第一章 集合与常用逻辑用语（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第一章 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示的集合的子集个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知命题p“ x0∈R，1≤2x0”，则￢p为（　　）
A． x0∈R，x2+1≤2x B． x0∈R，x2+1＞2x
C． x∈R，x2+1＞2x D． x∈R，x2+1≤2x
3．下列各组集合中表示同一集合的是 （　　）
A．M＝{（3，2）}，N＝{3，2} B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{（3，2）}，N＝{x＝2，y＝3} D．M＝{（2，3）}，N＝{（3，2）}
4．下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（　　）
A．两个无理数的和必是无理数
B．两直线平行，内错角相等
C． a∈R，一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0无实根
D．有个实数的倒数等于它本身
5．已知集合A＝{x|ax+1＝0}，且1∈A，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则“△ABC不是直角三角形”是“a2+b2≠c2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙丙丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖；
丁说：乙猜测的是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符，已知两人获奖，则获奖的是（　　）
A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁
8．可以作为关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解的一个必要条件的是 （　　）
A．m B．m C．m D．m
二、填空题
9．已知A＝{（x，y）|y＝2x+1}，B＝{（x，y）|y＝x+3}，则A∩B＝　 　 ．
10．有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有 　 　 人．
11．已知集合A＝{x∈R|ax2+2（a+1）x+a＝0}没有非空真子集，则实数a构成的集合为 　 　 ．
12．若命题“ x0∈R，函数y4x0﹣1的函数值不大于实数m”是假命题，则实数m的取值范围是 　 　 ．
三、多选题
13．如果A＝{x|x＞﹣1}，那么 （　　）
A．0 A B．2∈A C． A D．{﹣1} A
14．下列几种说法中，正确的是（　　）
A．面积相等的三角形全等
B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件
C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件
D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题
15．已知集合M满足{1，2} M {1，2，3，4}，则这样的集合M可能为 （　　）
A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4}
16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，下列命题中真命题是（　　）
A．A∩B＝ 的充要条件是card（A∪B）＝card（A）+card（B）
B．A B的必要条件是card（A）≤card（B）
C．A B的充要条件是card（A）≤card（B）
D．A＝B的充要条件是card（A）＝card（B）
四、解答题
17．设全集U＝R，集合A＝{x|2x﹣8＜0}，B＝{x|0＜x＜6}．
（1）求（ UA）∪B；
（2）C＝{y|y＝x+1，x∈A}，求B∩C．
18．判断下列各命题的真假，并写出各命题的否定．
（1） x∈Z，|x|∈N；
（Ⅱ）某些梯形的对角线互相平分；
（Ⅲ）至少有一个实数x，使得x3+1＝0；
（Ⅳ）任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交．
19．设全集为R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x||x|≤2}．
（1）求：A∪B，A∩B， R（A∩B）；
（2）若集合C＝{x|2x﹣a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
20．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}，且B A，求实数a的值．
21．集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围
22．已知集合A＝{x∈R|0＜ax+1≤3}，集合B＝{x∈R|﹣1＜x≤2}（a≠0）．若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示的集合的子集个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据Venn图，转化为对应集合关系，集合集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：阴影部分对应的集合为 U（A∪B），
∵A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，
∴A∪B＝{1，2，3，4}，
则 U（A∪B）＝{5}，
则子集个数为 ，{5}，两个，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．
2．已知命题p“ x0∈R，1≤2x0”，则￢p为（　　）
A． x0∈R，x2+1≤2x B． x0∈R，x2+1＞2x
C． x∈R，x2+1＞2x D． x∈R，x2+1≤2x
【答案】C
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题p“ x0∈R，1≤2x0”，
则￢p： x∈R，x2+1＞2x．
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3．下列各组集合中表示同一集合的是 （　　）
A．M＝{（3，2）}，N＝{3，2} B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{（3，2）}，N＝{x＝2，y＝3} D．M＝{（2，3）}，N＝{（3，2）}
【答案】B
【分析】根据题意，依次分析选项中集合的元素，结合集合相等的定义，分析可得答案．
【解答】解：对于A，M＝{（3，2）}中的元素为点（3，2），N＝{3，2}中的元素为实数3，2，两个集合不相等，故A错误；
对于B，M＝{2，3}和N＝{3，2}中的元素都是实数2、3，两个集合相等，故B正确；
对于C，M＝{（3，2）}的元素为点（3，2），N＝{x＝2，y＝3}的元素为x＝2，y＝3，两个集合不相等，故C错误；
对于D，M＝{（2，3）}的元素为点（2，3），N＝{（3，2）}的元素为点（3，2），两个集合不相等，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查集合的相等，属于基础题．
4．下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（　　）
A．两个无理数的和必是无理数
B．两直线平行，内错角相等
C． a∈R，一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0无实根
D．有个实数的倒数等于它本身
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项是否为存在量词命题且是真命题，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，是全称量词命题，且是假命题，不符合题意；
对于B，是全称量词命题，且是真命题，不符合题意；
对于C，是存在量词命题，方程x2﹣ax﹣1＝0中，由于Δ＝a2+4＞0，
则一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0一定有实根，该命题是假命题，不符合题意；
对于D，有个实数的倒数等于它本身，是存在量词命题，
当x＝1或﹣1时，其倒数等于它本身，该命题为真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及存在存在量词命题的定义，属于基础题．
5．已知集合A＝{x|ax+1＝0}，且1∈A，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据集合 A＝{x|ax+1＝0}，且1∈A，知道2满足等式，解此方程即可求得实数a的值．
【解答】解：∵A＝{x|ax+1＝0}，且1∈A，
∴a×1+1＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题是容易题．考查了元素与集合之间的关系，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键．
6．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则“△ABC不是直角三角形”是“a2+b2≠c2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：”△ABC不是直角三角形“能推出“a2+b2≠c2”，充分性成立，
若“a2+b2≠c2”，
则角C不为直角，但角A或角B可能为直角，故必要性不成立，
故“△ABC不是直角三角形”是“a2+b2≠c2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
7．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙丙丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖；
丁说：乙猜测的是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符，已知两人获奖，则获奖的是（　　）
A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，
可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．
【解答】解：由题意，可知：
∵乙、丁的预测是一样的，
∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．
①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，
根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；
这与丙的预测不成立相矛盾．
故乙、丁的预测不成立，
②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，
∵甲、丙的预测成立，
∴丁必获奖．
∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，
∴丙不获奖，乙获奖．
从而获奖的是乙和丁．
故选：D．
【点评】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．
8．可以作为关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解的一个必要条件的是 （　　）
A．m B．m C．m D．m
【答案】A
【分析】先求出关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件．
【解答】解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×m≥0，
解得m，
而m可以推出m，
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的应用，考查一元二次方程的应用，属于基础题．
二、填空题
9．已知A＝{（x，y）|y＝2x+1}，B＝{（x，y）|y＝x+3}，则A∩B＝　{（2，5）}　 ．
【答案】{（2，5）}．
【分析】直线y＝2x+1与直线y＝x+3的交点构成的集合即为A与B的交集．
【解答】解：，解得：，
∴A∩B＝{（2，5）}
故答案为：{（2，5）}．
【点评】本题考查集合的运算，是基础题．
10．有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有 　2　 人．
【答案】2．
【分析】设这两种都没买的有a人，作出韦恩图，列出方程，能求出这两种都没买的人数．
【解答】解：有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，
设这两种都没买的有a人，
作出韦恩图如下：
则6+2+5+a＝15，
解得a＝2，
∴这两种都没买的有2人．
故答案为：2．
【点评】本题考查集合的运算，考查韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．已知集合A＝{x∈R|ax2+2（a+1）x+a＝0}没有非空真子集，则实数a构成的集合为 　　 ．
【答案】．
【分析】根据题意可得集合A中元素的个数为1或0个，再分情况讨论即可，注意a＝0这种情况．
【解答】解：因为集合A＝{x∈R|ax2+2（a+1）x+a＝0}没有非空真子集，
所以集合A中元素的个数为1或0个，
当集合A中元素的个数为1个时，
若a＝0，则有2x＝0，解得x＝0，符合题意，
若a≠0，则有Δ＝4（a+1）2﹣4a2＝0，解得，
当集合A中元素的个数为0个时，
则，解得，
综上a＝0或，
即实数a构成的集合为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查非空真子集的定义，属于基础题．
12．若命题“ x0∈R，函数y4x0﹣1的函数值不大于实数m”是假命题，则实数m的取值范围是 　m＜﹣5　 ．
【答案】m＜﹣5．
【分析】直接利用二次函数的性质和函数的恒成立问题的应用求出结果．
【解答】解：命题“ x0∈R，函数y4x0﹣1的函数值不大于实数m”是假命题，
所以 x∈R，函数y＝x2+4x+4﹣5的函数值大于m，
函数y＝（x+2）2﹣5的最小值为﹣5，
即函数ymin＝﹣5＞m．
故答案为：m＜﹣5．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，二次函数的性质，存在性问题和恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
三、多选题
13．如果A＝{x|x＞﹣1}，那么 （　　）
A．0 A B．2∈A C． A D．{﹣1} A
【答案】BC
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系检验各选项即可判断．
【解答】解：A中显然不是元素与集合关系的表示，A错误；
2∈A显然成立，B正确；
根据空集是任何集合子集可知C正确；
由于﹣1 {x|x＞﹣1}，故{﹣1}不包含于A，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了元素与集合，集合与集合的关系，属于基础题．
14．下列几种说法中，正确的是（　　）
A．面积相等的三角形全等
B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件
C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件
D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题
【答案】CD
【分析】A举反例判断，B根据充分条件与必要条件概念判断，C根据充分条件与必要条件概念判断，D求出否命题判断．
【解答】解：对于A，因为同底等高三角形未必全等，所以A错；
对于B，当x＝0，y＝4时，x（y﹣3）＝0，但，x2+（y﹣3）2＝1≠0，所以B错；
对于C，当a＜1，未必有，如a＝﹣1，所以不充分；
反之， a＞0 a＜1，则“a＜1”是“”的必要条件，所以C对；
对于D，先求出命题“若a＞b＞0，则”的否命题，
￢（a＞b＞0） ￢（（a＞b）∧（b＞0）） ￢（a＞b）∨￢（b＞0） （a≤b）∨（b≤0），
￢（） ，所以命题“若a＞b＞0，则”的否命题是：
“若a≤b或b≤0，则”，分情况说明：①若b＝0，无意义，所以不成立，
②若b＜0，取ab＞b，则不成立，③若a≤b，取b＞0，a＜0，则不成立，
由①②③知，否命题为假，所以D对；
故选：CD．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式性质，考查了充分条件和必要条件基本概念，属基础题．
15．已知集合M满足{1，2} M {1，2，3，4}，则这样的集合M可能为 （　　）
A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4}
【答案】ABC
【分析】由已知条件，确定出集合M中的元素，结合选项得出答案．
【解答】解：∵集合M满足{1，2} M {1，2，3，4}，
∴集合M中至少含有元素1和2，且是集合{1，2，3，4}的真子集，
故选：ABC．
【点评】本题考查集合间的关系，属于基础题．
16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，下列命题中真命题是（　　）
A．A∩B＝ 的充要条件是card（A∪B）＝card（A）+card（B）
B．A B的必要条件是card（A）≤card（B）
C．A B的充要条件是card（A）≤card（B）
D．A＝B的充要条件是card（A）＝card（B）
【答案】AB
【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．
【解答】解：A∩B＝ 集合A与集合B没有公共元素，A正确
A B集合A中的元素都是集合B中的元素，B正确
A B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，C错误
A＝B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D错误
故选：AB．
【点评】这两个知识点是经常结合的，同学们解题时要抓住本质，
四、解答题
17．设全集U＝R，集合A＝{x|2x﹣8＜0}，B＝{x|0＜x＜6}．
（1）求（ UA）∪B；
（2）C＝{y|y＝x+1，x∈A}，求B∩C．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可以求出集合A，B，然后进行补集、并集的运算即可；
（2）根据x∈A，y＝x+1且A＝{x|x＜4}即可求出集合C，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：（1）A＝{x|x＜4}，B＝{x|0＜x＜6}，U＝R，
∴ UA＝{x|x≥4}，
∴（ UA）∪B＝{x|x＞0}；
（2）∵C＝{y|y＜5}，
∴B∩C＝（0，5）．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．
18．判断下列各命题的真假，并写出各命题的否定．
（1） x∈Z，|x|∈N；
（Ⅱ）某些梯形的对角线互相平分；
（Ⅲ）至少有一个实数x，使得x3+1＝0；
（Ⅳ）任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交．
【答案】答案见解答．
【分析】利用命题的真假判判断和否命题的定义直接求解．
【解答】解：（Ⅰ） x∈Z，|x|∈N，是真命题，
它的否定是： x∈Z，|x| N；
（Ⅱ）某些梯形的对角线互相平分，是假命题，
它的否定是：任意一个梯形的对角线都不互相平分；
（Ⅲ）至少有一个实数x，使得x3+1＝0，是真命题，
它的否定是： x且x∈R，使得x3+1≠0；
（Ⅳ）任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交，是假命题，
它的否定是：存在一个一元二次函数的图象，与x轴不相交．
【点评】本题考查命题的真假判判断、否命题的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．设全集为R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x||x|≤2}．
（1）求：A∪B，A∩B， R（A∩B）；
（2）若集合C＝{x|2x﹣a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由全集U＝R，求出集合A，B，由此能出A∪B，A∩B， R（A∩B）．
（2）求出，由B∪C＝C，得B C，由此能出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，
B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}
∴A∪B＝{x|﹣2≤x＜3}，A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，
U（A∩B）＝{x|x＜﹣1或x＞2}．
（2）∵，
由B∪C＝C，得B C，
∴，解得a＜﹣4，
故实数a的取值范围（﹣∞，﹣4）．
【点评】本题考查并集、交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集、补集、子集定义的合理运用．
20．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}，且B A，求实数a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】法一：求出集合A＝{1，2}，B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}，且B A，从而B＝ 或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1，2}，由此能求出a的值．
法二：求出集合A＝{1，2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣a+1）＝0}，且B A，当a＝2时，B＝{1}，成立；当a≠1时，B＝{1，1﹣a}，由B A，得a＝3．由此能求出实数a的值．
【解答】解法一：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}，且B A，
∴B＝ 或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1，2}，
当B＝ 时，Δ＝a2﹣4（a﹣1）＜0，无解；
当B＝{1}时，，解得a＝2；
当B＝{2}时，，无解；
当B＝{1，2}时，，解得a＝3．
综上，实数a的值为2或3．
解法二：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a+1）＝0}，且B A，
∴当a＝2时，B＝{1}，成立；
当a≠1时，B＝{1，1﹣a}，由B A，得a＝3．
综上，实数a的值为2或3．
【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
21．集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围
【答案】（1）254．
（2）（﹣∞，2）∪（4，+∞）．
【分析】（1）先用列举法表示出集合A，再根据集合子集个数公式求解．
（2）分B＝ 和B≠ 两种情况讨论，分别列出不等式组，求出m的取值范围，最后取并集即可．
【解答】解：（1）当x∈Z时，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，
∵集合A中的元素有8个，
∴A的非空真子集的个数28﹣2＝254．
（2）若A∩B＝ ，
当B＝ 时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
当B≠ 时，则或，
解得m＞4，
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，以及集合子集个数，属于基础题．
22．已知集合A＝{x∈R|0＜ax+1≤3}，集合B＝{x∈R|﹣1＜x≤2}（a≠0）．若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为集合A B关系，然后建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：由题意，得A B．
由集合A得，﹣1＜ax≤2，（※）
因为B＝{x∈R|﹣1＜x≤2}，所以，
①当a＞0时，由（※）得以，
所以，使A B，则有或，即或，
解得a＞1；
②当a＜0时，由（※）式，得，，
所以，使A B，只需，解得a＜﹣2．
综上，所求实数a范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的定义域，结合充分条件和必要条件的定义与集合关系进行转化是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
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