2.3 用公式法求解一元二次方程（同步练习·含解析）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.3用公式法求解一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2025春 瑶海区校级期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
2．（2025 宁陵县三模）判断关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常数，k＜1）的根的情况（　　）
A．存在一个k，使得方程只有一个实数根
B．无实数根
C．一定有两个不相等的实数根
D．一定有两个相等的实数根
3．（2024秋 阜平县期末）用公式法解一元二次方程3x2+3＝﹣2x时，若a＝3，则b的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
4．（2025 洪泽区一模）方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．
5．（2024秋 路桥区期中）用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3
二．填空题（共5小题）
6．（2025春 合肥校级月考）若3x2+6x+8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　 　 ．
7．（2025 盐城一模）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　 　 ．
8.（2024秋 宁远县期末）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b，则方程2☆x＝x★8的解为　 　 ．
9．（2025 宜兴市二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝m有两个不相等实数根，则m的值可能是 　 　 ．（只需写出一个即可）
10．（2025春 淮阴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
11．（2025春 慈溪市期中）解方程：
（1）x2+x＝4x；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
12．（2025春 界首市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
13．（2025 朝阳区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
2.3用公式法求解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025春 瑶海区校级期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】计算判别式Δ＝b2﹣4ac的值，再确定根的情况即可．
【解答】解：∵一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝4﹣42＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．
2．（2025 宁陵县三模）判断关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常数，k＜1）的根的情况（　　）
A．存在一个k，使得方程只有一个实数根
B．无实数根
C．一定有两个不相等的实数根
D．一定有两个相等的实数根
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】当k＝0时，可求出方程的根；k≠0时，利用，Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝（k﹣1）2＞0即可判断原方程有实数根．
【解答】解：∵k＜1，
∴当k＝0时，原方程为﹣x+1＝0，
解得：x＝1；
当k≠0时，Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（2024秋 阜平县期末）用公式法解一元二次方程3x2+3＝﹣2x时，若a＝3，则b的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程3x2+3＝﹣2x可化为3x2+2x+3＝0，
∴b＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知利用公式法解一元二次方程时，方程中a、b、c的值是解题的关键．
4．（2025 洪泽区一模）方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用公式法即可求得．
【解答】解：x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
故x，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟记公式是解此题的关键．
5．（2024秋 路桥区期中）用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】整理成一般式即可得出答案．
【解答】解：整理成一般式得：x2﹣5x﹣3＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2025春 合肥校级月考）若3x2+6x+8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　﹣3　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据题意得到方程3x2+6x+8＝2x2﹣1，求出方程的解即可．
【解答】解：有条件可知3x2+6x+8＝2x2﹣1，整理得：x2+6x+9＝0，
（x+3）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025 盐城一模）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　3x2+5x+1＝0　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2024秋 宁远县期末）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b，则方程2☆x＝x★8的解为　x1＝x2＝2　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力；创新意识．
【答案】x1＝x2＝2．
【分析】根据新定义运算，可得出2☆x＝22+x2，x★8，由2☆x＝x★8得到x2﹣4x+4＝0，利用配方法解方程即可．
【解答】解：∵a☆b＝a2+b2，a★b，
∴2☆x＝22+x2＝4+x2，x★8，
∵2☆x＝x★8，
∴4+x2＝4x，即x2﹣4x+4＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝16﹣16＝0，
∴，
∴x1＝x2＝2．
故答案为：x1＝x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，新定义运算，理解新定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
9．（2025 宜兴市二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝m有两个不相等实数根，则m的值可能是 　0（答案不唯一）　 ．（只需写出一个即可）
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】0（答案不唯一）．
【分析】由题意可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，计算即可得解．
【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
解得：m＞﹣1，
∴m的值可能是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，②Δ＝0，方程有两个相等的实数根，③Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键．
10．（2025春 淮阴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜4　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k＜4．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝16+4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，
解得，k＜4．
故答案为：k＜4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
三．解答题（共3小题）
11．（2025春 慈溪市期中）解方程：
（1）x2+x＝4x；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；合并同类项．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2＝3；（2），．
【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可；
（2）方程利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2+x＝4x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x，
解得，．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解答本题的关键．
12．（2025春 界首市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的定义．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）10．
【分析】（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围；
（2）利用等腰三角形的性质，可得出x1＝x2，进而可得出Δ＝0，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出x1，x2的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
∴，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2，
∴m的取值范围为m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）∵等腰△ABC的底边BC＝4，且x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，
∴x1＝x2，
∴Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得：m＝﹣1，
∴原方程为x2﹣6x+9＝0，
∴x1＝x2＝3，
∵3，3，4可以组成三角形，
∴这个三角形的周长为3+3+4＝10．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，列出关于m的一元一次不等式组；（2）利用等腰三角形的性质及根的判别式，求出m的值．
13．（2025 朝阳区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
【考点】根的判别式；无理数．
【专题】判别式法；实数；运算能力．
【答案】（1）m＜2；
（2）m＝1．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＞0，可得出﹣2m+4＞0，解之即可得出m的取值范围；
（2）由m为非负整数，且m＜2，可得出m可以为0或1，再结合该方程的根都是无理数，即可确定m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（m﹣1）2﹣4×12m+4＞0，
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2；
（2）∵m为非负整数，且m＜2，
∴m可以为0或1．
当m＝0时，Δ＝﹣2m+4＝﹣2×0+4＝4，此时方程的根都是有理数，不符合题意，舍去；
当m＝1时，Δ＝﹣2m+4＝﹣2×1+4＝2，此时方程的根都是无理数，符合题意．
∴m的值为1．
【点评】本题考查了根的判别式以及无理数，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）由m为非负整数及方程的根都是无理数，判断出m的值．