2025-2026学年北师大版八年级数学上册 2.3二次根式 第1课时 二次根式及其性质 课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
第二章 实数
2.3 二次根式
第1课时 二次根式及其性质
第1课时
二次根式及其性质
情 境 导 入
问题：
观察下列代数式：
这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢
①都含有开平方运算.根指数都为2;
②被开方数为非负数.
回忆：
1.什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
2.什么叫做算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
3.什么数有算术平方根
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
概念：
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
a可以是数，也可以是式
注意：
特征：
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
探究二次根式的概念
第1课时
二次根式及其性质
新 课 探 究
探究二次根式的概念
概念：
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
a可以是数，也可以是式
二次根式的双重非负性
被开方数 a ≥ 0
，表示a的算数平方根
注意：
性质：
例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
探究二次根式的概念
巩固练习
1.当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
x-3 ≥ 0,
x ≥ 3,
答：当x ≥ 3时， 在实数范围内有意义.
解：
巩固练习
2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
巩固练习
2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得 x-1＞0，
∴x＞1.
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
探究二次根式的性质
问题1：计算下列各式，你能得到什么猜想？
6
6
10
10
探究二次根式的性质
问题2：计算下列各式，你能得到什么猜想？
探究二次根式的性质
问题3：根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流。
≈ ，
6.480
≈　 　；
用计算器计算：
≈ ，
≈　
　 ．
6.480
0.9258
0.9258
探究二次根式的性质
积的算术平方根，等于各个因式算术平方根的积；
商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.
结论：
探究二次根式的性质
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
结论：
注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
探究二次根式的性质
最简二次根式的条件：
①是二次根式；
②被开方数中不含分母；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
结论：
巩固练习
1.化简：
巩固练习
2. 下列式子是二次根式的有（ ）个.
A.2 B.3 C.4 D.5
D
5.(新题速递)若＝0，求a2 024＋b2 025的值.
解：＝0，
＝0，
∴a＋1＝0，b－1＝0，
∴a＝－1，b＝1，
∴a2 024＋b2 025＝1＋1＝2.
拓展延伸
课 堂 小 结
1、这节课你都学会了什么？
2、将你的所学形成网络框架.
第1课时
二次根式及其性质
二次根式
定义
在有意义条件下
求字母的取值范围
二次根式的双重非
负性
最简二次根式
带有二次根号
被开方数为非负数
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
二次根式 中,a≥0且
≥0
1．下列各式是二次根式的是( )
A．　 B．　
C．　 D．a
B
课后练习
2．(2023德州)若有意义，则x的值可以是
　 　．(写出一个即可)
　2(答案不唯一)　
3．化简：
(1)＝　　，＝　 ；
(2)＝　 ，＝　 　；
(3)＝　　，＝ 　；
12
5　
2　
18
4
(4)＝ 　，＝　 　；
(5)＝ 　，＝ 　；
(6)＝　 　，＝　 　．
小结：牢记1~25的平方数.
　6　
　
12
　3　
4．在二次根式中，最简二次根式的个数是( )
A．1　 B．2　
C．3　 D．4
A
5．【例1】下列各式中，是二次根式的有( )
①；②；③；④ ；
⑤；⑥；⑦．
A．2个　 B．3个　 C．4个　 D．5个
C
6．【例2】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥2
C．x≤2 D．x≠－2
B
7．【例3】在，中，是最简二次根式的是 ．
　
8．【例4】把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)＝　 　；
(2)＝ 　(a＞0，b＞0)．
20
10．【例6】已知＋|y＋1|＝0．
(1)求x＋y的值；
(2)求x2 023＋y2 024的值．
解：(1)∵＋|y＋1|＝0，
∴＝0，|y＋1|＝0，∴x－1＝0，y＋1＝0，
∴x＝1，y＝－1，∴x＋y＝1＋(－1)＝0．
(2)∵x＝1，y＝－1，
∴x2 023＋y2 024＝12 023＋(－1)2 024＝2．
11．下列各式中：①；②；③；④；
⑤；⑥．一定是二次根式的有( )
A．1个　 B．2个　
C．3个　 D．4个
C
12．(1)二次根式有意义的条件是　 　；
(2)(北师八上P43)一个直角三角形的斜边长为 15 cm，一条直角边长为 10 cm，则另一条直角边长为　 cm．
　a≤－2　
5　
13．在中，一定是最简二次根式的是 　．
14．把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)＝　　 ； (2)＝ 　 ；
(3)＝ ； (4)＝ ．
3
　
15．(2024肇庆期中)若是一个正整数，则正整数 m 的最小值是　 　．
　6　
★16． 已知a，b满足＋|b－1|＝0，求a2 024＋b2 025－4ab的平方根．
解：∵＋|b－1|＝0，
∴a＋1＝0，b－1＝0，∴a＝－1，b＝1，
∴a2 024＋b2 025－4ab
＝(－1)2 024＋12 025－4×(－1)×1
＝1＋1＋4＝6，
∴a2 024＋b2 025－4ab的平方根为±．
0.45
THANK YOU