2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章 三角函数 检测试卷（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 三角函数检测试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
2.若函数是定义在上的奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知扇形的圆心角为，其面积是，则该扇形的弧长是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
8.已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称 B. 是函数的一个周期
C. 函数的图象关于直线对称 D. 当时的最小值为1
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分）
9.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.下列选项正确的是（ ）
A. 若锐角的终边经过点，则
B. 中，“”是“是钝角三角形”的充要条件
C. 函数图象的对称中心是
D. 若，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知，且为钝角，则________。
13.已知扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积与周长的比值为________。
14.化简________。
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知的三个内角，，满足，。
（1）求的值；
（2）求角的大小。
16.（15分）已知。
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的最值并写出取最值时自变量的值；
（3）若函数为偶函数，求的值。
17.（13分）已知且为锐角。
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若为锐角，且，求的值。
18.（15分）某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示。
（1）求函数的解析式；
（2）为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015mm且不高于0.02mm的钢筋，若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例。
19.（17分）已知函数，满足在：①函数的图象与轴的一个交点坐标为；②函数图象的相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并解答下列问题。
（1）求的解析式；
（2）把的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值。
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1.答案：C
解析：终边相同的角满足“（）”。计算对应的正角：
，故与终边相同的角是，选C。
2.答案：B
解析：已知是奇函数（），偶函数需满足，逐一验证：
A：，奇函数；
B：，偶函数；
C：，非偶函数；
D：，奇函数。
故选B。
3.答案：C
解析：在上的单调性：
上单调递增（从到）；
上单调递减（从到）。
方程有两个不同实根，需在“递增区间的起点到最大值”之间（不含最大值，否则仅一个根），即，选C。
4.答案：A
解析：的定义域为，且单调递增区间由的递增区间决定（根号函数单调递增）：
定义域：（）；
递增区间：（在该区间递增）。
联立得（），选A。
5.答案：D
解析：第一步求的解析式（结合图象特征）：
周期（相邻最值点间距），故；
代入最高点：，得（），故。
第二步分析的对称性：
关于原点对称（奇函数），需（）；
解得，的最小值为，选D。
6.答案：A
解析：扇形面积公式（为弧度数），代入、：
弧长公式，得，选A。
7.答案：D
解析：第一步化简（）：
由，知是最大值点，故（），即；
代入：，结合的表达式化简得。
第二步求：
（），得；
结合且，当时（满足所有条件），选D。
8.答案：C
解析：化简（定义域，）：
A：，奇函数，图象关于原点对称，正确；
B：，是周期，正确；
C：，图象关于点（，0）对称，非关于直线对称，错误；
D：时，令，单调递减，最小值为时的，正确。
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9.答案：ABD
解析：由（），平方得：
A：，正确；
B：，正确；
C、D：且，故、，联立方程得、，C错误，D正确。
10.答案：D
解析：
单调递减区间：的递增区间，即，结合得；
零点条件：在恰有3个解，得。
综上，选D。
11.答案：ACD
解析：
A：，（锐角），故，正确；
B：是“为钝角三角形”的充分非必要条件（钝角可能为或），错误；
C：的对称中心满足，解得，即，正确；
D：，正确。
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.答案：
解析：为钝角，，故。由半角公式：
（为锐角，取正）。
13.答案：
解析：扇形面积，周长，比值为。
14.答案：2
解析：分母化简（二倍角公式）：
由，分母，故：
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.解：
（1）在中，内角和，故。
根据诱导公式，得。
已知（为三角形内角，故，且，即，）。
由，设，（）。
根据同角三角函数基本关系：
因此，故：
（6分）
（2）已知（，），由：
由，得，代入。
要求角，需用两角差的余弦公式：，故：
代入已知值：
计算分子：
因，且，故（7分）。
16.解： 先化简（利用二倍角公式）：
二倍角公式：，
代入得：
再用辅助角公式：，此处，，故，得：
（1）正弦函数的单调递减区间为（）。
令，则：
解不等式：
左半部分：
右半部分：
故的单调递减区间为（）（5分）。
（2）由，正弦函数，故：
最大值：当时，。
此时（），解得（）。
最小值：当时，。
此时（），解得（）（5分）。
（3）偶函数满足，即。
先化简：
因为偶函数，正弦函数为偶函数需满足“相位为”（即，为偶函数），故：
（）
解：
结合，取，得（5分）。
17.解：
（1）已知，交叉相乘去分母（，否则分母为0）：
展开并整理：
因为锐角，，两边除以：
（4分）
（2）用二倍角公式（由，分子分母同除以推导）：
代入：
（4分）
（3）第一步，求和（为锐角）：
由，设，（）。
由：
故，。
第二步，求：
、为锐角，故。已知，故，。
由：
第三步，用两角差公式求和：
，故：
代入数值：
最后求：
（5分）
18.解：
（1）由三角函数的性质：
振幅：图象最大值，最小值。已知，，联立：
解得，。
角速度：周期（题目图象隐含，常规三角函数周期特征），由：
相位：代入图象特殊点（如时，，即）：
化简得。因，故。
综上，，利用诱导公式，化简得：
（8分）
（2）要求，代入：
两边除以（正数，不等号方向不变）：
分两步解不等式：
右半部分：（恒成立，因）。
左半部分：。
因此，核心不等式为，求的取值区间（，周期为，只需分析一个周期）：
正弦函数（令）的解为：
（）
代回，得：
（）
计算一个周期内（）符合条件的区间长度：
区间长度
周期为，故符合要求的比例为：
比例符合条件的区间长度周期长度
（7分）
19.解： 选择条件①和②解答（按题目要求，选择前两个条件计分）。
（1）由条件①：（图象过），代入：
因，故。
由条件②：相邻两条对称轴的距离为。
三角函数相邻对称轴距离为“半个周期”，即，故周期。
由（）：
（符合）
综上，（8分）
（2）第一步，图象变换（右移，上移1个单位）：
右移个单位：根据“左加右减”（针对），得：
再向上平移1个单位：得：
第二步，求在上的最大值为2的条件：
的最大值为（当时）。
解方程：
（）
要求在区间内（因时是最接近左端点的解），故。
因此，实数的最小值为（9分）。