第五章 函数的概念、性质及应用（单元测试.含解析）2025-2026学年上教版（2020）数学必修第一册
文档属性
| 名称 | 第五章 函数的概念、性质及应用（单元测试.含解析）2025-2026学年上教版（2020）数学必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 175.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-21 12:41:23 | ||
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文档简介
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第五章 函数的概念、性质及应用
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）函数的定义域为 ．
2．（4分）函数，当x＝2时没有意义，则a＝ ．
3．（4分）函数y的定义域为 ．
4．（4分）已知函数，，则f（x） g（x）＝ ．
5．（4分）函数y的递增区间是 ．
6．（4分）定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是 ．
7．（5分）某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价y（元）与行程公里数x（公里）之间的函数关系式是 ．
8．（5分）若函数f（x）＝log3（x+a）的反函数的图象经过点（1，2），则实数a＝ ．
9．（5分）若函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是 ．
10．（5分）已知f（x）＝x3，则f﹣1（x）＝ ．
11．（5分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝ ．
12．（5分）函数f（x）的反函数是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）下列各图中，是函数的图像的序号是（ ）
A． B．
C． D．
14．（5分）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a B．a C．a D．a
15．（5分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过（ ）年．
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（5分）已知的反函数为，则f（x）的定义域为（ ）
A．（﹣2，0） B．[﹣2，2] C．[﹣2，0] D．[0，2]
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求：
（1）周长C关于边长x的函数解析式；
（2）面积S关于边长x的函数解析式．
18．某商品每件成本为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成即为10%），售出商品的数量就增加x成，要求降价幅度不能导致亏本，记该商品一天营业额为y，y∈R．
（1）求：该商品一天营业额y，y∈R的表达式，并指出定义域；
（2）若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
19．函数y＝3x﹣m与互为反函数，求实数m，n的值．
20．设函数f（x）＝2x+p（p为常数且p∈R）．
（1）若f（3）＝5，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，解方程：f﹣1（x）＝log2（x+1）+log2（2x﹣1）．
21．某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p＝50﹣|x﹣6|（元/百斤），第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售量q＝a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．
（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？
（2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？
第五章 函数的概念、性质及应用
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）函数的定义域为 [﹣1，1]． ．
【答案】[﹣1，1]．
【分析】由题意，利用偶次根式的性质，求出函数的定义域．
【解答】解：根据函数，可得1﹣|x|≥0，∴|x|≤1，∴﹣1≤x≤1，
故答案为：[﹣1，1]．
【点评】本题主要考查偶次根式的性质，求函数的定义域，属于基础题．
2．（4分）函数，当x＝2时没有意义，则a＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】由题意，利用分式的性质，求得a的值．
【解答】解：由于函数，当x＝2时没有意义，
故2﹣2a＝0，求得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的性质，属于基础题．
3．（4分）函数y的定义域为 {x|x≥1} ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x即可．
【解答】解：要是函数有意义，须x﹣1≥0，解得x≥1，
故函数的定义域为{x|x≥1}．
故答案为：{x|x≥1}．
【点评】本题考查了求函数定义域的主要方法，属于简单题．
4．（4分）已知函数，，则f（x） g（x）＝ 2x（x＞1） ．
【答案】2x（x＞1）．
【分析】先求出函数的定义域，利用因式乘法性质进行计算即可．
【解答】解：要使函数f（x）有意义，则x﹣1≥0得x≥1，即f（x）的定义域为[1，+∞），
要使函数g（x）有意义，则x﹣1＞0得x＞1，即g（x）的定义域为（1，+∞），
则f（x）g（x）的定义域为（1，+∞），
则f（x） g（x）＝x 2x，（x＞1），
故答案为：f（x） g（x）＝2x（x＞1）．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，先求出函数的定义域，然后利用因式成绩进行计算是解决本题的关键，是基础题．
5．（4分）函数y的递增区间是 （﹣∞，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】函数y的递增区间，即函数t＝|x﹣1|在t≠0时的减区间，利用绝对值函数的性质得出结论．
【解答】解：函数y的递增区间，即函数t＝|x﹣1|在t≠0时的减区间，
而函数t＝|x﹣1|在t≠0时的减区间为（﹣∞，1），
故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，根式函数、含绝对值的函数的性质，属于中档题．
6．（4分）定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是 （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．
【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴x＞2，
（2）x＜0时，f（x）＞0，∴x＜﹣2，
∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
7．（5分）某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价y（元）与行程公里数x（公里）之间的函数关系式是 ．
【答案】．
【分析】设运输里程为xkm，运费为y元，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝0.5×100+0.4（x﹣100），由此得出函数关系式即可．
【解答】解：设运输里程为xkm，运费为y元，
则，
即，
故答案：．
【点评】本题考查函数的解析式表示法中的分段函数，属于基础题．
8．（5分）若函数f（x）＝log3（x+a）的反函数的图象经过点（1，2），则实数a＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】反函数图象过（1，2），等价于原函数的图象过（2，1），代点即可求得．
【解答】解：依题意f（x）＝log3 （x+a）的图象过（2，1），
∴log3 （2+a）＝1，解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了反函数．属基础题．
9．（5分）若函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是 （0，﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】计算函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，0），再根据原函数和反函数对应的自变量x的取值和应变量y的值相反可得答案，
【解答】解：函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点为当x+3＝1时，即x＝﹣2时，y＝0，
即恒过定点（﹣2，0），
由原函数和反函数对应的自变量x的取值和应变量y的值相反，
函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，0），
则函数的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2），
【点评】本题考查了互为反函数的性质、对数函数的性质，属于基础题．
10．（5分）已知f（x）＝x3，则f﹣1（x）＝ ．
【答案】．
【分析】利用反函数的定义，将x用y表示，即可得到反函数的解析式．
【解答】解：因为f（x）＝x3，
所以，
故f﹣1（x）．
故答案为：．
【点评】本题考查了反函数解析式的求解，解题的关键是掌握反函数的定义，属于基础题．
11．（5分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由互为反函数的性质可得，直接求出a的值．
【解答】解：由互为反函数的性质可得：由题意可得：若f﹣1（a）＝3，即a＝f（3）＝log2（3×3﹣1）＝log28＝3，
故答案为：3．
【点评】考查互为反函数的性质，属于基础题．
12．（5分）函数f（x）的反函数是 f﹣1（x）＝x2﹣1（x≥0） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将y转化为用y表示x的算式，进而可得答案．
【解答】解：由y可得：x＝y2﹣1，y≥0，
∴f（x）的反函数是：f﹣1（x）＝x2﹣1（x≥0），
故答案为：f﹣1（x）＝x2﹣1 （x≥0）．
【点评】本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）下列各图中，是函数的图像的序号是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的定义依次判断四个选项即可．
【解答】解：根据函数的定义可知，对于任意的x，最多有一个y与之对应，
选项A中，x＝0有两个y对应，故选项A错误；
选项B中，x＝0有两个y对应，故选项B错误；
选项C中，任意的x，只有一个y对应，符合定义，故选项C正确；
选项D中，x＝1有两个y对应，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数定义的理解与应用，解题的关键是掌握任意的x，最多有一个y与之对应，考查了数形结合法的应用，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a B．a C．a D．a
【答案】C
【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围
【解答】解：函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），
则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，
则3a﹣2＜0，解得a，
当a时，f（x），在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），
综上所述：a
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题
15．（5分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过（ ）年．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】确定函数解析式，解不等式y≥0，即可得到结论．
【解答】解：由图得y＝﹣（x﹣6）2+11，解y≥0得6x≤6，
∴营运利润时间为2．
又∵6＜27，故选：D．
【点评】本题考查函数模型的建立，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．
16．（5分）已知的反函数为，则f（x）的定义域为（ ）
A．（﹣2，0） B．[﹣2，2] C．[﹣2，0] D．[0，2]
【答案】D
【分析】根据原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域，列出不等式即可求得．
【解答】解：由于的反函数为，
∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域；
∴∴解得；
∴0≤x≤2；
故f（x）的定义域为[0，2]．
故选：D．
【点评】本题考查了原函数与反函数的定义，属于基础题．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求：
（1）周长C关于边长x的函数解析式；
（2）面积S关于边长x的函数解析式．
【答案】（1）C＝3x，（x＞0），
（2）Sx2，（x＞0）．
【分析】（1）根据正三角形的周长公式进行求解即可，
（2）根据正三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）因为正三角形的边长为x，
所以周长C＝3x，（x＞0），
（2）因为正三角形的边长为x，
所以面积Sx2sin60°x2，（x＞0）．
【点评】本题主要考查正三角形周长和面积的求解，根据正三角形的面积公式和周长公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
18．某商品每件成本为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成即为10%），售出商品的数量就增加x成，要求降价幅度不能导致亏本，记该商品一天营业额为y，y∈R．
（1）求：该商品一天营业额y，y∈R的表达式，并指出定义域；
（2）若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣160x2+600x+10000，（0≤x≤2）；
（2）x∈[，2]．
【分析】（1）利用题中的条件，列出一天营业额的等式，即可解出；
（2）根据题中的条件，列出不等式，即可解出．
【解答】解：每件售价为100（1﹣0.1x）时，商品售出的数量为100（1+0.1）；
（1）y＝100（1﹣0.1x）×100（1+0.16x）＝﹣160x2+600x+10000，（0≤x≤2）；
（2）由题意可知﹣160x2+600x+10000≥10260，（0≤x≤2），
∴解得，又0≤x≤2，
∴，
即x．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
19．函数y＝3x﹣m与互为反函数，求实数m，n的值．
【答案】m＝﹣1，n．
【分析】先求出函数y＝3x﹣m的反函数为y，结合条件求出常数m．n的值．
【解答】解：由y＝3x﹣m的反函数为 y，
又因为y＝3x﹣m与y＝nx互为反函数，
可得n，m＝﹣1．
【点评】本题主要考查求一个函数的反函数的方法，属于基础题．
20．设函数f（x）＝2x+p（p为常数且p∈R）．
（1）若f（3）＝5，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，解方程：f﹣1（x）＝log2（x+1）+log2（2x﹣1）．
【答案】（1）f（x）＝2x﹣3；
（2）x．
【分析】（1）据题意f（3）＝5代入方程，求出p的值，从而求出解析式；
（2）先求得反函数，进而得到方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题得f（3）＝23+p＝8+p＝5，所以p＝﹣3，
则f（x）＝2x﹣3；
（2）因为y＝2x﹣3，所以x＝log2（y+3）（y＞﹣3），
则f﹣1（x）＝log2（x+3）（x＞﹣3），
所以方程等价于log2（x+3）＝log2（x+1）+log2（2x﹣1），
即log2（x+3）＝log2（x+1）（2x﹣1），
即x+3＝2x2+x﹣1，解得x＝±，
又因为，所以x，
所以x，
即方程的解为x．
【点评】本题主要考查了函数的值，以及反函数和对数方程，解题时需注意定义域，属于基础题．
21．某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p＝50﹣|x﹣6|（元/百斤），第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售量q＝a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．
（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？
（2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？
【答案】（1）第10天的销售收入1932元；（2）第2天该商品的销售收入最大，最大为2116元．
【分析】（1）根据第7天的销售收入求出a，再代入销售量q中，能求出第10天的销售收入；
（2）由（1）求出a的值，分1≤x≤6和8≤x≤20两个范围分别求出销售收入关于第x天的函数，再分别求出其函数的最大值．
【解答】解：（1）由已知求出第7天的销售价格为p＝49，销售量q＝a+1，
∴第7天的销售收入W7＝49×（a+1）＝2009（元），
解得a＝40，
∴销售量q＝40+|x﹣8|，
∴第10天的销售收入W10＝46×12＝1932（元）．
（2）设第x天的销售收入为Wx，
则Wx，
当1≤x≤6时，Wx＝（44+x）（48﹣x）＝44×48+4x﹣x2
＝44×48+4﹣（x﹣2）2＝2116﹣（x﹣2）2，
当x＝2时，取最大值W2＝2116，
当8≤x≤20时，Wx＝（56﹣x）（32+x）＝56×32+24x﹣x2
＝1936﹣（x﹣12）2，
当x＝12时，取最大值W12＝1936，
∵W2＞W7＞W12，
∴第2天该商品的销售收入最大，最大值为2116元．
【点评】本题考查二次函数的性质及其应用、自变量的分段取值范围等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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第五章 函数的概念、性质及应用
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）函数的定义域为 ．
2．（4分）函数，当x＝2时没有意义，则a＝ ．
3．（4分）函数y的定义域为 ．
4．（4分）已知函数，，则f（x） g（x）＝ ．
5．（4分）函数y的递增区间是 ．
6．（4分）定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是 ．
7．（5分）某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价y（元）与行程公里数x（公里）之间的函数关系式是 ．
8．（5分）若函数f（x）＝log3（x+a）的反函数的图象经过点（1，2），则实数a＝ ．
9．（5分）若函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是 ．
10．（5分）已知f（x）＝x3，则f﹣1（x）＝ ．
11．（5分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝ ．
12．（5分）函数f（x）的反函数是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）下列各图中，是函数的图像的序号是（ ）
A． B．
C． D．
14．（5分）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a B．a C．a D．a
15．（5分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过（ ）年．
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（5分）已知的反函数为，则f（x）的定义域为（ ）
A．（﹣2，0） B．[﹣2，2] C．[﹣2，0] D．[0，2]
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求：
（1）周长C关于边长x的函数解析式；
（2）面积S关于边长x的函数解析式．
18．某商品每件成本为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成即为10%），售出商品的数量就增加x成，要求降价幅度不能导致亏本，记该商品一天营业额为y，y∈R．
（1）求：该商品一天营业额y，y∈R的表达式，并指出定义域；
（2）若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
19．函数y＝3x﹣m与互为反函数，求实数m，n的值．
20．设函数f（x）＝2x+p（p为常数且p∈R）．
（1）若f（3）＝5，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，解方程：f﹣1（x）＝log2（x+1）+log2（2x﹣1）．
21．某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p＝50﹣|x﹣6|（元/百斤），第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售量q＝a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．
（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？
（2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？
第五章 函数的概念、性质及应用
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）函数的定义域为 [﹣1，1]． ．
【答案】[﹣1，1]．
【分析】由题意，利用偶次根式的性质，求出函数的定义域．
【解答】解：根据函数，可得1﹣|x|≥0，∴|x|≤1，∴﹣1≤x≤1，
故答案为：[﹣1，1]．
【点评】本题主要考查偶次根式的性质，求函数的定义域，属于基础题．
2．（4分）函数，当x＝2时没有意义，则a＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】由题意，利用分式的性质，求得a的值．
【解答】解：由于函数，当x＝2时没有意义，
故2﹣2a＝0，求得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的性质，属于基础题．
3．（4分）函数y的定义域为 {x|x≥1} ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x即可．
【解答】解：要是函数有意义，须x﹣1≥0，解得x≥1，
故函数的定义域为{x|x≥1}．
故答案为：{x|x≥1}．
【点评】本题考查了求函数定义域的主要方法，属于简单题．
4．（4分）已知函数，，则f（x） g（x）＝ 2x（x＞1） ．
【答案】2x（x＞1）．
【分析】先求出函数的定义域，利用因式乘法性质进行计算即可．
【解答】解：要使函数f（x）有意义，则x﹣1≥0得x≥1，即f（x）的定义域为[1，+∞），
要使函数g（x）有意义，则x﹣1＞0得x＞1，即g（x）的定义域为（1，+∞），
则f（x）g（x）的定义域为（1，+∞），
则f（x） g（x）＝x 2x，（x＞1），
故答案为：f（x） g（x）＝2x（x＞1）．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，先求出函数的定义域，然后利用因式成绩进行计算是解决本题的关键，是基础题．
5．（4分）函数y的递增区间是 （﹣∞，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】函数y的递增区间，即函数t＝|x﹣1|在t≠0时的减区间，利用绝对值函数的性质得出结论．
【解答】解：函数y的递增区间，即函数t＝|x﹣1|在t≠0时的减区间，
而函数t＝|x﹣1|在t≠0时的减区间为（﹣∞，1），
故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，根式函数、含绝对值的函数的性质，属于中档题．
6．（4分）定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是 （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．
【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴x＞2，
（2）x＜0时，f（x）＞0，∴x＜﹣2，
∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
7．（5分）某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价y（元）与行程公里数x（公里）之间的函数关系式是 ．
【答案】．
【分析】设运输里程为xkm，运费为y元，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝0.5×100+0.4（x﹣100），由此得出函数关系式即可．
【解答】解：设运输里程为xkm，运费为y元，
则，
即，
故答案：．
【点评】本题考查函数的解析式表示法中的分段函数，属于基础题．
8．（5分）若函数f（x）＝log3（x+a）的反函数的图象经过点（1，2），则实数a＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】反函数图象过（1，2），等价于原函数的图象过（2，1），代点即可求得．
【解答】解：依题意f（x）＝log3 （x+a）的图象过（2，1），
∴log3 （2+a）＝1，解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了反函数．属基础题．
9．（5分）若函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是 （0，﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】计算函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，0），再根据原函数和反函数对应的自变量x的取值和应变量y的值相反可得答案，
【解答】解：函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点为当x+3＝1时，即x＝﹣2时，y＝0，
即恒过定点（﹣2，0），
由原函数和反函数对应的自变量x的取值和应变量y的值相反，
函数y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，0），
则函数的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2），
【点评】本题考查了互为反函数的性质、对数函数的性质，属于基础题．
10．（5分）已知f（x）＝x3，则f﹣1（x）＝ ．
【答案】．
【分析】利用反函数的定义，将x用y表示，即可得到反函数的解析式．
【解答】解：因为f（x）＝x3，
所以，
故f﹣1（x）．
故答案为：．
【点评】本题考查了反函数解析式的求解，解题的关键是掌握反函数的定义，属于基础题．
11．（5分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由互为反函数的性质可得，直接求出a的值．
【解答】解：由互为反函数的性质可得：由题意可得：若f﹣1（a）＝3，即a＝f（3）＝log2（3×3﹣1）＝log28＝3，
故答案为：3．
【点评】考查互为反函数的性质，属于基础题．
12．（5分）函数f（x）的反函数是 f﹣1（x）＝x2﹣1（x≥0） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将y转化为用y表示x的算式，进而可得答案．
【解答】解：由y可得：x＝y2﹣1，y≥0，
∴f（x）的反函数是：f﹣1（x）＝x2﹣1（x≥0），
故答案为：f﹣1（x）＝x2﹣1 （x≥0）．
【点评】本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）下列各图中，是函数的图像的序号是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的定义依次判断四个选项即可．
【解答】解：根据函数的定义可知，对于任意的x，最多有一个y与之对应，
选项A中，x＝0有两个y对应，故选项A错误；
选项B中，x＝0有两个y对应，故选项B错误；
选项C中，任意的x，只有一个y对应，符合定义，故选项C正确；
选项D中，x＝1有两个y对应，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数定义的理解与应用，解题的关键是掌握任意的x，最多有一个y与之对应，考查了数形结合法的应用，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a B．a C．a D．a
【答案】C
【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围
【解答】解：函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），
则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，
则3a﹣2＜0，解得a，
当a时，f（x），在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），
综上所述：a
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题
15．（5分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过（ ）年．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】确定函数解析式，解不等式y≥0，即可得到结论．
【解答】解：由图得y＝﹣（x﹣6）2+11，解y≥0得6x≤6，
∴营运利润时间为2．
又∵6＜27，故选：D．
【点评】本题考查函数模型的建立，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．
16．（5分）已知的反函数为，则f（x）的定义域为（ ）
A．（﹣2，0） B．[﹣2，2] C．[﹣2，0] D．[0，2]
【答案】D
【分析】根据原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域，列出不等式即可求得．
【解答】解：由于的反函数为，
∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域；
∴∴解得；
∴0≤x≤2；
故f（x）的定义域为[0，2]．
故选：D．
【点评】本题考查了原函数与反函数的定义，属于基础题．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求：
（1）周长C关于边长x的函数解析式；
（2）面积S关于边长x的函数解析式．
【答案】（1）C＝3x，（x＞0），
（2）Sx2，（x＞0）．
【分析】（1）根据正三角形的周长公式进行求解即可，
（2）根据正三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）因为正三角形的边长为x，
所以周长C＝3x，（x＞0），
（2）因为正三角形的边长为x，
所以面积Sx2sin60°x2，（x＞0）．
【点评】本题主要考查正三角形周长和面积的求解，根据正三角形的面积公式和周长公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
18．某商品每件成本为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成即为10%），售出商品的数量就增加x成，要求降价幅度不能导致亏本，记该商品一天营业额为y，y∈R．
（1）求：该商品一天营业额y，y∈R的表达式，并指出定义域；
（2）若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣160x2+600x+10000，（0≤x≤2）；
（2）x∈[，2]．
【分析】（1）利用题中的条件，列出一天营业额的等式，即可解出；
（2）根据题中的条件，列出不等式，即可解出．
【解答】解：每件售价为100（1﹣0.1x）时，商品售出的数量为100（1+0.1）；
（1）y＝100（1﹣0.1x）×100（1+0.16x）＝﹣160x2+600x+10000，（0≤x≤2）；
（2）由题意可知﹣160x2+600x+10000≥10260，（0≤x≤2），
∴解得，又0≤x≤2，
∴，
即x．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
19．函数y＝3x﹣m与互为反函数，求实数m，n的值．
【答案】m＝﹣1，n．
【分析】先求出函数y＝3x﹣m的反函数为y，结合条件求出常数m．n的值．
【解答】解：由y＝3x﹣m的反函数为 y，
又因为y＝3x﹣m与y＝nx互为反函数，
可得n，m＝﹣1．
【点评】本题主要考查求一个函数的反函数的方法，属于基础题．
20．设函数f（x）＝2x+p（p为常数且p∈R）．
（1）若f（3）＝5，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，解方程：f﹣1（x）＝log2（x+1）+log2（2x﹣1）．
【答案】（1）f（x）＝2x﹣3；
（2）x．
【分析】（1）据题意f（3）＝5代入方程，求出p的值，从而求出解析式；
（2）先求得反函数，进而得到方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题得f（3）＝23+p＝8+p＝5，所以p＝﹣3，
则f（x）＝2x﹣3；
（2）因为y＝2x﹣3，所以x＝log2（y+3）（y＞﹣3），
则f﹣1（x）＝log2（x+3）（x＞﹣3），
所以方程等价于log2（x+3）＝log2（x+1）+log2（2x﹣1），
即log2（x+3）＝log2（x+1）（2x﹣1），
即x+3＝2x2+x﹣1，解得x＝±，
又因为，所以x，
所以x，
即方程的解为x．
【点评】本题主要考查了函数的值，以及反函数和对数方程，解题时需注意定义域，属于基础题．
21．某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p＝50﹣|x﹣6|（元/百斤），第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售量q＝a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．
（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？
（2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？
【答案】（1）第10天的销售收入1932元；（2）第2天该商品的销售收入最大，最大为2116元．
【分析】（1）根据第7天的销售收入求出a，再代入销售量q中，能求出第10天的销售收入；
（2）由（1）求出a的值，分1≤x≤6和8≤x≤20两个范围分别求出销售收入关于第x天的函数，再分别求出其函数的最大值．
【解答】解：（1）由已知求出第7天的销售价格为p＝49，销售量q＝a+1，
∴第7天的销售收入W7＝49×（a+1）＝2009（元），
解得a＝40，
∴销售量q＝40+|x﹣8|，
∴第10天的销售收入W10＝46×12＝1932（元）．
（2）设第x天的销售收入为Wx，
则Wx，
当1≤x≤6时，Wx＝（44+x）（48﹣x）＝44×48+4x﹣x2
＝44×48+4﹣（x﹣2）2＝2116﹣（x﹣2）2，
当x＝2时，取最大值W2＝2116，
当8≤x≤20时，Wx＝（56﹣x）（32+x）＝56×32+24x﹣x2
＝1936﹣（x﹣12）2，
当x＝12时，取最大值W12＝1936，
∵W2＞W7＞W12，
∴第2天该商品的销售收入最大，最大值为2116元．
【点评】本题考查二次函数的性质及其应用、自变量的分段取值范围等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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