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普通高中教科书数学选择性必修第一册
第二章直线和圆的方程
2.1.1 倾斜角与斜率
开拓·奉献 团结·进取·勤奋·求实
引入新课
研究几何问题的两种方法
直观感知
综合法
操作确认
思辨论证
度量计算
坐标法
点
数（有序数对或数组）
曲线（点的轨迹）
曲线方程
坐标系
引入新课
解析几何的一般流程
代数方法
几何问题
代数问题
代数问题的解
几何问题的解
解析几何由17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立.
数学从此进入变量数学时期，为微积分的创建奠定了基础.
平面直角坐标系
引入新课
本章前半部分的主要内容
直线
确定直线的
几何要素
建立直线
的方程
研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等问题
引入新课
思考
我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，那么，直线如何表示呢？
探究新知
问题1
确定一条直线位置的几何要素是什么 对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置
答案：两点以及一点和一个方向可以确定一条直线，由方向向量我们可以知道，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.
两点P1，P2
一点和一方向
方向向量
探究新知
问题2
在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向. 因此，这些直线的区别在于它们的方向不同. 如何表示这些直线的方向？
水平直线的方向向右
答案：
探究新知
问题2
在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向. 因此，这些直线的区别在于它们的方向不同. 如何表示这些直线的方向？
答案：
其他直线的方向向上
探究新知
问题2
在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向. 因此，这些直线的区别在于它们的方向不同. 如何表示这些直线的方向？
答案：我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同. 因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向．
探究新知
问题2
在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向. 因此，这些直线的区别在于它们的方向不同. 如何表示这些直线的方向？
答案：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．
探究新知
问题3
当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少 直线的倾斜角的取值范围是什么
答案：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.
因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
探究新知
问题3
当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少 直线的倾斜角的取值范围是什么
答案：这样，平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
直线
倾斜角
方向相同
倾斜程度相同
倾斜角相等
探究新知
问题4
直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系
追问1 对于一个一般性命题，可以从特殊的情形来考虑，先尝试解决如下问题.
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α．
(1)已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系
(2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系
探究新知
问题4
答案：对于问题（1），如图，
向量=(，1)，直线OP的倾斜角为α.
由正切函数的定义，有tanα== .
探究新知
问题4
答案：对于问题（2），如图，
向量=(－1－ ，1－0)=(－1－ ，1).
P的坐标为(－1－ ，1)，直线OP的倾斜角为α.
由正切函数的定义，有tanα==1－.
探究新知
问题4
直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系
追问2 将特殊情形推广到一般情形，能得到什么结论？
答案：当向量向上时，
=(x2－x1，y2－y1).
P的坐标为(x2－x1，y2－y1)，
直线OP的倾斜角为α.
由正切函数的定义，有tanα=.
探究新知
问题4
直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系
追问2 将特殊情形推广到一般情形，能得到什么结论？
答案：当向量向上时，
同理，可得tanα= =.
探究新知
问题4
直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系
追问3 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
答案：当直线P1P2与x轴平行或重合时，y1=y2， α= 0o，符合tanα=
探究新知
问题4
直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系
结论:直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1 x2)的坐标有如下关系：
tanα=
当x1=x2时，直线l倾斜角为90o，上式无意义，直线斜率不存在.
探究新知
问题4
直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系
结论:直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1 x2)的坐标有如下关系：
tanα=
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.
斜率
探究新知
斜率与倾斜角的关系
日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=．
当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．
水平宽度
铅直高度
α
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.
探究新知
斜率与倾斜角的关系
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.
α=0o k=0；
0o<α<90o k>0；
α=90o 斜率不存在；
90o<α<180o k<0.
探究新知
问题5
当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么
答案：当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大;
当倾斜角α=90o，斜率不存在;
当倾斜角α满足90o<α<180o且逐渐增大时，
斜率k逐渐增大.
探究新知
问题5
当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么
结论：由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同．
因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．
探究新知
问题5
当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么
结论：由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同．
因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．
由tanα=及k=tanα知，
k=tanα
数
k=
形
探究新知
问题6
直线的方向向量与斜率k有什么关系？
答案=(x2－x1，y2－y1).
当x1 x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k).
因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=.
当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，其一个方向向量为(0，1).
探究新知
问题6
直线的方向向量与斜率k有什么关系？
k=
倾斜角α
斜率k
k=tanα
两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)
方向向量(x，y)
k=
tanα=
知识应用
例1
如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
分析：
两点坐标
直线斜率
倾斜角
P1(x1，y1)
P2(x2，y2)
k=
k=tanα
知识应用
例1
如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率kAB= =；
直线BC的斜率kBC= =；
直线CA的斜率kCA= =1.
知识应用
例1
如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：由kAB>0及kCA >0可知，
直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0可知，直线BC的倾斜角
为钝角.
