第三章 函数的概念与性质（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第三章 函数的概念与性质
一、选择题
1．（5分）函数f（x）的定义域为（　　）
A．[0，+∞） B．（1，+∞）
C．[0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）
2．（5分）下列函数是偶函数为（　　）
A．f（x）＝|x﹣3| B．f（x）＝x2+x C．f（x）＝x2﹣x D．
3．（5分）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）设函数f（x），则f（2）＝（　　）
A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．2
5．（5分）若函数f（x）在R上单调递增，且f（m）＜f（n），则m与n的关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m n D．m n
6．（5分）设函数f（x）＝2x﹣1（x＜0），则f（x）（　　）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
7．（5分）已知函数，则f（3）＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（5分）函数y＝f（x）定义在[﹣2，3]上，则函数y＝f（x）图象与直线x＝2的交点个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
二、填空题
9．（5分）函数在[4，5]上的最大值为1，则k的值为 　 　 ．
10．（5分）若函数y＝（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且是偶函数，则m＝　 　 ．
11．（5分）设函数f（x），若f（x0）＞1．则x0的取值范围是 　 　 ．
12．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x2+mx，则x∈（0，+∞）时，f（x）＝　 　 ．若f（2）＝﹣3，则m的值为 　 　 ．
三、解答题
13．（8分）求函数f（x）的最值．
14．（10分）讨论函数f（x）（a＞0）在x∈（﹣1，1）上的单调性．
15．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象写出的单调区间和值域．
16．（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f（x）．
（1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．
函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）函数f（x）的定义域为（　　）
A．[0，+∞） B．（1，+∞）
C．[0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）
【答案】C
【分析】由分式的分母不等于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解x的取值集合．
【解答】解：由，解得x≥0且x≠1．
∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
2．（5分）下列函数是偶函数为（　　）
A．f（x）＝|x﹣3| B．f（x）＝x2+x C．f（x）＝x2﹣x D．
【答案】D
【分析】先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，再根据偶函数的定义作出判断．
【解答】解：由于函数f（x）＝|x﹣3|不满足f（﹣x）＝f（x），故不是偶函数，故排除A．
由于f（x）＝x2+x不满足f（﹣x）＝f（x），故不是偶函数，故排除B．
由于函数f（x）＝x2﹣x不满足f（﹣x）＝f（x），故不是偶函数，故排除C．
由于函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且满足f（﹣x）f（x），
故此函数为偶函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于中档题．
3．（5分）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合函数的定义分别进行判断即可．
【解答】解：A．中函数的值域为[0，2]，不满足条件．
B．中函数的值域为[0，2]，不满足条件
C．在0≤x＜2内，一个x有两个y与x对应，不满足条件．函数的性质
D．每个x都满足函数的性质，是函数关系，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数图象的判断，结合函数的定义是解决本题的关键．
4．（5分）设函数f（x），则f（2）＝（　　）
A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．2
【答案】B
【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．
【解答】解：根据分段函数可得f（2）＝4+2﹣2＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的计算，比较基础．
5．（5分）若函数f（x）在R上单调递增，且f（m）＜f（n），则m与n的关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m n D．m n
【答案】B
【分析】由函数单调性的性质求解即可．
【解答】解：若函数f（x）在R上单调递增，且f（m）＜f（n），
则m＜n．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数单调性的性质，属于基础题．
6．（5分）设函数f（x）＝2x﹣1（x＜0），则f（x）（　　）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
【答案】C
【分析】由一次函数的性质可得f（x）的单调性，由x的取值范围可判断有无最值．
【解答】解：函数f（x）＝2x﹣1（x＜0）为增函数，
f（x）＜f（0）＝﹣1，
所以f（x）无最大值和最小值．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数单调性的判断，属于基础题．
7．（5分）已知函数，则f（3）＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】求出函数f（x）的解析式，求出f（3）的值即可．
【解答】解：∵，
∴f（x）1，
故f（x）＝x2+1，
故f（3）＝9+1＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数求值，是一道基础题．
8．（5分）函数y＝f（x）定义在[﹣2，3]上，则函数y＝f（x）图象与直线x＝2的交点个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据函数的定义进行判断，自变量在函数的定义域内任取一个值，都有唯一一个确定的函数值与之对应．
【解答】解：按照函数的定义，自变量在函数的定义域内任取一个值，都有唯一一个确定的函数值与之对应，
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义，构成函数的三要素．
二、填空题
9．（5分）函数在[4，5]上的最大值为1，则k的值为 　3　 ．
【答案】3．
【分析】利用函数在[4，5]上的单调性，结合题意可求得答案．
【解答】解：∵函数在[4，5]上为减函数，
∴f（x）max＝f（4）1，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
10．（5分）若函数y＝（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且是偶函数，则m＝　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据幂函数的定义以及函数的奇偶性求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣m﹣1＝1，
解得：m＝﹣1或m＝2，
而函数是偶函数，
故m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题．
11．（5分）设函数f（x），若f（x0）＞1．则x0的取值范围是 　（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数解析式对x0与0大小比较，由条件列出不等式求出x0的范围，再用区间形式表示出来．
【解答】解：由题意得，f（x），
当x0＞0时，则，解得x0＞1；
当x0≤0时，则﹣x0﹣1＞1，解得x0＜﹣2，
综上可得，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查利用分段函数解不等式，注意自变量的范围和解集的表示形式，以及分类讨论思想，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x2+mx，则x∈（0，+∞）时，f（x）＝　﹣x2+mx　 ．若f（2）＝﹣3，则m的值为 　　 ．
【答案】﹣x2+mx，．
【分析】由已知利用函数的奇偶性的定义结合已知可求得答案．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x2+mx，
∴当x∈（0，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，0），
f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣mx）＝﹣x2+mx；
若f（2）＝﹣3，则﹣4+2m＝﹣3，
解得m；
故答案为：﹣x2+mx，．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的性质与应用，属于基础题．
三、解答题
13．（8分）求函数f（x）的最值．
【答案】见试题解答内容
【分析】分类讨论分别求函数值的取值范围，从而求最值．
【解答】解：当0＜x＜1时，f（x）1，
当1≤x≤2时，f（x）＝x，
故1≤f（x）≤2，
故当x＝1时函数有最小值1，没有最大值．
【点评】本题考查了分段函数的应用．
14．（10分）讨论函数f（x）（a＞0）在x∈（﹣1，1）上的单调性．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数单调性的定义讨论函数的单调性，是必须掌握的基本方法．
【解答】解：设﹣1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）
．
∵﹣1＜x1＜x2＜1，
∴x2﹣x1＞0，x1x2+1＞0，（1）（1）＞0．又a＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数．
【点评】证明函数单调性的步骤：1、取值：2、作差变形：变形的常用方法：因式分解、配方、有理化等；3、定号；4、下结论：由定义得出函数的单调性．
15．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象写出的单调区间和值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，由已知中当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，及函数f（x）是定义在R上的偶函数，可求出当x＜0时函数的解析式，进而得到答案，再由二次函数的图象画法可得到函数的草图；
（2）根据图象下降对应函数的单调递减区间，图象上升对应函数的单调递增区间，分析出函数值的取值范围后可得到答案
【解答】解：（1）由x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，
当x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝x2+2x
又函数f（x）为偶函数，
∴f（x）＝x2+2x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3’
故函数的解析式为4’
函数图象如下图所示：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’
（2）由函数的图象可知，
函数f（x）的单调递增区间为[﹣1，0]、[1，+∞）
单调递减区间为（﹣∞，﹣1]、[0，1]，
函数f（x）的值域为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’
【点评】本题考查的知识点是函数图象，函数的单调区间，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
16．（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f（x）．
（1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出定义域，然后根据点P的位置进行分类讨论，根据三角形的面积公式求出每一段△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式，最后用分段函数进行表示即可；
（2）根据每一段的函数解析式画出每一段的函数图象，结合函数图象即可求出函数的最大值．
【解答】解：（1）由于x＝0与x＝12时，三点A、B、P不能构成三角形，故这个函数的定义域为（0，12）．
当0＜x≤4时，S＝f（x） 4 x＝2x；
当4＜x≤8时，S＝f（x）＝8；
当8＜x＜12时，S＝f（x） 4 （12﹣x）＝2（12﹣x）＝24﹣2x．
∴这个函数的解析式为
f（x）
（2）其图形为右上图，由图知，[f（x）]max＝8．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求解，以及分段函数的图象等有关基础知识，分类讨论的数学思想，属于基础题．
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