2.1 认识一元二次方程（同步练习·含解析）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

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2.1 认识一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 槐荫区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝4 B． C．x2+x﹣2＝0 D．3x＝4
2．（2025春 顺义区期末）若关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3m＝0的一个根是1，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（2025春 姜堰区期末）若是一元二次方程，则a的值为（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
4．（2025春 广饶县期中）方程x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
5．（2024秋 织金县期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的二次项系数是（　　）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
6．（2024秋 清苑区期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx﹣8＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2
7．（2025春 凤阳县校级期中）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则m2﹣3m+2025的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．（2024秋 仁寿县校级期末）方程：①，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④中，属于一元二次方程的是（　　）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
9．（2025春 龙口市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．（2025 市中区二模）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）
A．0 B．0或﹣1 C．1 D．﹣1
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 淄川区期末）若正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个实数根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个实数根，则a的值为 　 　 ．
12．（2025春 槐荫区期末）若x＝2是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则a＝ 　 　 ．
13．（2025春 温州期末）小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：x2﹣＝0．已知一个根x1＝3，则另一个根x2＝　 　 ．
14．（2025 雨花区校级三模）如果x＝1是一元二次方程ax2+2bx﹣1＝0的解，则2a+4b+2023＝　 　 ．
15．（2025春 北仑区期末）若t是方程﹣2x2+x+9＝0的一个根，则（t﹣1）（2t+1）的值为 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
16．（2024 凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
17．（2024秋 同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
18．（2024 呈贡区期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
2.1 认识一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 槐荫区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝4 B． C．x2+x﹣2＝0 D．3x＝4
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；数感．
【答案】C
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：x+2y＝4中含有2个未知数，并且未知数的次数都是1，则A不符合题意，
1＝2x不是整式方程，则B不符合题意，
x2+x﹣2＝0符合一元二次方程的定义，则C符合题意，
3x＝4中，未知数的次数是1，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2025春 顺义区期末）若关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3m＝0的一个根是1，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把x＝1代入一元二次方程得到2+m﹣3m＝0，然后解关于m的一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程2x2+mx﹣3m＝0得2+m﹣3m＝0，
解得m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（2025春 姜堰区期末）若是一元二次方程，则a的值为（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义可得a2﹣2＝2且a+2≠0，解得a的值即可．
【解答】解：∵是一元二次方程，
∴a2﹣2＝2且a+2≠0，
解得：a＝2，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（2025春 广饶县期中）方程x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出a，b，c的值即可．
【解答】解：方程x2﹣6x﹣1＝0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．（2024秋 织金县期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的二次项系数是（　　）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的一般形式及其相关定义解答即可．
【解答】解：根据题意知，一元二次方程的二次项系数是1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是关键．
6．（2024秋 清苑区期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx﹣8＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把x＝2代入关于x的方程x2﹣mx﹣8＝0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵x＝2是关于x的方程x2﹣mx﹣8＝0的一个根，
∴22﹣2m﹣8＝0，
解得m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7．（2025春 凤阳县校级期中）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则m2﹣3m+2025的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【考点】一元二次方程的解；代数式求值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】把x＝m代入原方程得到m2﹣3m＝﹣1，据此利用整体代入法计算求解即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m2﹣3m＝﹣1，
∴m2﹣3m+2025＝﹣1+2025＝2024，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2024秋 仁寿县校级期末）方程：①，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④中，属于一元二次方程的是（　　）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可．
【解答】解：①式子不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
②式子中有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
③式子是一元二次方程，符合题意；
④式子是一元二次方程，符合题意．
综上③和④是一元二次方程．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键．
9．（2025春 龙口市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先把一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b变形为一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，则利用关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025得到x﹣1＝2025，从而得到一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b一个根．
【解答】解：一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b变形为一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，
∴对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0有x﹣1＝2025，
解得x＝2026，
即一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为2026．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（2025 市中区二模）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）
A．0 B．0或﹣1 C．1 D．﹣1
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，
∴a2+a＝0，且a+1≠0，
则a的值为：a＝0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 淄川区期末）若正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个实数根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个实数根，则a的值为 　7　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】首先根据题意得到a2﹣7a+m＝0①和a2﹣7a﹣m＝0②，根据①②求出m的值，进而求出a的值．
【解答】解：∵正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个根，
∴a2﹣7a+m＝0①，
∵﹣a关于x的方程一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个根，
∴a2﹣7a﹣m＝0②，
由①②可得m＝0，
∴a2﹣7a＝0，
∴a＝0或a＝7，
∵a是正数，
∴a＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是求出m的值，此题难度一般．
12．（2025春 槐荫区期末）若x＝2是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则a＝ 　﹣3　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】﹣3．
【分析】把x＝2代入一元二次方程得到4+2a+2＝0，然后解关于a的一次方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+ax+2＝0得4+2a+2＝0，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（2025春 温州期末）小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：x2﹣＝0．已知一个根x1＝3，则另一个根x2＝　﹣3　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】将x1＝3，代入x2﹣＝0中，得＝﹣1，再解方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣＝0．已知一个根是x1＝3，
∴将x＝3代入x2﹣＝0中，得9﹣＝0，解得＝9，
∴解一元二次方程x2﹣9＝0，得x＝3或﹣3，
∴方程的另一个根为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确地理解题意是解题的关键．
14．（2025 雨花区校级三模）如果x＝1是一元二次方程ax2+2bx﹣1＝0的解，则2a+4b+2023＝　2025　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2025．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+2bx﹣1＝0得a+2b﹣1＝0，
所以a+2b＝1，
所以2a+4b+2023
＝2（a+2b）+2023
＝2×1+2023
＝2025．
故答案为：2025．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
15．（2025春 北仑区期末）若t是方程﹣2x2+x+9＝0的一个根，则（t﹣1）（2t+1）的值为 　8　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】8．
【分析】利用整体代入的思想解决问题即可．
【解答】解：∵t是方程﹣2x2+x+9＝0的根，
∴﹣2t2+t﹣9＝0，
∴2t2﹣t＝9，
∴（t﹣1）（2t+1）＝2t2﹣t﹣1＝9﹣1＝8．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
三．解答题（共3小题）
16．（2024 凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
17．（2024秋 同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【考点】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
18．（2024 呈贡区期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
【考点】一元二次方程的解；非负数的性质：偶次方．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）9．
【分析】（1）先把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0，判断是否是方程3x2﹣5x+2＝0的根，然后根据已知条件中的定义进行判断即可；
（2）根据定义，把x＝1代入5x2﹣bx+c＝0，从而得出b＝5+c，然后等式两边同时平方，把b的平方用含有c的式子表示出来，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）该方程是“方正方程”，理由如下：
把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0得，
左边＝3×12﹣5×1+2＝3×1﹣5+2＝0，右边＝0，
∵左边＝右边，
∴x＝1是3x2﹣5x+2＝0的根，
∴方程3x2﹣5x+2＝0是“方正方程”；
（2）由题意得：5﹣b+c＝0，b＝5+c，
b2﹣2c＝（5+c）2﹣2c，
＝c2+8c+25
＝（c+4）2+9
∵（c+4）2≥0，
∴（c+4）2+9≥9
∴b2﹣2c的最小值为9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义并解决问题．
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