第五章 三角函数（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第五章 三角函数
一、选择题
1．已知sinxcosy，则cosxsiny的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[﹣1，1]
2．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若，且，则f（x）取最大值时x的值为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知函数在（0，1）内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．若函数f（x）sinxcosx﹣cos2x（x∈R）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和为（　　）
A． B． C．3π D．4π
5．已知函数f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x+φ）+1（|φ|）的图象的对称轴完全相同，则下列关于g（x）的说法正确的是（　　）
A．最大值为3
B．在（）单调递减
C．（）是它的一个对称中心
D．x是它的一条对称轴
6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间[，]上单调递增，则ω的取值范围为（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，2]
7．定义运算ad﹣bc、若cosα，，0＜β＜α，则β等于（　　）
A． B． C． D．
8．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．函数y＝x﹣2πsinx的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．已知sinθ+cosθ＝﹣1，则sinθcosθ＝　 　 ．
11．将函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R且b≠0）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则　 　 ．
12．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），当ω取最小值时，f（x）的单调递减区间为 　 　 ．
13．若，则cosα﹣sinα＝　 　 ．
14．已知函数，其中ω＞0，若f（x）在区间上恰有2个零点，则ω的取值范围是 　 　 ．
三、解答题
15．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f（x），
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）若α角是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．
16．已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）+a的最大值为．
（1）求f（x）的最小正周期以及实数a的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若，求tanθ的值．
17．函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当x∈[，]时，求f（x）的值域．
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知sinxcosy，则cosxsiny的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[﹣1，1]
【答案】A
【分析】由题意可得﹣1≤sin（x+y）≤1，sin（x+y）cosxsiny，由此求得cosxsiny的取值范围．再根据cosxsiny＝sin（x﹣y ），且﹣1≤sin （x﹣y ）≤1，求得cosxsiny的范围，再把这两个范围取交集，即得所求．
【解答】解：由于﹣1≤sin（x+y）≤1，sinxcosy，
sin（x+y）＝sinxcosy+cosxsinycosxsiny，
故有cosxsiny ①．
再根据 sinxcosy﹣cosxsiny＝sin（x﹣y ），且﹣1≤sin （x﹣y ）≤1，
∴﹣1cosxsiny≤1，∴cosxsiny ②．
结合①②可得cosxsiny
故选：A．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于中档题．
2．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若，且，则f（x）取最大值时x的值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，可知函数关于x对称，结合正弦函数的性质可求φ＝n，然后结合，可求f（x）的表达式，进而可求
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ），满足，
函数关于x对称，
根据正弦函数的性质可知，当x时，函数取得最值，
∴φ，n∈z，
∴φ＝n，∈z，f（x）＝sin（2x），
∵，
则n为偶数时满足题意，f（x）＝sin（2x），
∴f（x）取最大值时，2x，k∈z，
∴x＝k，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，及函数取得最值条件的应用，属于函数性质的综合应用．
3．已知函数在（0，1）内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由第4个正零点小于1，第4个正最值点大于等于1可解．
【解答】解：，
因为x∈（0，1），所以，
又因为函数在（0，1）内恰有3个最值点和4个零点，
由正弦函数的图像得：，解得：，
所以实数ω的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
4．若函数f（x）sinxcosx﹣cos2x（x∈R）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和为（　　）
A． B． C．3π D．4π
【答案】C
【分析】运用正弦函数的图象变换可得g（x）＝sinx，再由正弦函数的图象和性质，解方程可得所求和．
【解答】解：函数f（x）sinxcosx﹣cos2xsin2xcos2x＝sin（2x），
f（x）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得y＝sin（x），
再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）＝sinx的图象，
函数y＝g（x）在区间[﹣2π，4π]内的所有零点，
即为sinx的解之和，
由y＝sinx的对称性可得x1+x2＝﹣3π，x3+x4＝π，x5+x6＝5π，
则解之和为﹣3π+π+5π＝3π．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，以及正弦函数的图象和性质，函数方程的转化思想，属于中档题．
5．已知函数f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x+φ）+1（|φ|）的图象的对称轴完全相同，则下列关于g（x）的说法正确的是（　　）
A．最大值为3
B．在（）单调递减
C．（）是它的一个对称中心
D．x是它的一条对称轴
【答案】D
【分析】根据两个函数的对称轴相同求出ω和φ的值，结合三角函数的最值性，单调性，对称性分别进行判断即可．
【解答】解：∵两个函数的图象的对称轴完全相同，
∴两个函数的周期相同，即ω＝2，
则f（x）＝2sin（2x），
由2xkπ得x，即f（x）的对称轴为x，k∈Z，
同时也是g（x）的对称轴即2（）+φ＝mπ，
得kπφ＝mπ，
则φ＝（m﹣k）π，
∵|φ|，∴当m﹣k＝1时，φ＝π，
则g（x）＝3cos（2x）+1，则最大值为3+1＝4，故A错误，
当x时，2x，此时f（x）不单调，故B错误，
当x时，g（）＝3cos1＝1，即（，1）是g（x）的一个对称中心，故C错误，
g（x）的对称轴为x，k∈Z，则当k＝﹣1时，对称轴为x，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两个函数对称轴相同求出函数的解析式，以及利用三角函数的最值性，单调性，对称性的性质是解决本题的关键．
6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间[，]上单调递增，则ω的取值范围为（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，2]
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间[，]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间[，]上单调递增，
∴，k∈Z
解得：
∵ω＞0，
当k＝0时，可得：．
故选：B．
【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质，单调性的应用．属于基础题．
7．定义运算ad﹣bc、若cosα，，0＜β＜α，则β等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到sin（α﹣β）的值，根据0＜β＜α，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣β），再根据cosα求出sinα，利用β＝[α﹣（α﹣β）]两边取正切即可得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可求出β．
【解答】解：依题设得：
sinα cosβ﹣cosα sinβ＝sin（α﹣β）．
∵0＜β＜α，∴cos（α﹣β）．
又∵cosα，∴sinα．
sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinα cos（α﹣β）﹣cosα sin（α﹣β）
，
∴β．
故选：D．
【点评】此题要求学生会根据新定义化简求值，灵活运用角度的变换解决数学问题．掌握两角和与差的正弦函数公式的运用．
8．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
【解答】解：因为函数y＝xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x时，，
当x＝π时，y＝π×cosπ+sinπ＝﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．
9．函数y＝x﹣2πsinx的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性，可排除BD；由，可排除A．
【解答】解：f（﹣x）＝﹣x﹣2πsin（﹣x）＝﹣x+2πsinx＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，可排除BD；
又，f（π）＝π＞0，可排除A；
故选：C．
【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．
二、填空题
10．已知sinθ+cosθ＝﹣1，则sinθcosθ＝　0　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知中sinθ+cosθ＝﹣1，平方后，结合同角三角函数关系中的平方关系，得∴（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθ cosθ＝1，进而得到答案．
【解答】解：∵sinθ+cosθ＝﹣1，
∴（sinθ+cosθ）2＝1＝sin2θ+cos2θ+2sinθ cosθ＝1+2sinθ cosθ，
∴sinθ cosθ＝0
故答案为：0
【点评】本题考查的知识点是同角三角函数基本关系的运用，其中选用平方法，将已知一次三角函数式转化为未知中的二次三角函数式，是解答本题的关键，本题若与倍角公式联系，换成求sin2θ的值，会更好．
11．将函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R且b≠0）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则　　 ．
【答案】．
【分析】利用三角函数图象的对称性，找到关于a，b的方程即可求解．
【解答】解：将函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R且b≠0）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，
得到函数g（x）＝f（2x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R）的图象，
再将所得图象向左平移个单位长度后，得到函数，
因为h（x）为偶函数，图象关于y轴对称，所以函数g（x）的图象的一条对称轴为，
所以有，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于基础题．
12．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），当ω取最小值时，f（x）的单调递减区间为 　[﹣1+4k，1+4k]，k∈Z　 ．
【答案】[﹣1+4k，1+4k]，k∈Z．
【分析】直接利用三角函数的性质求出函数的关系式，进一步利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间．
【解答】解：由于函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，
故φ，
所以f（x）＝﹣sinωx，
函数满足f（1+x）＝f（1﹣x），
故当x＝1时，函数取得最大或最小值；
所以ω＝kπ，（k∈Z），
当k＝0时，ω，
故函数f（x）＝﹣sin，
令（k∈Z），
整理得﹣1+4k≤x≤4k+1，（k∈Z），
故函数的单调递减区间为[﹣1+4k，1+4k]，k∈Z．
故答案为：[﹣1+4k，1+4k]，k∈Z．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的确定，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
13．若，则cosα﹣sinα＝　　 ．
【答案】．
【分析】根据求解即可．
【解答】解：因为，所以，
因为，
所以，，
所以
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
14．已知函数，其中ω＞0，若f（x）在区间上恰有2个零点，则ω的取值范围是 　（，]　 ．
【答案】（，]．
【分析】由题意，根据正弦函数的零点，可得π2π，由此求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数，其中ω＞0，f（x）在区间上恰有2个零点，
ωx∈（，），∴π2π．
求得ω，
则ω的取值范围为（，]．
故答案为：（，]．
【点评】本题主要考查正弦函数的零点，属于中档题．
三、解答题
15．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f（x），
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）若α角是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把已知条件等号左边2α+β变为（α+β）+α，把等号右边β变为（α+β）﹣α，然后两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，合并后把弦化为切得到tan（α+β）＝2tanα，再把等号左边利用两角和的正切函数公式化简后，把tanα＝x，tanβ＝y代入即可得到y与x的表达式；（2）由α是三角形的最小内角得到α大于0小于等于，则tanα＝x就大于0小于等于，得到f（x）大于0，可设，利用基本不等式求出g（x）的最小值，即为f（x）的最大值，即可得到f（x）的值域．
【解答】解：（1）由sin（2α+β）＝3sinβ，得sin[（α+β）+α]＝3sin[（α+β）﹣α]，
sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝3sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα＝2cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）＝2tanα，
由tanα＝x，tanβ＝y，则，，
∴，即f（x）．
（2）∵α角是一个三角形的最小内角，∴0＜α，，
设，则（当且仅当时取等号），
故函数f（x）的值域为．
【点评】考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，会求函数的值域．此题的突破点是角度的变换．
16．已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）+a的最大值为．
（1）求f（x）的最小正周期以及实数a的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若，求tanθ的值．
【答案】（1）T＝π，a＝﹣1；
（2）或2．
【分析】（1）首先根据题意得到，再结合函数f（x）最大值求解即可．
（2）首先根据题意得到，根据得到，再利用同角三角函数关系求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinx（sinx+cosx）+a＝2sin2x+2sinxcosx+a，
所以，解得a＝﹣1，f（x）的最小正周期T＝π；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
解得或2．
【点评】本题主要考查三角函数的图象，属于基础题．
17．函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当x∈[，]时，求f（x）的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由周期求得ω，由最低点的坐标结合五点法作图求得A及φ的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）当x∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）由图象与x轴相邻两个交点间的距离为，，∴ω＝2，
再根据图象上一个最低点为M（，﹣2），可得A＝2，2φ，φ，
∴f（x）＝2sin（2x）．
（Ⅱ）令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，k∈Z；
（Ⅲ）当x∈[，]时，2x，∴sin（2x）∈[﹣1，2]，故函数的值域为[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
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