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普通高中教科书数学必修第一册
1.4.1 充分条件与必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
引入新知
在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
中学数学中的许多命题可以写成“若 p ，则 q ”，“如果 p ，那么 q ”等形式．其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．
本节主要讨论这种形式的命题．下面我们将进一步考查“若 p，则 q ”形式的命题中 p 和 q 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语：
充分条件、必要条件和充要条件
思考探究
思考:
下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
(3) 若x2 -4x+3=0，则x=1；
(4) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线 l，则a∥b．
条件 p 通过推理可以得出结论 q，所以(1) 、(4)是真命题
条件 p 通过推理不能得出结论 q，所以(2) 、(3)是假命题
知识点一 充分条件与必要条件
上述命题（1）、（4）中的 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．而命题（2）、（3）中的 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件．
命题真假
推理关系
条件关系
“若p，则q”真
q是p的必要条件
p是q的充分条件
总结新知
“若p，则q”假
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
知识点一 充分条件与必要条件
典例讲解
例1：下列“若 ,则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)若则
(5)若则
(6)若为无理数，则为无理数.
例1：下列“若 ,则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)若则
(5)若则
(6)若为无理数，则为无理数.
解：(1)这是一条平行四边形的判定定理，所以是的充分条件.
(2)这是一条相似三角形的判定定理，所以是的充分条件.
(3)这是一条菱形的性质定理，所以是的充分条件.
解：(4)由于，但，所以不是的充分条件.
(5)由等式的性质知，所以是的充分条件.
(6)为无理数，但为有理数，，所以不是的充分条件.
思考探究
思考2：例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？
我们说是的充分条件，是指条件可以推出结论，但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论.一般来说，对给定结论，使得的条件是不唯一的，例如我们知道下列命题均为真命题：
①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.
所以，“平行四边形的两组对边分别相等”、“四边形的一组对边平行且相等”、“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件.
事实上，例1中命题(1)及上述①②③均是平行四边形的判定定理.所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”.
思考探究
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
例2：下列“若 p，则 q ”形式的命题中，哪些 q 是 p 的必要条件？
(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角线分别相等；
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形.
典例讲解
思考探究
思考:
例2命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对边分别相等”．这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗？
我们说的q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q，但并不意味着条件p只能推出结论q．一般来说，对给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的．
①“四边形的两组对边分别相等”；
②“四边形的一组对边平行且相等”；
③“四边形的两条对角线互相平分”；
都是“四边形是平行四边形”的必要条件
随堂小练
教材P20 练习及参考答案
(1) p 是 q 的充分条件
(2) p 不是 q 的充分条件
(3) p 是 q 的充分条件
随堂小练
教材P20 练习及参考答案
(1) q 是 p 的必要条件
(2) q 不是 p 的必要条件
随堂小练
教材P20 练习及参考答案
课堂小结
1．充分理解“充分条件”与“必要条件”的概念：
(1)“ p 是 q 的充分条件”反映了 p q，而“ q 是 p 的必要条件”也反映了 p q，所以“ p 是 q 的充分条件”与“ q 是 p 的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．“ p 是 q 的充分条件”只反映了 p q，与 q 能否推出 p 没有任何关系．
(2)注意以下等价的表述形式：
① p q；② p 是 q 的充分条件；③ q 的充分条件是 p；
④ q 是 p 的必要条件；⑤ p 的必要条件是 q.
(3)判断充分条件(或必要条件)的实质是判断命题“若 p ，则 q ”(或“若 p ，则 q ”的逆命题)的真假．
课堂小结
2．熟练掌握充分条件与必要条件的判断方法：
(1)定义法：
①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；
②找推式：判断“ p q ”及“ q p ”的真假；
③下结论：根据推式及定义下结论．
(2)集合法：已知满足条件,满足条件.若，则是的充分条件.
