第三章 函数的概念与性质（单元测试.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第三章 函数的概念与性质
一、选择题
1．（5分）若，则f（1）的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）函数f（x），则f（x）的最大值和最小值分别为（　　）
A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．10，7
3．（5分）已知f（x﹣1）＝x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（　　）
A．f（x）＝x2+6x B．f（x）＝x2+8x+7
C．f（x）＝x2+2x﹣3 D．f（x）＝x2+6x﹣10
4．（5分）已知幂函数f（x）＝xn，n∈{﹣2，﹣1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是（　　）
A．f（﹣2）＞f（1） B．f（﹣2）＜f（1）
C．f（2）＝f（1） D．f（﹣2）＞f（﹣1）
5．（5分）若函数f（x）＝ax2+（a+2b）x﹣2a+3是定义在（2a﹣2，0）∪（0，﹣3a）上的偶函数，则f（）＝（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．（5分）已知函数f（x）．若f（﹣a）+f（a）≤0，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，2]
7．（5分）若函数f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上有最大值6，则F（x）在（﹣∞，0）上（　　）
A．有最小值﹣2 B．有最大值﹣5
C．有最小值﹣1 D．有最大值﹣3
8．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）
D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
9．（5分）已知函数f（x）＝﹣3x3﹣5x+3，若f（a）+f（a﹣2）＞6，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（1，+∞） D．（3，+∞）
10．（5分）如图所示，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为4的正方形运动一周，记O，P两点连线的长度y与点P走过的路程x之间的关系式为函数f（x），则函数y＝f（x）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x，则f（2）＝　 　 ．
12．（5分）若在[1，+∞）上函数y＝（a﹣1）x2+1与都单调递减，则a的取值范围是 　 　 ．
13．（5分）若函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，3]，则函数y＝f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为 　 　 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8，若max{p，q}表示p，q中较大者，min{p，q}表示p，q中的较小者，设G（x）＝max{f（x），g（x）}，H（x）＝min{f（x），g（x）}，记G（x）的最小值为A，H（x）的最大值为B，则A﹣B＝　 　 ．
三、解答题
15．（10分）函数f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，且在此区间上
①f（x）为增函数，f（x）＞0；
②g（x）为减函数，g（x）＜0．
判断f（x）g（x）在[a，b]的单调性，并给出证明．
16．（10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x），其中x是仪器的月产量．（注：总收益＝总成本+利润）
（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
17．（10分）对于任意非零实数x，y，已知函数y＝f（x）（x≠0），满足f（xy）＝f（x）+f（y）
（1）求f（1）；f（﹣1）；
（2）判断y＝f（x）的奇偶性．
18．（12分）已知函数．
（1）若a＝1，试判断并用定义证明f（x）的单调性；
（2）若a＝8，求f（x）的值域．
第三章 函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）若，则f（1）的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把1代入解析式即可求得答案．
【解答】解：把1代入函数解析式可得，f（1），
故选：C．
【点评】本题考查函数求值，属基础题．
2．（5分）函数f（x），则f（x）的最大值和最小值分别为（　　）
A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．10，7
【答案】A
【分析】分段求出f（x）的最大值，最小值，再确定分段函数的最大值，最小值．
【解答】解：由题意，x∈[1，2]，f（x）＝x2+6，函数为增函数，
∴f（x）的最大值，最小值分别为10，7；
x∈[﹣1，1），f（x）＝x+7，函数为增函数，
∴f（x）的最大值，最小值分别为8，6；
∴f（x）的最大值，最小值分别为10，6，
故选：A．
【点评】本题重点考查分段函数的最值，解题的关键是分段求函数的最值，再确定分段函数的最大值与最小值．
3．（5分）已知f（x﹣1）＝x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（　　）
A．f（x）＝x2+6x B．f（x）＝x2+8x+7
C．f（x）＝x2+2x﹣3 D．f（x）＝x2+6x﹣10
【答案】A
【分析】【方法﹣】用换元法，设t＝x﹣1，用t表示x，代入f（x﹣1）即得f（t）的表达式；
【方法二】凑元法，把f（x﹣1）的表达式x2+4x﹣5凑成含（x﹣1）的形式即得f（x）的表达式；
【解答】解：【方法﹣】设t＝x﹣1，则x＝t+1，∵f（x﹣1）＝x2+4x﹣5，
∴f（t）＝（t+1）2+4（t+1）﹣5＝t2+6t，
f（x）的表达式是f（x）＝x2+6x；
【方法二】∵f（x﹣1）＝x2+4x﹣5＝（x﹣1）2+6（x﹣1），∴f（x）＝x2+6x；
∴f（x）的表达式是f（x）＝x2+6x；
故选：A．
【点评】本题考查了函数解析式的常用求法的问题，是基础题．
4．（5分）已知幂函数f（x）＝xn，n∈{﹣2，﹣1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是（　　）
A．f（﹣2）＞f（1） B．f（﹣2）＜f（1）
C．f（2）＝f（1） D．f（﹣2）＞f（﹣1）
【答案】B
【分析】求出幂函数的解析式，根据函数的单调性判断函数值的大小即可．
【解答】解：幂函数f（x）＝xn，n∈{﹣2，﹣1，1，3}的图象关于y轴对称，
则n＝﹣2，则f（x），f（﹣2）＝f（x），
而f（x）在0，+∞）递减，
∴f（﹣2）＝f（2）＜f（1），
故选：B．
【点评】本题考查了求幂函数的解析式问题，考查函数的奇偶性和函数的单调性，是一道基础题．
5．（5分）若函数f（x）＝ax2+（a+2b）x﹣2a+3是定义在（2a﹣2，0）∪（0，﹣3a）上的偶函数，则f（）＝（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】由偶函数的定义可得定义域关于原点对称，求得a，由对称轴为y轴，可得b，计算可得所求值．
【解答】解：函数f（x）＝ax2+（a+2b）x﹣2a+3是定义在（2a﹣2，0）∪（0，﹣3a）上的偶函数，
可得2a﹣2+（﹣3a）＝0，
解得a＝﹣2，
又a+2b＝0，解得b＝1，
则f（x）＝﹣2x2+7，
f（）＝f（1）＝﹣2+7＝5，
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）．若f（﹣a）+f（a）≤0，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，2]
【答案】D
【分析】根据a的取值范围，把不等式f（﹣a）+f（a）≤0转化为不等式组求解，最后取并集得答案．
【解答】解：∵函数f（x），f（﹣a）+f（a）≤0，
∴或，
∴﹣2≤a≤2．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数求值及不等式的解法，训练了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
7．（5分）若函数f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上有最大值6，则F（x）在（﹣∞，0）上（　　）
A．有最小值﹣2 B．有最大值﹣5
C．有最小值﹣1 D．有最大值﹣3
【答案】A
【分析】利用f（x）、g（x）的奇偶性可判断F（x）﹣2的奇偶性，由F（x）在（0，+∞）上的最大值可得F（x）﹣2的最大值，由其奇偶性可得F（x）﹣2在对称区间（﹣∞，0）上的最值情况，从而可得F（x）的最值情况．
【解答】解：由F（x）＝af（x）+bg（x）+2，得F（x）﹣2＝af（x）+bg（x），
∵f（x）和g（x）都是奇函数，
∴F（﹣x）﹣2＝af（﹣x）+bg（﹣x）＝﹣af（x）﹣bg（x）＝﹣[af（x）+bg（x）]＝﹣[F（x）﹣2]，
∴F（x）﹣2是奇函数，
∵F（x）在（0，+∞）上有最大值6，即F（x）≤6，
∴F（x）﹣2≤4，
当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），
则F（﹣x）﹣2≤4，即﹣[F（x）﹣2]≤4，
∴F（x）﹣2≥﹣4，即F（x）≥﹣2，
∴x∈（﹣∞，0）时，F（x）有最小值﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的最值求解，属基础题．
8．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）
D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性，画出函数的图象，然后根据图象求解不等式的解集．
【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图
则不等式xf（x）＜0的解为：或
解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
故选：D．
【点评】本题考查函数的性质，函数的图象的画法，不等式的求解方法，考查计算能力．
9．（5分）已知函数f（x）＝﹣3x3﹣5x+3，若f（a）+f（a﹣2）＞6，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（1，+∞） D．（3，+∞）
【答案】A
【分析】由函数的解析式，算出f（﹣x）+f（x）＝6对任意的x均成立．因此原不等式等价于f（a﹣2）＞f（﹣a），再利用导数证出f（x）是R上的单调减函数，可得原不等式即a﹣2＜﹣a，由此即可解出实数a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）＝﹣3x3﹣5x+3，
∴f（﹣x）＝3x3+5x+3，可得f（﹣x）+f（x）＝6对任意的x均成立
因此不等式f（a）+f（a﹣2）＞6，即f（a﹣2）＞6﹣f（a），
等价于f（a﹣2）＞f（﹣a）
∵f'（x）＝﹣9x2﹣5＜0恒成立
∴f（x）是R上的单调减函数，
所以由f（a﹣2）＞f（﹣a）得到a﹣2＜﹣a，即a＜1
故选：A．
【点评】本题给出多项式函数，求解关于a的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识，属于基础题．
10．（5分）如图所示，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为4的正方形运动一周，记O，P两点连线的长度y与点P走过的路程x之间的关系式为函数f（x），则函数y＝f（x）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，分当0≤x≤1时，当1＜x≤2时，当2＜x≤3时，当3＜x≤4时四种情况，分别求出对应的解析式，对照选项判断即可．
【解答】解：由题意可得，正方形的边长为1，结合题中的图可知，
当0≤x≤1时，f（x）＝x为正比例函数，
当1＜x≤2时，f（x），不是一次函数，故选项A，D错误；
当2＜x≤3时，f（x），不是一次函数，
当3＜x≤4时，f（x）＝4﹣x为一次函数，故选项B错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的理解与应用，考查了分段函数的应用，解题的关键是确定各段的解析式，考查了逻辑推理能力与识图能力，属于中档题．
二、填空题
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x，则f（2）＝　18　 ．
【答案】18．
【分析】由奇函数的性质可得f（2）＝﹣f（﹣2），再结合已知函数解析式求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x，
则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣[2×（﹣2）3+（﹣2）]＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（5分）若在[1，+∞）上函数y＝（a﹣1）x2+1与都单调递减，则a的取值范围是 　（0，1）　 ．
【答案】（0，1）．
【分析】函数y＝（a﹣1）x2+1在[1，+∞）上单调递减，则a﹣1＜0，即a＜1；由函数在[1，+∞）上单调递减，可得a＞0，取交集可得答案．
【解答】解：函数y＝（a﹣1）x2+1在[1，+∞）上单调递减，则图象是开口向下的抛物线，
可得a﹣1＜0，即a＜1；
由函数在[1，+∞）上单调递减，由反比例函数的性质可得a＞0．
故a的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查函数单调性的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．
13．（5分）若函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，3]，则函数y＝f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为 　[﹣1，2]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式﹣2≤x+1≤3，﹣2≤x﹣1≤3，即可求函数y＝f（x+1）+f（x﹣1）的定义域．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣2，3]，
∴﹣2≤x≤3，
由﹣2≤x+1≤3，
解得：﹣3≤x≤2，
由﹣2≤x﹣1≤3，
解得：﹣1≤x≤4，
即函数y＝f（x+1）+f（x﹣1）的定义域[﹣1，2]，
故答案为：[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查复合函数定义域的求法，直接利用函数f（x）的定义域，解不等式即可．
14．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8，若max{p，q}表示p，q中较大者，min{p，q}表示p，q中的较小者，设G（x）＝max{f（x），g（x）}，H（x）＝min{f（x），g（x）}，记G（x）的最小值为A，H（x）的最大值为B，则A﹣B＝　﹣16　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由f（x）＝g（x）求出x的值，讨论G（x）、H（x）的解析式，得出A与B的表达式，从而计算A﹣B的值．
【解答】解：∵f（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2，
g（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8，如图，；
设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x2﹣4ax+2a2﹣8＝2（x﹣a）2﹣8．
①当2（x﹣a）2﹣8＝0时，解得x＝a±2，此时f（x）＝g（x）；
②当h（x）＞0时，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；
③当h（x）＜0时，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上，（1）当x≤a﹣2时，G（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x）＝[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣2，
H（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x）＝﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，
（2）当a﹣2≤x≤a+2时，G（x）＝max{f（x），g（x）}＝g（x），H（x）＝min{f（x），g（x）}＝f（x）；
（3）当x≥a+2时，则G（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x），H（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x），
∴A＝g（a+2）＝﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12＝﹣4a﹣4，B＝g（a﹣2）＝﹣4a+12，
∴A﹣B＝﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）＝﹣16．
故答案为：﹣16．
【点评】本题考查了新定义下的二次函数的值域问题，熟练掌握作差法、正确理解题意，求出A与B的表达式，是解本题的关键．
三、解答题
15．（10分）函数f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，且在此区间上
①f（x）为增函数，f（x）＞0；
②g（x）为减函数，g（x）＜0．
判断f（x）g（x）在[a，b]的单调性，并给出证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】令a≤x1＜x2≤b，由f（x）、g（x）的单调性可得f（x1）与f（x2）的大小，g（x2）与g（x1）的大小，通过作差可判断
f（x1）g（x1）﹣f（x2）g（x2）的符号，由单调性的定义可得结论．
【解答】解：减函数，
令a≤x1＜x2≤b，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，即可得0＜f（x1）＜f（x2）；
同理有g（x1）﹣g（x2）＞0，即可得g（x2）＜g（x1）＜0；
从而有f（x1）g（x1）﹣f（x2）g（x2）
＝f（x1）g（x1）﹣f（x1）g（x2）+f（x1）g（x2）﹣f（x2）g（x2）
＝f（x1）（g（x1）﹣g（x2））+（f（x1）﹣f（x2））g（x2）（*），
显然f（x1）（g（x1）﹣g（x2））＞0，（f（x1）﹣f（x2））g（x2）＞0，
从而（*）式＞0，
故函数f（x）g（x）为减函数．
【点评】本题考查函数单调性的判断及其证明，属中档题，定义是解决问题的基本方法，解答本题的关键是对f（x1）g（x1）﹣f（x2）g（x2）进行添加项作出恰当变形．
16．（10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x），其中x是仪器的月产量．（注：总收益＝总成本+利润）
（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据利润＝收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．
【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）；
（2）当0≤x≤400时，f（x）＝300x20000（x﹣300）2+25000，
∴当x＝300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）＝60000﹣100x是减函数，
∴f（x）＝60000﹣100×400＜25000．
∴当x＝300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．
17．（10分）对于任意非零实数x，y，已知函数y＝f（x）（x≠0），满足f（xy）＝f（x）+f（y）
（1）求f（1）；f（﹣1）；
（2）判断y＝f（x）的奇偶性．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据条件中的恒等式，可对x、y进行赋值，令x＝y＝1，求出f（1）的值，令x＝y＝﹣1，求出f（﹣1）的值；
（2）根据f（﹣1）＝0，令y＝﹣1，可得到f（﹣x）与f（x）的关系，根据奇偶性的定义可进行判定．
【解答】解：（1）令x＝y＝1，得f（1）＝f（1）+f（1），
∴f（1）＝0，
令x＝y＝﹣1，得f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1），
∴f（﹣1）＝0，
综上，f（1）＝0，f（﹣1）＝0，
（2）令y＝﹣1，由f（xy）＝f（x）+f（y），得f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），
又f（﹣1）＝0，
∴f（﹣x）＝f（x），
又∵f（x）不恒为0，
∴f（x）为偶函数．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数奇偶性的判断，对于抽象函数问题，赋值法是常用的方法，属于基础题．
18．（12分）已知函数．
（1）若a＝1，试判断并用定义证明f（x）的单调性；
（2）若a＝8，求f（x）的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即可．
（2）化简表达式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，x∈[1，6]，f（x）＝|x﹣1|1＝x是单调增函数，
证：任取x1，x2∈[1，6]且x1＜x2，
则，
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在[1，6]上单调递增．
（2）当a＝8时，，
令，当且仅当x，即x＝3时，等号成立，
∵x∈[1，6]，
∴t（x）在[1，3）单调递减，（3，6]单调递增，
∴当x＝1时，t＝10，当x＝6时，x＝7.5，
∴f（x）＝y＝16﹣t∈[6，10]，
所以f（x）的值域为[6，10]．
【点评】本题考查函数的最值的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力．
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