第四章 幂函数、指数函数与对数函数（单元测试.含解析）2025-2026学年上教版（2020）数学必修第一册
文档属性
| 名称 | 第四章 幂函数、指数函数与对数函数（单元测试.含解析）2025-2026学年上教版（2020）数学必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 199.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-21 12:52:23 | ||
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文档简介
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第四章 幂函数、指数函数与对数函数
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）若幂函数y＝f（x）的图象经过点，则的值为 ．
2．（4分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm是R上的增函数，则m的值为 ．
3．（4分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为 ．
4．（4分）若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝ ．
5．（4分）函数y＝ax﹣1+3恒过定点 ．
6．（4分）已知loga2＜1（其中a＞0且a≠1），则a的取值范围是 ．
7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝ ．
8．（5分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝ ．
9．（5分）若0＜m＜n，k∈Q且k＜0，则与的大小关系是 ．
10．（5分）设m∈R，若f（x）＝（m+1）mx+1是偶函数，则f（x）的单调递减区间是 ．
11．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，，，，1，2，3}，任取k∈A，则幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为 （结果用数值表示）．
12．（5分）幂函数是偶函数，则m＝ ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（ ）
A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数
D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
14．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．sinx＞siny D．x3＞y3
15．（5分）已知函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，则实数a、b满足（ ）
A．a≥1，b≥0 B．a＞0，b≥1 C．b+log2a≥0 D．a+2b≥0
16．（5分）函数f（x）＝ax﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．
（1）y＝x﹣2；
（2）；
（3）；
（4）．
18．已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）的最值，并求此时x的值．
19．已知函数y＝xa、y＝xb、y＝xc在第一象限的函数图象如图，试比较a，b，c的大小．
20．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）．
（1）若函数y＝f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）若f（lga）＝100，求a的值．
21．已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）a；
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
第四章 幂函数、指数函数与对数函数
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）若幂函数y＝f（x）的图象经过点，则的值为 ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设出幂函数解析式来，再通过经过点，解得参数，从而求得其解析式，进而求得结论
【解答】解：设幂函数为：y＝xα
∵幂函数的图象经过点（，2），
∴2＝（）α＝2﹣3α；
∴α；
∴y＝x；
则f（）的值为：（）（﹣2﹣3）2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，属于基础题．
2．（4分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm是R上的增函数，则m的值为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据幂函数的定义得出m2﹣5m+7＝1，求出m的值，再根据f（x）是R上的增函数确定满足题意的m值．
【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm是幂函数，则m2﹣5m+7＝1，
即m2﹣5m+6＝0，
解得m＝2或m＝3；
当m＝2时，f（x）＝x2不是R上的增函数，不满足题意；
当m＝3时，f（x）＝x3是R上的增函数，满足题意．
则m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
3．（4分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（）的值．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R；
其图象过点（4，），
所以4α，解得α；
所以f（x），
所以f（）4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂函数的定义与计算问题，是基础题．
4．（4分）若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意求出幂函数的解析式，再计算f（3）的值．
【解答】解：幂函数f（x）＝xα图象过点，
则2α，解得α＝﹣1，
∴f（x）＝x﹣1；
∴f（3）＝3﹣1．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
5．（4分）函数y＝ax﹣1+3恒过定点 （1，4） ．
【答案】（1，4）．
【分析】令幂指数等于0，求出x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【解答】解：对于函数y＝ax﹣1+3，令x﹣1＝0，求得x＝1，y＝4，可得它的图象经过定点（1，4），
故答案为：（1，4）．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
6．（4分）已知loga2＜1（其中a＞0且a≠1），则a的取值范围是 a＞2或0＜a＜1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把1变成底数的对数，再讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．
【解答】解：∵loga2＜1
∴loga2＜logaa，
当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞2，
当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有loga2＜0＜1成立；
综上可知a的取值是a＞2或0＜a＜1．
故答案为：a＞2或0＜a＜1
【点评】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．
7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝ ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．
【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，
幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴a是奇数，且a＜0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝ ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以看出，只有α＝﹣2时，f（x）为偶函数，从而得出α＝﹣2．
【解答】解：f（x）＝x﹣2是偶函数；
∴α＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．
9．（5分）若0＜m＜n，k∈Q且k＜0，则与的大小关系是 ＜ ．
【答案】＜．
【分析】利用不等式的性质求出0，再利用幂函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵0＜m＜n，∴0，
∵k＜0，∴幂函数y＝xk在（0，+∞）上单调递减，
∴，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了不等式的性质，幂函数的单调性，属于基础题．
10．（5分）设m∈R，若f（x）＝（m+1）mx+1是偶函数，则f（x）的单调递减区间是 （﹣∞，0] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即（m+1）m（﹣x）+1＝（m+1）mx+1，分析可得m的值，即可得f（x）的解析式，结合幂函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）＝（m+1）mx+1是偶函数，
则f（﹣x）＝f（x），即（m+1）m（﹣x）+1＝（m+1）mx+1，
则有2mx＝0，则m＝0，
则f（x）11，其递减区间为（﹣∞，0]；
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出m的值，属于基础题．
11．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，，，，1，2，3}，任取k∈A，则幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为 （结果用数值表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】基本事件总数n＝8，幂函数f（x）＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，由此能求出幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率．
【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，，，，1，2，3}，任取k∈A，
基本事件总数n＝8，
幂函数f（x）＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，
∴幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）幂函数是偶函数，则m＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】利用幂函数的性质直接求解．
【解答】解：∵幂函数是偶函数，
∴，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（ ）
A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数
D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
【答案】D
【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．
【解答】解：设幂函数的解析式为：y＝xα，
将（3，）代入解析式得：
3α，解得α，
∴y，
故选：D．
【点评】本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．
14．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．sinx＞siny D．x3＞y3
【答案】D
【分析】实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y＝x3在R上单调递增，即可判断出正误．
【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），
∴x＞y，
A．取x＝2，y＝﹣1，不成立；
B．取x＝0，y＝﹣1，不成立
C．取x＝π，y＝﹣π，不成立；
D．由于y＝x3在R上单调递增，因此正确
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
15．（5分）已知函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，则实数a、b满足（ ）
A．a≥1，b≥0 B．a＞0，b≥1 C．b+log2a≥0 D．a+2b≥0
【答案】C
【分析】因为函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，所以当x＝0时，y≥0，所以log2a+b≥0．
【解答】解：∵函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，
∴当x＝0时，y≥0，
∴log2a+b≥0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．
16．（5分）函数f（x）＝ax﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
【答案】D
【分析】根据函数的图象，确定函数的单调性，求出a的范围，结合指数函数的图象，推出b的范围，确定选项．
【解答】解：由图象得函数是减函数，
∴0＜a＜1．
又分析得，图象是由y＝ax的图象向左平移所得，
∴﹣b＞0，即b＜0．从而D正确．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查学生视图能力，指数函数的图象变换，掌握指数函数的性质，才能正确解题．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．
（1）y＝x﹣2；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】见解答过程．
【分析】由题意，利用函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：（1）y＝x﹣2的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞0}、是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
（2）的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}、是奇函数，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减．
（3）的定义域为R，值域为R，是奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增．
（4）的定义域为{x|x≥0}，值域为{y|y≥0}、是非奇非偶函数，在[0，+∞）上单调递增．
它们的图象如图：
【点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于中档题．
18．已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）的最值，并求此时x的值．
【答案】（1）[1，3）．
（2）当x＝1时，f（x）有最大值为2，f（x）没有最小值．
【分析】（1）由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求出f（x）的单调递减区间．
（2）求出f（x）的真数t的最值，可得f（x）的最值．
【解答】解：（1）由函数，可得﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＞0，
可得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为（﹣1，3）．
由题意，函数f（x）的减区间，即函数t＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）在（﹣1，3）上的减区间．
再根据二次函数的性质，可得函数t＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）在（﹣1，3）上的减区间为[1，3）．
（2）由于当x＝1时，函数t＝﹣x2+2x+3有最大值为4，故f（x）有最大值为log24＝2；
由于函数t没有最小值，故f（x）没有最小值．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
19．已知函数y＝xa、y＝xb、y＝xc在第一象限的函数图象如图，试比较a，b，c的大小．
【答案】a＞b＞c．
【分析】根据所给图形结合幂函数相关性质可得，a＞1，0＜b＜1，c＜0，可解．
【解答】解：根据所给图形结合幂函数相关性质可得，a＞1，0＜b＜1，c＜0，
故a＞b＞c．
【点评】本题考查幂函数图象，属于基础题．
20．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）．
（1）若函数y＝f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）若f（lga）＝100，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）函数y＝f（x）的图象经过P（3，4）点，可得a3﹣1＝4，由此求出a；
（2）由f（lga）＝100知，alga﹣1＝100，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得（lga﹣1） lga＝2，解此方程先求lga，再求a
【解答】解：（1）∵函数y＝f（x）的图象经过P（3，4）
∴a3﹣1＝4，即a2＝4．
又a＞0，所以a＝2．
（2）由f（lga）＝100知，alga﹣1＝100．
∴lgalga﹣1＝2（或lga﹣1＝loga100）．
∴（lga﹣1） lga＝2．
∴lg2a﹣lga﹣2＝0，
∴lga＝﹣1或lga＝2，
所以，a或a＝100
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，对数的运算，属于容易题
21．已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）a；
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依题意，可求得A（2，2），将其代入f（x）的解析式即可求得实数a的值；
（2）利用对数函数的性质即可求得不等式f（x）a的解集；
（3）由|g（x+2）﹣2|＝2b |2x﹣1|＝2b，通过对x的符号分类讨论可求得|2x﹣1|的范围，从而可求得b的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，
∴A（2，2）…2分
又点A在函数f（x）上，
∴f（2）2，
∴2+a3，
∴a＝1…4分
（2）f（x）a 0…6分
0＜x+1＜1 ﹣1＜x＜0，
不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；…8分
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b，
|2x+1﹣2|＝2b |2x﹣1|＝2b，…10分
若x＜0，0＜2x＜1，
∴﹣1＜2x﹣1＜0；
∴0＜|2x﹣1|＜1；
若x＞0，则2x＞1，
∴2x﹣1＞0；
∴0＜2b＜1，故b的取值范围为（0，）…12分
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，考查解不等式，考查转化思想与分类讨论思想，考查综合分析与运算的能力，属于难题．
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第四章 幂函数、指数函数与对数函数
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）若幂函数y＝f（x）的图象经过点，则的值为 ．
2．（4分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm是R上的增函数，则m的值为 ．
3．（4分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为 ．
4．（4分）若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝ ．
5．（4分）函数y＝ax﹣1+3恒过定点 ．
6．（4分）已知loga2＜1（其中a＞0且a≠1），则a的取值范围是 ．
7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝ ．
8．（5分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝ ．
9．（5分）若0＜m＜n，k∈Q且k＜0，则与的大小关系是 ．
10．（5分）设m∈R，若f（x）＝（m+1）mx+1是偶函数，则f（x）的单调递减区间是 ．
11．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，，，，1，2，3}，任取k∈A，则幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为 （结果用数值表示）．
12．（5分）幂函数是偶函数，则m＝ ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（ ）
A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数
D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
14．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．sinx＞siny D．x3＞y3
15．（5分）已知函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，则实数a、b满足（ ）
A．a≥1，b≥0 B．a＞0，b≥1 C．b+log2a≥0 D．a+2b≥0
16．（5分）函数f（x）＝ax﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．
（1）y＝x﹣2；
（2）；
（3）；
（4）．
18．已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）的最值，并求此时x的值．
19．已知函数y＝xa、y＝xb、y＝xc在第一象限的函数图象如图，试比较a，b，c的大小．
20．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）．
（1）若函数y＝f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）若f（lga）＝100，求a的值．
21．已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）a；
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
第四章 幂函数、指数函数与对数函数
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）若幂函数y＝f（x）的图象经过点，则的值为 ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设出幂函数解析式来，再通过经过点，解得参数，从而求得其解析式，进而求得结论
【解答】解：设幂函数为：y＝xα
∵幂函数的图象经过点（，2），
∴2＝（）α＝2﹣3α；
∴α；
∴y＝x；
则f（）的值为：（）（﹣2﹣3）2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，属于基础题．
2．（4分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm是R上的增函数，则m的值为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据幂函数的定义得出m2﹣5m+7＝1，求出m的值，再根据f（x）是R上的增函数确定满足题意的m值．
【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm是幂函数，则m2﹣5m+7＝1，
即m2﹣5m+6＝0，
解得m＝2或m＝3；
当m＝2时，f（x）＝x2不是R上的增函数，不满足题意；
当m＝3时，f（x）＝x3是R上的增函数，满足题意．
则m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
3．（4分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（）的值．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R；
其图象过点（4，），
所以4α，解得α；
所以f（x），
所以f（）4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂函数的定义与计算问题，是基础题．
4．（4分）若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意求出幂函数的解析式，再计算f（3）的值．
【解答】解：幂函数f（x）＝xα图象过点，
则2α，解得α＝﹣1，
∴f（x）＝x﹣1；
∴f（3）＝3﹣1．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
5．（4分）函数y＝ax﹣1+3恒过定点 （1，4） ．
【答案】（1，4）．
【分析】令幂指数等于0，求出x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【解答】解：对于函数y＝ax﹣1+3，令x﹣1＝0，求得x＝1，y＝4，可得它的图象经过定点（1，4），
故答案为：（1，4）．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
6．（4分）已知loga2＜1（其中a＞0且a≠1），则a的取值范围是 a＞2或0＜a＜1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把1变成底数的对数，再讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．
【解答】解：∵loga2＜1
∴loga2＜logaa，
当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞2，
当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有loga2＜0＜1成立；
综上可知a的取值是a＞2或0＜a＜1．
故答案为：a＞2或0＜a＜1
【点评】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．
7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝ ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．
【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，
幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴a是奇数，且a＜0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝ ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以看出，只有α＝﹣2时，f（x）为偶函数，从而得出α＝﹣2．
【解答】解：f（x）＝x﹣2是偶函数；
∴α＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．
9．（5分）若0＜m＜n，k∈Q且k＜0，则与的大小关系是 ＜ ．
【答案】＜．
【分析】利用不等式的性质求出0，再利用幂函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵0＜m＜n，∴0，
∵k＜0，∴幂函数y＝xk在（0，+∞）上单调递减，
∴，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了不等式的性质，幂函数的单调性，属于基础题．
10．（5分）设m∈R，若f（x）＝（m+1）mx+1是偶函数，则f（x）的单调递减区间是 （﹣∞，0] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即（m+1）m（﹣x）+1＝（m+1）mx+1，分析可得m的值，即可得f（x）的解析式，结合幂函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）＝（m+1）mx+1是偶函数，
则f（﹣x）＝f（x），即（m+1）m（﹣x）+1＝（m+1）mx+1，
则有2mx＝0，则m＝0，
则f（x）11，其递减区间为（﹣∞，0]；
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出m的值，属于基础题．
11．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，，，，1，2，3}，任取k∈A，则幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为 （结果用数值表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】基本事件总数n＝8，幂函数f（x）＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，由此能求出幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率．
【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，，，，1，2，3}，任取k∈A，
基本事件总数n＝8，
幂函数f（x）＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，
∴幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）幂函数是偶函数，则m＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】利用幂函数的性质直接求解．
【解答】解：∵幂函数是偶函数，
∴，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（ ）
A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数
D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
【答案】D
【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．
【解答】解：设幂函数的解析式为：y＝xα，
将（3，）代入解析式得：
3α，解得α，
∴y，
故选：D．
【点评】本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．
14．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．sinx＞siny D．x3＞y3
【答案】D
【分析】实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y＝x3在R上单调递增，即可判断出正误．
【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），
∴x＞y，
A．取x＝2，y＝﹣1，不成立；
B．取x＝0，y＝﹣1，不成立
C．取x＝π，y＝﹣π，不成立；
D．由于y＝x3在R上单调递增，因此正确
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
15．（5分）已知函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，则实数a、b满足（ ）
A．a≥1，b≥0 B．a＞0，b≥1 C．b+log2a≥0 D．a+2b≥0
【答案】C
【分析】因为函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，所以当x＝0时，y≥0，所以log2a+b≥0．
【解答】解：∵函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，
∴当x＝0时，y≥0，
∴log2a+b≥0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．
16．（5分）函数f（x）＝ax﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
【答案】D
【分析】根据函数的图象，确定函数的单调性，求出a的范围，结合指数函数的图象，推出b的范围，确定选项．
【解答】解：由图象得函数是减函数，
∴0＜a＜1．
又分析得，图象是由y＝ax的图象向左平移所得，
∴﹣b＞0，即b＜0．从而D正确．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查学生视图能力，指数函数的图象变换，掌握指数函数的性质，才能正确解题．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．
（1）y＝x﹣2；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】见解答过程．
【分析】由题意，利用函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：（1）y＝x﹣2的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞0}、是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
（2）的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}、是奇函数，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减．
（3）的定义域为R，值域为R，是奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增．
（4）的定义域为{x|x≥0}，值域为{y|y≥0}、是非奇非偶函数，在[0，+∞）上单调递增．
它们的图象如图：
【点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于中档题．
18．已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）的最值，并求此时x的值．
【答案】（1）[1，3）．
（2）当x＝1时，f（x）有最大值为2，f（x）没有最小值．
【分析】（1）由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求出f（x）的单调递减区间．
（2）求出f（x）的真数t的最值，可得f（x）的最值．
【解答】解：（1）由函数，可得﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＞0，
可得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为（﹣1，3）．
由题意，函数f（x）的减区间，即函数t＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）在（﹣1，3）上的减区间．
再根据二次函数的性质，可得函数t＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）在（﹣1，3）上的减区间为[1，3）．
（2）由于当x＝1时，函数t＝﹣x2+2x+3有最大值为4，故f（x）有最大值为log24＝2；
由于函数t没有最小值，故f（x）没有最小值．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
19．已知函数y＝xa、y＝xb、y＝xc在第一象限的函数图象如图，试比较a，b，c的大小．
【答案】a＞b＞c．
【分析】根据所给图形结合幂函数相关性质可得，a＞1，0＜b＜1，c＜0，可解．
【解答】解：根据所给图形结合幂函数相关性质可得，a＞1，0＜b＜1，c＜0，
故a＞b＞c．
【点评】本题考查幂函数图象，属于基础题．
20．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）．
（1）若函数y＝f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）若f（lga）＝100，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）函数y＝f（x）的图象经过P（3，4）点，可得a3﹣1＝4，由此求出a；
（2）由f（lga）＝100知，alga﹣1＝100，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得（lga﹣1） lga＝2，解此方程先求lga，再求a
【解答】解：（1）∵函数y＝f（x）的图象经过P（3，4）
∴a3﹣1＝4，即a2＝4．
又a＞0，所以a＝2．
（2）由f（lga）＝100知，alga﹣1＝100．
∴lgalga﹣1＝2（或lga﹣1＝loga100）．
∴（lga﹣1） lga＝2．
∴lg2a﹣lga﹣2＝0，
∴lga＝﹣1或lga＝2，
所以，a或a＝100
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，对数的运算，属于容易题
21．已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）a；
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依题意，可求得A（2，2），将其代入f（x）的解析式即可求得实数a的值；
（2）利用对数函数的性质即可求得不等式f（x）a的解集；
（3）由|g（x+2）﹣2|＝2b |2x﹣1|＝2b，通过对x的符号分类讨论可求得|2x﹣1|的范围，从而可求得b的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，
∴A（2，2）…2分
又点A在函数f（x）上，
∴f（2）2，
∴2+a3，
∴a＝1…4分
（2）f（x）a 0…6分
0＜x+1＜1 ﹣1＜x＜0，
不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；…8分
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b，
|2x+1﹣2|＝2b |2x﹣1|＝2b，…10分
若x＜0，0＜2x＜1，
∴﹣1＜2x﹣1＜0；
∴0＜|2x﹣1|＜1；
若x＞0，则2x＞1，
∴2x﹣1＞0；
∴0＜2b＜1，故b的取值范围为（0，）…12分
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，考查解不等式，考查转化思想与分类讨论思想，考查综合分析与运算的能力，属于难题．
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