平面α的法向量为n，
点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的
距离d就是在向量n方向射影的绝对值，
即d=2.平面α∥β，平面α的法向量为n，
点M∈α、P∈β，平面α与平面β的
距离d就是在向量n方向射影的绝对值，
即d= 异面直线的距离的向量公式 ABCC1取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1练习:已知正方体ABCD－ 的棱长为1，
求直线 与AC的距离．课件21张PPT。异面直线所成角的范围： 思考：结论：一、线线角：lmlm例1：所以：解：以点C为坐标原点建立空间
直角坐标系 如图所示，
设 则 C所以 与 所成角的余弦值为二、线面角 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角,也叫斜线和平面的夹角.直线和平面所成角的定义:直线和平面垂直,则直线和平面所成的角是直线和平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角是直线和平面所成的角的范围是 (1)一条直线的方向由直线的方向向量所决定，平面的方向由什么决定呢？想一想平面的法向量 (2)直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量所成的角有何关系？当法向量和方向向量的夹角为锐角时，它与线面角互余. 当法向量和方向向量的夹角为钝角时，其补角与线面角互余.总之，有ll简解：所以~~~~练习：
xyz设正方体棱长为1，SABC222例3：在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90o，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC
=2，AD=1，(1)求直线AB与平面SCD所成角的正弦值；D1解： 如图建立空间直角坐标系，xyz则S(0, 0, 2)、D(1, 0, 0)、C(2, 2, 0)、A(0, 0, 0)、B(0, 2, 0)设平面SDC的一个法向量为，则令z=1，得x=2，y=-1由夹角公式得∴求直线AB与平面SCD所成角的正弦值为练习: 求CD与面SBC所成角的正弦值.方法小结 利用法向量求线面角，可以不必具体找垂线、定射影，证角，而直接计算角的大小.4. 回答问题.1. 求直线的方向向量 和平面的法向量 ;2. 计算 ;3. 把向量的夹角换算成线面角;三、用空间向量求二面角的大小 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做二面角的面.
记作：二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点O, 以O为垂足, 在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA, OB, ∠AOB称为二面角的平面角.二面角的取值范围是将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为 ，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范围：<必修2>是如何求二面角的大小?1、找到或作出二面角的平面角;2、证明 1中的角就是所求的角;3、计算出此角的大小;4、回答问题.可以用平面的法向量求二面角的大小吗?平面的方向由其法向量所决定，二面角的大小与它们的法向量的夹角大小由什么关系呢？ 两法向量同进同出，则两法向量的夹角与二面角互补； 两法向量一进一出，则两法向量的夹角与二面角相等；
探求解：设AB=1，则设平面CDB1的一个法向量为则显然平面ABC的一个法向量是夹角公式得故截面B1CD和底面ABC所成角的余弦值为例4：直棱 柱ABC-A1B1C1中AA1=2AB
=2BC=2CA，D为AA1中点，求平面AB C与平面B1CD所成角的余弦值. 设E、E1分别为AB、A1B1的中点，A1B1C1ABCDEE1如图建立空间直角坐标系，xyzSABD2221练习：在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90o，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求平面SBC与平面SCD所成的角.C求得平面SDC的一个法向量为平面SBC的一个法向量为∴ 平面SBC⊥平面SCD 方法小结 1. 求两个平面的法向量;2. 计算两个法向量的夹角的余弦值;3. 把向量的夹角换算成二面角的余弦值；如果能直观判断是锐角还是钝角? 就直接写;一个平面如果存在垂线，就不用待定系数法求法向量.如果不能判断是锐角还是钝角? 就看法向量的方向:同进同出，则互补；一进一出，就相等.4. 回答问题.小结：1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： DCBA3.二面角：一进一出，二面角等于法向量的夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。
