湘教版九年级数学上册
第4章
锐角三角——
与坡度、方位角有关的应用问题
教案
【学习目标】
1．了解坡度、坡角、方位角的概念，学会解决相关问题．
2．经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用数学知识解决实际问题．
3．渗透数学来源于实践又服务于实践的观点，培养应用数学的意识，渗透数形结合的思想方法．
【学习重点】
与坡度、方位角有关的解直角三角形的实际应用．
【学习难点】
建立直角三角形的模型。
情景导入 生成问题
情景导入：
1．如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度是h(即线段MN的长)，水平前进的距离是l(即线段PM的长度)．
2．在茫茫大海上，我国缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在我船的北偏东40°的方向．在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的方位．若可疑船的位置不停移动，同学们能否描述缉私艇的航线，探求其规律呢？
自学互研 生成能力
阅读教材P127，完成下面的内容：
在情景导入的图中，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长)的比叫作坡度，用字母i表示，即i＝．
其中∠MPN叫作坡角(即PM与PN的夹角)，记作α．
【例1】
同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，＝，＝，
∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．
FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.3333，所以α≈18°26′.
∵＝sinα，∴AB＝＝≈72.7(m)．
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长度约为72.7米。
阅读教材P128，完成下面的内容：试一试：如图，你能准确描述下列方向吗？
OA：南偏西65°；OB：南偏东60°；
OC：北偏东45°；OD：北偏西40°．
归纳：在正确理解方位角的概念的基础上，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题．
【例2】 在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图)，在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8km的C处．
(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
解：(1)∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB＝40km，AC＝8km，∴BC＝＝＝16(km)．∵1小时20分钟＝80分钟，1小时＝60分钟，∴×60＝12(千米/小时)．
(2)作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T.∵∠2＝60°，∴∠4＝90°－60°＝30°.∵AC＝8(km)，∴CS＝8sin30°＝4(km)．∴AS＝8cos30°＝8×＝12(km)．又∵∠1＝30°，∴∠3＝90°－30°＝60°.∵AB＝40km，∴BR＝40·sin60°＝20(km)．∴AR＝40×cos60°＝40×＝20(km)．易得，△STC∽△RTB，∴＝，＝，解得：ST＝8(km)．∴AT＝12＋8＝20(km)．又∵AM＝19.5km，MN长为1km，∴AN＝20.5km.∵19.5
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 坡度、坡角的概念及应用
知识模块二 方位角的概念及应用
检测反馈 达成目标
1．某堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是( C )
A．1∶3
B．1∶2.6
C．1∶2.4
D．1∶2
2．如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，且CD＝6km，则AB＝__3__km.
一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C
处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)
解：过点C作CD⊥AB交AB于点D，
CD＝AC·sin∠CAB＝80×sin30°＝40(海里)，
＝sin∠CBD，
∴BC＝＝＝50(海里)，
50÷40＝1.25(小时)，即大约需1.25小时。
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________45°、60°角的正弦值及用计算器求任意锐角的正弦值
【学习目标】
1．会求特殊角45°、60°的正弦值．
2．会用计算器计算任意锐角的正弦值，会由任意锐角的正弦值求对应的锐角．
3．培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
【学习重点】
特殊角45°、60°的正弦值的求法．
【学习难点】
特殊角45°、60°的正弦值的求法及由任意锐角的正弦值和余弦值求对应的锐角。
情景导入 生成问题
回顾：
1．在Rt△ABC中，
(1)若∠ACB＝90°，AB＝5，sinA＝，则AC＝4；
(2)若∠ACB＝90°，BC＝3，sinA＝，则AB＝5；
(3)若∠ACB＝90°，AB＝5，∠A＝30°，则BC＝2.5．
2．sin30°＝．
自学互研 生成能力
阅读教材P111、P112两个“动脑筋”和P113例2，完成下面的内容：
归纳：(1)sin45°＝，sin60°＝；
(2)把sin30°、sin45°、sin60°按从大到小的顺序排列；
sin60°>sin45°>sin30°.
(3)你发现有什么规律吗？
对于任意锐角α，都有0任意锐角α的正弦值随角度的变大而变大．【变例】 计算：
(1)sin230°＋sin245°＋sin60°.
(2)2sin45°＋2sin260°－|sin245°－1|.
解：(1)原式＝＋＋＝.
(2)原式＝2×＋2×－＝＋－＝＋1.
【例1】 如图，在△ABC中，AC⊥BC，点D在AC上，∠ABC＝60°，∠CBD＝45°，AB＝10.求AD的值．
解：在△ABC中，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∠A＝30°，
∴AC＝ABsin60°＝10×＝5.
BC＝ABsin30°＝10×＝5.
∵∠CBD＝45°，∴DC＝BC＝5，
∴AD＝AC－DC＝(5－5)＝5(－1)．
阅读教材P112，完成下面的例题：
【例2】 (1)求sin63°52′41″的值(精确到0.001)；
(2)已知sinα＝0.3688，求锐角α(精确到分)．
解：(1)先用如下方法将角度单位状态设定为“度”．
显示.
再按下列顺序依次按键：
∴sin63°52′41″≈0.8979.
(2)依次按键(或
)
∴sin21°38′29.87″＝0.3688，∴α≈21°38′.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 特殊角45°、60°的正弦值的应用
知识模块二 用计算器求任意锐角的正弦值
检测反馈 达成目标
1．已知α是等腰直角三角形的一个锐角，则sinα的值为( B )
A.
B.
C.
D．1
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4，运用计算器计算，∠A的度数为(精确到1°)( B )
A．30°
B．37°
C．38°
D．39°
3．用计算器计算(精确到0.001)．
(1)sin20°≈__0.3420__；
(2)sin23°13′≈__0.3942__．
4．若sin(α－10°)＝，且α为锐角，则α＝__70°__．
5．计算下列各题．
(1)sin30°sin45°－sin60°.
解：原式＝.
(2)(sin30°－1)0＋sin230°＋sin260°－2sin45°.
解：原式＝1＋＋－2＝2－2。
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________湘教版九年级数学上册
第4章
锐角三角函数
教案
【学习目标】
1．通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进行计算．
2．掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题．
3．通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用．
【学习重点】
解直角三角形及其应用．
【学习难点】
解直角三角形的实际应用。
情景导入 生成问题
【本章知识结构】
【基础知识梳理】
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°，a2＋b2＝c2；
sinA＝，cosA＝，tanA＝．
2．互余两角三角函数间的关系：
sinA＝cos(90°－A)；cosA＝sin(90°－A)．
3．同角三角函数间的关系：
sin2α＋cos2α＝1；tanα＝．
4．解直角三角形的基本类型：
(1)在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边，2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
(2)在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．
自学互研 生成能力
【例1】
已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD＝90°，tanB＝，求sin∠DAC.
解：过D作DE∥AB交AC于E，
则∠ADE＝∠BAD＝90°，
由tanB＝，得＝，
设AD＝2k，AB＝3k，
∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE＝k，
∴在Rt△ADE中，AE＝k，∴sin∠DAC＝＝＝.
【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5.求∠B、b、c.
解：∵∠B＝90°－∠A＝60°，
又∵tanB＝，∴b＝a·tanB＝5·tan60°＝5.
∵sinA＝，∴c＝＝＝10.
【例3】 如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字，≈1.732)．
解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，
∴GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米．
设AG＝x米，GF＝y米，
在Rt△AFG中，tan∠AFG＝tan60°＝＝＝，
在Rt△ADG中，tan∠ADG＝tan30°＝＝＝，
二者联立，解得x＝4，y＝4.
∴AG＝4米，FG＝4米．
∴AB＝AG＋GB＝4＋1.5≈8.4(米)．
∴这棵树AB的高度约为8.4米．
【例4】 如图，海上有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，在D点测得小岛A在北偏东30°，如果渔船继续向正东方向行驶，问是否有触礁的危险？
解：过A作AC⊥BD于点C.
在Rt△ACD中，根据题意得：∠ADC＝60°，∠DAC＝30°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.∴AD＝BD＝12.
∴AC＝AD·sin60°＝6≈10>8，所以没有危险．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 锐角三角函数的概念
知识模块二 解直角三角形
知识模块三 解直角三角形的应用
检测反馈 达成目标
1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，则cosB的值为( D )
A.
B.
C.
D.
2．已知cosα＝，且β＝90°－α，则tanβ＝____；若3tanα－2cos30°＝0，则锐角α＝__30°__．
3．如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论正确的有__①②③__(填序号)．
①DE＝3cm ②BE＝1cm ③菱形的面积为15cm2 ④BD＝2cm
4．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角
为30°，求山AB的高度．(参考数据：≈1.73)
解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
设AB＝x，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝100，
∴DE＝20，CE＝50.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝x.
则AF＝AB－BF＝AB－DE＝x－50，
DF＝BE＝BC＋CE＝x＋50.
在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，tan30°＝，
∴＝.∴x＝50(3＋)≈236.6.
答：山AB的高度约为236.6米。
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________湘教版九年级数学上册
第4章
锐角三角函数——正切
教案
【学习目标】
1．掌握正切的概念，知道锐角三角函数的概念．
2．熟记30°、45°、60°角的正切值，会解决与之有关的数学问题．
3．会用计算器计算任意锐角的正切值，会由任意锐角的正切值求对应的锐角．
【学习重点】
正切的概念，30°、45°、60°角的正切值．
【学习难点】
会利用30°、45°、60°角的正切值解决有关的计算题。
情景导入 生成问题
提问：
在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边(或邻边)与斜边的比值是一个常数．想一想：这个锐角的邻边与对边的比值是否也是一个常数呢？那么，你能设计一个方案来证明我们的猜想是否正确吗？
自学互研 生成能力
阅读教材P117，完成下面的填空：
归纳：(1)在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，α的对边与邻边的比值为一个常数．
(2)在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα，即tanα＝．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则tanA＝，tanB＝，tanA·tanB＝1．
归纳：在直角三角形中如果有一个锐角等于α，那么另一个锐角等于(90°－α)，于是tanα·tan(90°－α)＝1．
【例1】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝12，b＝5，求∠A、∠B的正弦值、余弦值和正切值．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以c＝＝＝13，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝.
知识模块二 tan30°，tan60°，tan45°的值
阅读教材P118，完成下面的内容：
归纳：1.(1)tan30°＝，tan60°＝，tan45°＝1．
(2)把tan30°、tan60°、tan45°按从大到小的顺序排列：
tan60°>tan45°>tan30°.
(3)你发现有什么规律吗？
对于任意锐角α，都有tanα>0；
任意锐角α的正切值随角度的变大而相应变大．
2．锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数．
3．30°、45°、60°的三角函数值：
α
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
【例2】 计算：(1)sin30°＋cos30°·tan60°.(2)cos60°－3tan30°＋tan60°＋2sin245°.(3)tan45°＋2sin60°·tan60°－.
解：(1)原式＝＋×＝2.(2)原式＝－3×＋＋2×＝.
(3)原式＝1＋2××－＝4－.
阅读教材P118～P119“做一做”，完成下面的内容：
【例3】 (1)用计算器求tan58°的值．(精确到0.0001)
解：依次输入：“tan”、“58”，显示结果为1.6003….tan58°≈1.6003.
(2)已知tanα＝1.2868，求α的值．(精确到分)
解：依次输入：“2ndf”(或“SHIFT”)、“tan”、“1.2868”，显示结果为52°9′.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 正切的概念
知识模块二 tan30°，tan60°，tan45°的值
知识模块三 用计算器计算任意锐角的正切值
检测反馈 达成目标
1．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于( C )
A.
B.
C.
D.
2．已知tanα＝0.3249，则α约为( B )
A．17°
B．18°
C．19°
D．20°
3．在△ABC中，已知＋|tanB－1|＝0，则∠C等于( D )
A．30°
B．45°
C．60°
D．105°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，BC＝7，求sinA、cosA、tanA.
解：AB＝＝25，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝。
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________余弦
【学习目标】
1．了解余弦的概念，能根据特殊角(30°、45°、60°角)的正、余弦值说出对应的锐角度数及其应用．
2．掌握互余两锐角的正弦值与余弦值的关系．
3．会用计算器求任意锐角的余弦值．会由任意锐角的余弦值求对应的锐角．
【学习重点】
余弦的概念和特殊角的余弦值．
【学习难点】
互余两锐角的正弦值与余弦值的关系。
情景导入 生成问题
提问：
通过正弦概念的学习，我们知道：直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个常数．我们可以猜想它的邻边与斜边的比值也是一个常数．那么，你能设计一个方案来证明我们的猜想是否正确吗？
自学互研 生成能力
阅读教材P113～P114例3之前，完成下面的内容：
归纳：(1)在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数；
(2)在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα，即cosα＝；
(3)对于任意锐角α，有cosα＝sin(90°－α)，sinα＝cos(90°－α)．
(4)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对边分别为a、b、c，则cosA＝，cosB＝．
知识模块二 特殊角(30°、45°、60°角)的余弦值的应用
阅读教材P114例3和P115例4，完成下面的内容：
归纳：(1)cos30°＝，cos45°＝、cos60°＝；
(2)把cos30°、cos45°、cos60°按从大到小的顺序排列．
cos30°>cos45°>cos60°.
(3)你发现有什么规律吗？
解：对于任意锐角α，都有0任意锐角α的余弦值随角度的变大而相应减小．
(4)填一填：
α
30°
45°
60°
sinα
cosα
【变例1】 求下列式子的值．
＋.
解：原式＝＋＝＋＝－(1＋)2－(1－)2＝－3－2－3＋2＝－6.
阅读教材P114～P115“做一做”，完成下面的内容：
【变例2】 用计算器求cos70°的值(精确到0.0001)．
解：依次输入：“cos”、“70”，显示结果为0.3420…
变例：已知cosα＝0.3279，求锐角α(精确到1′)．
解：依次输入：“2ndf”(或“SHIFT”)、“cos”、“0.3279”，显示结果，70.8586…(约为70°52′)
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 余弦的概念
知识模块二 特殊角(30°、45°、60°角)的余弦值的应用
知识模块三 用计算器求锐角的余弦值
检测反馈 达成目标
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值是( B )
A.
B.
C.
D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值等于( B )
A.
B.
C.
D.
3．计算sin45°cos60°－cos45°＝__0__．
4．用计算器求下列锐角的余弦值(精确到0.0001)．
(1)42°；
(2)80°25′.
解：(1)cos42°≈0.7431.
(2)cos80°25′≈0.1665.
5．计算sin30°cos45°－cos60°sin45°－cos30°.
解：原式＝－。
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________解直角三角形
【学习目标】
1．理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的关系．
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
3．渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力．
【学习重点】
会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【学习难点】
渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力。
情景导入 生成问题
回顾：
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)Rt△ABC的三边之间有什么关系？
a2＋b2＝c2(勾股定理)
(2)Rt△ABC的锐角之间有什么关系？
∠A＋∠B＝90°
(3)Rt△ABC的边和锐角之间有什么关系？
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.
2．根据下列每一组条件，画直角三角形．你能画出多少个不同的直角三角形？
然后与同伴所画图形进行交流比较：
(1)斜边长为4cm，一条直角边长为3cm；(1)个
(2)一个锐角40°，它的邻边长为3cm；(1)个
(3)一个锐角40°，它的对边长为3cm；(1)个
(4)一个锐角40°，斜边长为3cm；(1)个
(5)一个锐角为40°，另一个锐角为50°.
(无数)个
自学互研 生成能力
知识模块一 解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角形
阅读教材P121～P122，完成下面的内容：
通过以上的学习讨论，我们知道了“在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素”．
【例1】 已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3，∠A＝30°，求∠B、b、c.
解：∠B＝90°－30°＝60°，
b＝atanB＝3×＝9，
c＝＝＝＝＝6.
(另解：由于＝sinA，所以c＝＝＝6)．
归纳：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．
【变例】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB＝5.25，解这个三角形(长度精确到0.01)．
解：∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.
∵sinA＝，∴BC＝AB·sinA＝5.25×sin40°≈3.37.
∵cosA＝，∴AC＝AB·cosA＝5.25×cos40°≈4.02.
【例2】 已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝2，求∠A、∠B、c.
解：由于tanA＝，所以tanA＝＝，
则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，且有c＝2b＝2×2＝4.
【例3】 已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝－，a＝－1，求∠A、∠B、b.
解：由于＝＝sinA，
所以sinA＝＝＝＝，
由此可知，∠A＝45°，∠B＝90°－45°＝45°，且有b＝a＝－1.
自学互研 生成能力
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角形
知识模块二 已知两边解直角三角形
检测反馈 达成目标
1．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝( D )
A．3sin40°
B．3sin50°
C．3tan40°
D．3tan50°
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝，∠B＝30°，则c和tanA的值分别为( D )
A．12，
B．12，
C．4，
D．2，
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)已知c＝6，∠A＝60°，则a＝__3__，b＝__3__；
(2)已知a＝4，∠B＝45°，则b＝__4__，c＝__4__；
(3)已知a＝10，b＝10，则c＝__20__，∠A＝__30°__；
(4)已知b＝6，c＝12，则a＝__6__，∠B＝__60°__．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠BAC的平分线AD＝，求∠B的度数及边BC，AB的长．
解：cos∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，∴∠BAC＝60°，
∴∠B＝30°，tanB＝，∴＝，
∴BC＝8，sinB＝，∴＝，∴AB＝16。
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________与俯角、仰角有关的应用问题
【学习目标】
1．了解仰角、俯角的概念．
2．会利用解直角三角形解决与视角有关的实际问题，逐步培养分析问题、解决问题的能力．
3．经历利用解直角三角形解决实际问题的过程，体验数学来源于生活，服务于生活．
【学习重点】
利用解直角三角形解决与视角有关的实际问题．
【学习难点】
根据实际问题建立直角三角形模型。
情景导入 生成问题
回顾：
(课前抽测)如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的马路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家南偏东30°方向600m处．她从家里出发朝东走到点B处时，水塔正好位于她的正南方向．小雅走了多远？
解：在Rt△ABO中，∠B＝90°，∠A＝30°，AO＝600m.
则sinA＝，所以OB＝AO·sinA＝600×sin30°＝600×＝300(m)．
做例1时思考以下几个问题：
①怎样将实际问题转化为数学模型？
②大树折断部分是直角三角形的哪条边？
③大树折断之前的高就是直角三角形的哪两条边的和？
自学互研 生成能力
【例1】
一棵大树在一次强台风中于高地面5m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为多少？
解：设大树的根部为点A，折断处为点B，倒下后树梢与地面接触处为点C.
则在△ABC中有∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5m，∵sinC＝，∴BC＝＝＝5÷＝10m，∴大树的高为AB＋BC＝5＋10＝15(m)．答：这棵大树在折断前的高度为15m.
【例2】
如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5°，∠PBA＝26.5°.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．(以A、B为参照点，结果精确到0.1米)
(参考数据：sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80，sin26.5°≈0.45，tan26.5°≈0.50)
解：设PD＝x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠BDP＝90°，在Rt△PAD中，tan∠PAD＝，∴AD＝≈＝x，在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，∴DB＝≈＝2x.又∵AB＝80.0米，∴x＋2x＝80.0，解得x≈24.6，即PD≈24.6米，∴DB＝2x＝49.2米．答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．
阅读教材P125“动脑筋”，完成下面的内容：
如下图，视线与水平线所成的角∠1叫作仰角；∠2叫作俯角．
阅读教材P125“做一做”～P126例1，完成下面的例题：
【例3】
如图，在离树BC
12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC.(计算结果可保留根号)
解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，∴DE＝AC＝12米，CE＝AD＝1.5米．在直角△BED中，∠BDE＝30°，tan30°＝，∴BE＝DE·tan30°＝4米．∴BC＝BE＋CE＝米．即树高为(4＋)米．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 建立直角三角形模型
知识模块二 仰角、俯角的概念及应用
检测反馈 达成目标
1．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是( A )
A．(6＋6)米
B．(6＋3)米
C．(6＋2)米
D．12米
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为__100__米．
3．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航，如图①.在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶点F的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图②.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米．(结果保留整数，参考数值：≈1.732，≈1.414)
解：设CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，
∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，
∴BC＝CF＝x，＝tan30°，即AC＝x.
∵AC－BC＝1200，
∴x－x＝1200，解得x＝600(＋1)，
则DF＝h－x＝2001－600(＋1)≈362(米)．
答：钓鱼岛的最高海拔高度约为362米。
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________湘教版九年级数学上册
第4章
锐角三角函数
教案
课题：
正弦及30°角的正弦值
【学习目标】
1．了解正弦的概念，知道特殊角30°的正弦值．
2．通过具体实例，分析、比较后知道“当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也固定”的事实．
3．通过实际动手，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力和学生独立思考、勇于创新的精神．
【学习重点】
理解正弦的概念与意义．
【学习难点】
正弦的概念。
情景导入 生成问题
情景导入：
(课件演示)扬水站的图片．
修建一个扬水站，在选择扬水泵时，必须知道扬水站(点A)与水平面(BC)的高度(AC)．斜坡与水平面所成的角(∠B)可以用测角器测出来，水管的长度(AB)也能直接量得．提问：你能求出它的高度(AC)吗？
自学互研 生成能力
阅读教材P109～P110，完成下面的内容：
1．在有一个锐角为30°的直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是一个常数．
2．若把30°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否仍然是一个常数？(是)
师生合作探究、共同归纳以下结论．
归纳：(1)在有一个锐角为α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
(2)在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即sinα＝．
(3)sin30°＝．
(4)如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，sinA＝，sinB＝．
阅读教材P110～P111例1，完成下面的内容：
【例1】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：如图1，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5.
因此sinA＝＝，sinB＝＝.
如图2，在Rt△ABC中，sinA＝＝，AC＝＝＝12.
因此sinB＝＝.
【例2】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，求AC.
解：在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴BC＝ABsinA＝6sin30°＝6×＝3.由勾股定理得：AC＝＝＝3.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 正弦的概念
知识模块二 正弦概念的应用
检测反馈 达成目标
1．2sin30°的值等于( A )
A．1
B.
C.
D．2
2．已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则sinA＝( A )
A.
B.
C.
D.
3．如图，在平面直角坐标系内一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是____．
,(第3题图)) ,(第4题图))
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝____．
5．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝2，求AB，BC的长．
解：∵sinA＝＝，设AB＝3k，BC＝k，
则AC＝＝2k＝2，
∴k＝，∴AB＝，BC＝。
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：___________________________________________________________________