第一章 集合与常用逻辑用语（单元测试.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．（5分）给出下列四个关系式：①∈R；②Z∈Q；③0∈ ；④ ∈{0}其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
4．（5分）已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＞0}，则（　　）
A．M N B．M＝N C．M∩N＝ D．N M
5．（5分）命题P：ax2+2x﹣1＝0有实数根，若￢p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|a＜1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥﹣1}
6．（5分）已知命题p： x∈R，，则（　　）
A．￢p： x∈R， B．￢p： x∈R，
C．￢p： x∈R， D．￢p： x∈R，
7．（5分）满足a∈A且4﹣a∈A，a∈N且4﹣a∈N，有且只有2个元素的集合A的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y为实数，且y＝x2}，B＝{（x，y）|x，y为实数，且x+y＝1}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．无数个 B．3 C．2 D．1
二、多选题
9．（5分）对任意实数a，b，c，下列命题中，假命题是（　　）
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc“是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
10．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}和N＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
11．（5分）设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝ 的实数a的取值范围可以是（　　）
A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0} D．{a|a≥6}
12．（5分）设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有（　　）
A．A∪B＝A B．（ UA）∩B＝ C． UA UB D．A∪（ UB）＝U
三、填空题
13．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜5}，B＝{x|x≤1或x＞7}，则A∩ RB＝　 　 ．
14．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+1＝0成立”的否定是　 　 ．
15．（5分）若全集U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则（ UA）∩B＝　 　 ， U（A∪B）＝　 　 ．
16．（5分）设集合S＝{x|x＜﹣1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a+8}，S∪T＝R，则a的取值范围是 　 　 ．
17．（12分）已知A＝{x|x2﹣ax+a2﹣12＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，且满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③ （A∩B），求实数a的值．
四、解答题
18．（10分）已知集合A＝{x|﹣4≤x≤﹣2}，集合B＝{x|x+3≥0}．
求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3） R（A∩B）．
19．（12分）写出下列命题的否定，并判断其真假性．
（1） x∈Z，|x|∈N；
（2）每一个平行四边形都是中心对称图形；
（3）有些三角形是直角三角形；
（4） x∈R，x+1≤0；
（5） x∈R，x2+2x+3＝0．
20．（12分）已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．
（1）9∈（A∩B）；
（2）{9}＝A∩B．
21．（12分）求证：方程mx2﹣2x+3＝0（m≠0）有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m．
22．（12分）设集合A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}
（1）若A∪B＝B，求a的值．
（2）若A∩B＝B，求a的值组成的集合C．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）给出下列四个关系式：①∈R；②Z∈Q；③0∈ ；④ ∈{0}其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系以及数集的分类可解．
【解答】解：根据元素与集合的关系、集合与集合的关系以及数集的分类可知：①∈R，故①正确；
②Z是整数集，Q是有理数集，故Z Q，故②错误，
③0 ，故③错误，
④ {0}，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系以及数集的分类，属于基础题．
2．（5分）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】找出集合M和集合N的公共元素，确定出两集合的交集，即为集合P，根据子集的定义写出所有集合P的子集，即可得到集合P子集的个数．
【解答】解：集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，
则P＝M∩N＝{0，1，2，3，4}∩{1，3，5}＝{1，3}，
∴P的子集共有：{1}，{3}，{1，3}，{ }共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，以及子集与真子集，比较简单，是一道基本题．
3．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据元素与集合之间的关系、集合之间的关系即可判断出结论．
【解答】解：由“a＝3”，可得：A＝{1，2}，于是“A B”；
反之不成立，若“A B”，则a可能为2．
因此“a＝3”是“A B”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题考查了元素与集合之间的关系、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＞0}，则（　　）
A．M N B．M＝N C．M∩N＝ D．N M
【答案】A
【分析】先根据|x|≥0，化简集合M，然后根据两集合的包含关系，应注意这两个集合均为数集，来确定M，N的关系．
【解答】解：∵M＝{y∈R|y＝|x|}，|x|≥0，
∴M＝{y|y≥0}，
又N＝{x∈R|x＞0}，
∴由两集合的包含关系得，M N．
故选：A．
【点评】本题主要考查两集合的包含关系及其应用，首先要化简，其次根据定义确定，本题为基础题．
5．（5分）命题P：ax2+2x﹣1＝0有实数根，若￢p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|a＜1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥﹣1}
【答案】D
【分析】因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案．
【解答】解：┐p是假命题，则p是真命题，∴ax2+2x﹣1＝0有实数根，
当a＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得x＝0.5，有根，符合题意；
当a≠0时，方程有根，等价于Δ＝4+4a≥0，∴a≥﹣1，
综上所述，a的可能取值为a≥﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真题，考查一元二次方程根的存在问题，考查分类讨论，属于中档题．
6．（5分）已知命题p： x∈R，，则（　　）
A．￢p： x∈R， B．￢p： x∈R，
C．￢p： x∈R， D．￢p： x∈R，
【答案】C
【分析】全称命题的否定为特殊命题，即前面的量词为 ，而结论的否定为，由此可得答案．
【解答】解：根据全称命题的否定方法
当命题p： x∈R，时，
￢p： x∈R，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是全称命题，熟练掌握全称命题的否定方法，即否定量词，也否定结论是解答的关键．
7．（5分）满足a∈A且4﹣a∈A，a∈N且4﹣a∈N，有且只有2个元素的集合A的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据条件a∈A且4﹣a∈A，a∈N且4﹣a∈N，确定元素与元素之间的关系，即可得到满足条件的集合A；
【解答】解：∵a∈A且4﹣a∈A，a∈N且4﹣a∈N，
若a＝0，则4﹣a＝4，此时A＝{0，4}满足要求；
若a＝1，则4﹣a＝3，此时A＝{1，3}满足要求；
若a＝2，则4﹣a＝2，此时A＝{2}不满足要求；
故有且只有2个元素的集合A有2个，
故选：C．
【点评】本题主要考查元素和集合关系的判断和推理．根据条件确定集合元素之间的关系是解决本题的关键．
8．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y为实数，且y＝x2}，B＝{（x，y）|x，y为实数，且x+y＝1}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．无数个 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】题目转化为y＝x2和x+y＝1的交点个数，联立消y并整理可得x2+x﹣1＝0，由△的值可得．
【解答】解：由题意A∩B的元素即为y＝x2和x+y＝1的交点个数，
联立消y并整理可得x2+x﹣1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程组有2组解，即A∩B的元素个数为2
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，属基础题．
二、多选题
9．（5分）对任意实数a，b，c，下列命题中，假命题是（　　）
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc“是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
【答案】ACD
【分析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误．
【解答】解：A．a＞b，若c≤0，则ac≤bc，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的必要条件，不正确；
B．由a＝b，可得ac＝bc，反之不成立，因此“ac＝bc“是“a＝b”的必要条件，正确；
C．由“ac＞bc”，若c＜0，则a＜b，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的充分条件，不正确；
D．”ac＝bc”，若c＝0，则“a＝b”不成立，因此ac＝bc”不是“a＝b”的充分条件，不正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}和N＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【答案】CD
【分析】求出集合M，进而求出阴影部分表示的集合M∩N＝{1，3}，由此能求出阴影部分表示的集合中的元素．
【解答】解：∵全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}，
N＝{x|x＝2k﹣1，k∈N+}，
∴阴影部分表示的集合为M∩N＝{1，3}，
∴阴影部分表示的集合中的元素有1，3，
故A和B均错误，C和D均正确．
故选：CD．
【点评】本题考查交集中包含的元素的求法，考查交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝ 的实数a的取值范围可以是（　　）
A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0} D．{a|a≥6}
【答案】CD
【分析】由题意可得a+1≤1或a﹣1≥5，由此求得a的范围，结合选项得答案．
【解答】解：∵A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，
∴要使A∩B＝ ，则a+1≤1或a﹣1≥5，解得a≤0或a≥6，
结合选项可得，实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥6}．
故选：CD．
【点评】本题考查交集及其运算，考查化归与转化思想，是基础题．
12．（5分）设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有（　　）
A．A∪B＝A B．（ UA）∩B＝ C． UA UB D．A∪（ UB）＝U
【答案】ABCD
【分析】由集合运算及集合关系，结合Venn图依次判断即可．
【解答】解：结合Venn图知，
A∪B＝A是B A的充要条件，
（ UA）∩B＝ 是B A的充要条件，
UA UB是B A的充要条件，
A∪（ UB）＝U是B A的充要条件，
故选：ABCD．
【点评】本题考查了集合运算及集合关系，属于基础题．
三、填空题
13．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜5}，B＝{x|x≤1或x＞7}，则A∩ RB＝　{x|1＜x＜5}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】运用集合的交集和补集运算可得结果．
【解答】解：根据题意得， RB＝{x|1＜x≤7}
A∩ RB＝{x|1＜x＜5}
故答案为{x|1＜x＜5}．
【点评】本题考查集合的交集和补集的概念．
14．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+1＝0成立”的否定是　对任意x∈R，都有x2+2x+1≠0　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据命题“存在x∈R，使得x2+2x+1＝0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝“改为“≠”即可得答案．
【解答】解：∵命题“存在x∈R，使得x2+2x+1＝0”是特称命题
∴命题的否定为：对任意x∈R，都有x2+2x+1≠0．
故答案为：对任意x∈R，都有x2+2x+1≠0．
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
15．（5分）若全集U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则（ UA）∩B＝　{6}　 ， U（A∪B）＝　{2，4，8}　 ．
【答案】{6}；{2，4，8}．
【分析】先求出满足条件的全集U，进而求出满足条件的集合A与集合B，再利用集合的基本运算求解即可．
【解答】解：∵U＝{n|n是小于9的正整数}，
∴U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
则A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，
∴ UA＝{2，4，6，8}，
∴（ UA）∩B＝{6}，
∵A∪B＝{1，3，5，6，7}，
∴ U（A∪B）＝{2，4，8}．
故答案为：{6}；{2，4，8}．
【点评】本题考查的知识点是并集运算和补集运算，运算的关键是准确列举出满足条件的集合，属于基础题．
16．（5分）设集合S＝{x|x＜﹣1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a+8}，S∪T＝R，则a的取值范围是 　（﹣3，﹣1）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件，结合并集的定义，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：∵S＝{x|x＜﹣1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a+8}，S∪T＝R，
∴，解得﹣3＜a＜﹣1，
故实数a的取值范围为（﹣3，﹣1）．
故答案为：（﹣3，﹣1）．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
17．（12分）已知A＝{x|x2﹣ax+a2﹣12＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，且满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③ （A∩B），求实数a的值．
【答案】4．
【分析】根据题意，分析可得A＝{2}或A＝{3}，从而方程x2﹣ax+a2﹣12＝0只有一个解，由Δ＝0，求出a，代入集合A验证能求出结果．
【解答】解：A＝{x|x2﹣ax+a2﹣12＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，
∵①A≠B；②A∪B＝B；③ （A∩B），
∴A B，且A≠ ，
∴A＝{2}或A＝{3}，
∴方程x2﹣ax+a2﹣12＝0只有一个解，
由Δ＝（﹣a）2﹣4（a2﹣12）＝0，a2＝16，
∴a＝4或a＝﹣4，
当a＝4时，集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}＝{2}，符合条件；
当a＝﹣4时，集合A＝{x|x2+4x+4＝0}＝{﹣2}，不符合条件．
综上，a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查集合的运算、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题
18．（10分）已知集合A＝{x|﹣4≤x≤﹣2}，集合B＝{x|x+3≥0}．
求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3） R（A∩B）．
【答案】（1）{x|﹣3≤x≤﹣2}；（2）{x|x≥﹣4}；（3）{x|x＜﹣3或x＞﹣2}．
【分析】（1）由交集的定义求解；（2）由并集的定义求解；（3）由补集的定义求解．
【解答】解：A＝{x|﹣4≤x≤﹣2}，B＝{x|x+3≥0}＝{x|x≥﹣3}．
（1）A∩B＝{x|﹣4≤x≤﹣2}∩{x|x≥﹣3}＝{x|﹣3≤x≤﹣2}；
（2）A∪B＝{x|﹣4≤x≤﹣2}∪{x|x≥﹣3}＝{x|x≥﹣4}；
（3） R（A∩B）＝{x|x＜﹣3或x＞﹣2}．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
19．（12分）写出下列命题的否定，并判断其真假性．
（1） x∈Z，|x|∈N；
（2）每一个平行四边形都是中心对称图形；
（3）有些三角形是直角三角形；
（4） x∈R，x+1≤0；
（5） x∈R，x2+2x+3＝0．
【答案】命题的否定：如解答过程；（1）（2）（3）（4）为假命题；（5）为真命题．
【分析】直接利用相关的定义判断（1）﹣﹣﹣﹣（5）命题的真假．
【解答】解：（1） x∈Z，|x|∈N，故（1）为真命题，命题的否定： x0∈Z，|x| N，为假命题；
（2）每一个平行四边形都是中心对称图形，故（2）为真命题，命题的否定：存在平行四边形不都是中心对称图形，为假命题；
（3）有些三角形是直角三角形，故（3）为真命题，命题的否定：所有的三角形不是直角三角形，为假命题；
（4） x∈R，x+1≤0，例如x＝﹣2，故（4）为真命题，命题的否定： x∈R，x+1＞0，为假命题；
（5） x∈R，x2+2x+3＝0，由于Δ＝﹣9＜0，故（5）为假命题， x∈R，x2+2x+3≠0为真命题．
【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，命题的否定，主要考查学生的数学思维能力，属于基础题．
20．（12分）已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．
（1）9∈（A∩B）；
（2）{9}＝A∩B．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意得到关于实数a的方程，然后检验所得结果是否符合题意即可；
（2）结合集合相等的关系和（1）中求得的结论整理计算即可求得最终结果．
【解答】解：（1）9∈（A∩B），所以9∈A，
当2a﹣1＝9时，a＝5，
当a2＝9时，即a＝±3，
当a＝3时，a﹣5＝1﹣a舍去，
所以a的值为5，﹣3．
（2）结合（1）的结论：
当2a﹣1＝9即a＝5时，1﹣a＝﹣4，{9}≠（A∩B），
当a2＝9时，即a＝±3，
当a＝3时，a﹣5＝1﹣a舍去，
所以a的值为﹣3．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合相等的判断等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
21．（12分）求证：方程mx2﹣2x+3＝0（m≠0）有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m．
【答案】证明见解答．
【分析】先证明充分性，即当0＜m时，方程mx2﹣2x+3＝0（m≠0）有两个同号且不相等的实根；再证明必要性，方程mx2﹣2x+3＝0（m≠0）有两个同号且不相等的实根，则0＜m．
【解答】解：先证明充分性：若0＜m，设方程的两个实根为x1，x2，
则x1+x20，x1 x20，Δ＝4﹣12m＞0，
故方程mx2﹣2x+3＝0（m≠0）有两个同号且不相等的实根；
再证明必要性：若方程mx2﹣2x+3＝0（m≠0）有两个同号且不相等的实根，
令f（x）＝mx2﹣2x+3（m≠0），
当m＞0时，其图象是开口方向朝上，且以x为对称轴的抛物线
若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个同号且不相等的实根
则必有两个不等的正根，
则函数f（x）＝mx2﹣2x+3，有两个正零点，
则
解得0＜m；
当m＜0时，其图象是开口方向朝下，且以x为对称轴的抛物线
若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个同号且不相等的实根
则必有两个不等的负根，
则函数f（x）＝mx2﹣2x+3，有两个负零点，
则，无解；
故关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个同号且不相等的实根，则m的取值范围是0＜m；
∴方程mx2﹣2x+3＝0（m≠0）有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m．
【点评】本题考查的知识点是充要条件，二次函数的性质，函数的零点与方程根的关系，其中根据二次函数的图象和性质，构造相对的不等式（组）是解答本题的关键．
22．（12分）设集合A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}
（1）若A∪B＝B，求a的值．
（2）若A∩B＝B，求a的值组成的集合C．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）因为A B，A＝{﹣4，0}，所以﹣4，0∈B，所以将﹣4，0分别代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0即可求出a；
（2）因为B A，A＝{﹣4，0}，所以B＝ ，{﹣4}，{0}，或{﹣4，0}，求出每种情况下a的取值，再取并集即可．
【解答】解：（1）根据题意，集合A＝{x|x2+4x＝0}＝{0，﹣4}，
若A∪B＝B，则A B，
又由B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，则方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有两根，分别为0和﹣4，
则有，解可得a＝1，
则a＝1；
（2）若A∩B＝B，则B A，
若B＝ ，则有[2（a+1）]2＜4（a2﹣1），解可得：a＜﹣1，
若B＝{0}，则有，解可得a＝﹣1，
若B＝{﹣4}，则有，无解；
若B＝{0，﹣4}，则有，解可得a＝1，
综合可得：a的取值范围为{a|a≤﹣1或a＝1}．
【点评】本题考查集合间包含关系的应用，涉及集合的交集、并集的、性质，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)