2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章 5.7 三角函数的应用 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 5.7 三角函数的应用
一、单项选择题
1.如图，记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为。已知分针长OA=5cm
且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动。若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
2.商场人流量是指每分钟通过入口的人数，已知某商场春节期间的人流量满足：，则下列时间段内人流量是增加的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，某港口某天从6h到18h的水深（单位：）与时间（单位：）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（ ）
A. B. 4m C. D.
4.某地区2024年全年月平均温度（单位：）与月份之间近似满足。已知该地区2月份的月平均温度为，全年月平均温度最高的月份为6月份，且月平均温度为，则该地区12月份的月平均温度为（ ）
A. B. C. D.
5.1851年，法国的物理学家傅科做了一次成功的摆动实验，证明了地球自转现象，“傅科摆”由此得名。“傅科摆”在摆动过程中，摆动平面会随地球自转而缓缓转动，且“傅科摆”所处纬度越高，摆动平面转动速度越快，角速度与成正比。当“傅科摆”在北纬90°处时，角速度最快，旋转一周的时间为24h。若某市天文馆也做了个“傅科摆”，已知该天文馆处于北纬40°，那么此处“傅科摆”旋转一周的时间约为（参考数据：）（ ）
A. 15.4h B. 24h C. 37.5h D. 54h
6.如图1中有一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，其一端固定，另一端悬挂了一个沙漏，让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力的作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，函数的部分图象如图2所示。若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D.
二、多项选择题
7.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则（ ）
A. 该质点的简谐运动周期为0.7s B. 该质点的简谐运动振幅为5cm
C. 该质点的简谐运动频率为1.25Hz D. 该质点的简谐运动周期为0.8s
8.心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值。记某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：mmHg），为时间（单位：min），其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
B. 收缩压为120 mmHg
C. 舒张压为70 mmHg D. 每分钟心跳80次
9.已知电流强度（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数的部分图象如图所示，则（ ）
B.
C. D. 在一个周期内，电流强度不超过30A的时长为
三、填空题
10.近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，也助力了本地农户增收致富。目前利用风能发电的主要手段是风车发电。如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米，叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点（此时点离地面50米）。设点转动（单位：秒）后到地面的距离为（单位：米），则关于的函数关系式为___；叶片旋转一圈过程中点离地面的高度不低于70米的时长为___秒。
11.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”。它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次。如图所示，某条“葫芦曲线”的方程为，，，其中表示不超过的最大整数。若该曲线经过点，则该条“葫芦曲线”与直线交点的纵坐标为___。
12.如图，是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点距离地面的高度为，若，，则的最小值为___。
四、解答题
13.如图1，弹簧挂着的小球做上下运动。若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动。它在时相对于平衡位置（点）的高度（单位：，在点下方时，）由关系式确定。
（1）点在开始运动（即）时的位置在哪里？点每秒钟能往复运动多少次？
（2）在图2中画出关于的函数在一个周期的闭区间上的简图。
（3）如图2，当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第三次照到，求的值。
14.长春某日气温（单位：）是时间，单位：时）的函数，如图，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象。
（1）根据图象，试求的表达式；
（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于23℃。根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多少小时？（忽略商品搬运时间及其他非主要因素，理想状态下！）
15.主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声波曲线，其振幅为2，且经过点。
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）证明：为定值。
一、单项选择题
1.答案：D
解析：
分针角速度：分针60分钟转弧度，故。
点的坐标：初始位置（12点）为，顺时针转动分钟后，与轴正方向夹角为，坐标为。
到轴的距离：，故选D。
2.答案：C
解析：
人流量函数，求导得单调性判据：，当时，递增。
递增区间：，即（）。
选项验证：时，（，），均在（）内，故递增，选C。
3.答案：A
解析：
由题图可得，则，
当时，取得最小值，为，得，
函数的图象过点，
，即，又，
，。
当时，。
4.答案：A
解析：
温度函数，周期个月（）。
6月温度最高：，得（符合）。
联立方程：，解得，。
12月温度（）：，选A。
5.答案：C
解析：
角速度，北纬90°时，周期，故，得。
北纬40°时：，周期，选C。
6.答案：A
解析：
位移函数，由图象得周期（常规简谐运动周期），。
区间长度为1（），无论区间位置，最大值与最小值之差恒为（如内从到，差为3），选A。
二、多项选择题
7.答案：BCD
解析：
振幅：图象最大值为5cm，故振幅为5cm，B正确；
周期：相邻平衡位置间距（如0.3s到1.1s）为0.8s，故周期，D正确，A错误；
频率：，C正确。
8.答案：BCD
解析：
周期与频率：每分钟心跳80次，故周期，频率80次/分钟，D正确；，A错误；
血压值：最大值（收缩压），B正确；最小值（舒张压），C正确。
9.答案：AC
解析：
振幅：图象最大值为60A，故，A正确；
相位：时，即，，结合，得，C正确；
角速度：周期，，B错误；
时长计算：一个周期内对应，时长为，D错误。
三、填空题
10.答案：；4
解析：
函数关系式：塔高90m，叶片长40m，最低点，最高点，故，。周期，，时，得，故。
时长计算：即，解得，时长。
11.答案：
解析：
求：曲线过，，，故，得，结合，得。
求纵坐标：时，，，，故纵坐标为。
12.答案：
解析：
高度函数：轮子滚动米，转过角度，高度。
解方程：即，得，最小差。
四、解答题
13.解：
（1）初始位置（）：，即平衡位置上方处。
周期，频率次/秒，故每秒往复次。
（2）一个周期内的简图
0 4
2 0 -2 0
（3）中点为，光线过与，故（共线条件）。
解方程，得（舍负解）或。
正解：（），第三次照到对应，。
14.解：
（1）由图得：最高温26℃，最低温14℃，故，。
周期，。时（最低），故，得（符合）。
表达式：。
（2）气温不低于23℃：，即。
解得（），单日最长室外销售时长。
15.解：
（1）噪声波：，过，故，得，（），故。
降噪声波：振幅相同、相位相反，故（或）。
（2）代入：
总和化简：
故为定值0。