第一章 空间向量与立体几何（培优卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何（培优卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 904.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-23 17:26:33 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 空间向量与立体几何
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ABC＝90°，P为侧棱CC1上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为α，PQ与平面ABC所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）
A．α＝β B．α＜β C．α＞β D．不能确定
2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是底面A1B1C1D1内（含边界）的一点，且AP∥平面DBC1，则异面直线A1P与BD所成角的取值范围为（ ）
A．[] B．[] C．[] D．[]
3．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C．[﹣1，0] D．
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（ ）
A． B． C． D．
8．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上皆错
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（ ）
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③直线AB与平面BCD所成的角是60°；
④异面直线AB与CD所成角为60°．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．下列命题中正确的是（ ）
A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则A，B，M，N共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
D．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题．
13．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
14．给出下列命题：
①直线l的方向向量为（1，﹣1，2），直线m的方向向量（2，1，），则l与m垂直；
②直线l的方向向量（0，1，﹣1），平面α的法向量（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为（0，1，3），（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．
其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
15．已知（2，﹣1，2），（2，2，1），则以、为邻边的平行四边形的面积为 ．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则 ．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝ADBC＝2，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，M为线段AE的中点．
（1）求证：CD⊥B1D；
（2）求二面角D﹣AB1﹣E的余弦值；
（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP∥平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若λ， ，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
20．如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
21．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D，N，M的坐标；
（2）求线段MD，MN的长度；
（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．
22．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：；
（2）设E是棱DD1上的点，且，若，试求实数x，y，z的值．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ABC＝90°，P为侧棱CC1上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为α，PQ与平面ABC所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）
A．α＝β B．α＜β C．α＞β D．不能确定
【答案】C
【分析】作出两个角，在直角三角形中表示出sinα，sinβ，根据它们的大小关系得出结论．
【解答】解：连接CQ，PB，
∵CC1⊥平面ABC，∴∠PQC为PQ与平面ABC所成的角，即∠PQC＝β，
由CC1⊥平面ABC，可得CC1⊥AB，
又AB⊥BC，BC∩CC1＝C，
∴AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥PB，
∴∠PQB为直线PQ与AB所成角，即∠PQB＝α，
∵sinα，sinβ，且PB＞PC，
∴sinα＞sinβ，∴α＞β，
故选：C．
【点评】本题考查了空间角的计算与大小比较，作出要求的空间角是关键，属于基础题．
2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是底面A1B1C1D1内（含边界）的一点，且AP∥平面DBC1，则异面直线A1P与BD所成角的取值范围为（ ）
A．[] B．[] C．[] D．[]
【答案】B
【分析】连接AB1，AD1，B1D1，则点P在线段B1D1，以D为坐标原点建立坐标系，利用向量方法，即可求出取值范围．
【解答】解：过A作平面β∥平面DAB1，
∵点P是底面A1B1C1D1内（含边界）的一点，且AP∥平面DBC1，
∴P∈平面β，即点P在β与平面A1B1C1D1的交线上，
连接AB1，AD1，B1D1，
∵DD1∥BB1，则四边形BDD1B1是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
∴B1D1∥平面DBC1，
同理可证AB1∥平面DBC1，
∴平面AB1D1∥平面DBC1，则平面AB1D1即为β，点P在线段B1D1上，
以D为点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，1，0），A（1，0，0），A1（1，0，1）．
设P（k，k，1），k∈[0，1]，
∵，（k﹣1，k，0），
∴ 2k﹣1，||，||，
设A1P与BD所成角为θ，
则，
当k时，cosθ取得最小值为0，
当k＝0或1时，cosθ取得最大值为，
∴0≤cosθ，即θ
∴异面直线A1P与BD所成的角范围为[，]．
故选：B．
【点评】本题考查了异面直线夹角的求法、正方体的性质、面面平行的判定定理，考查了空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C．[﹣1，0] D．
【答案】D
【分析】以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P的坐标为（x，y，z），其中0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．
【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，
∴，
∴，
由二次函数的性质可得，当时，取得最小值为；
当x＝0或1，且y＝0或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是，
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1P的长度的最大值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），
（a﹣2，b﹣2，﹣2），（1，2，﹣2），
∵B1P⊥D1E，∴a﹣2+2（b﹣2）+4＝0，
∴a+2b﹣2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段，当a＝0时，b＝1；当b＝0时，a＝2，
设CD中点F，则点P在线段AF上，
当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|2；
当P与F重合时，P（0，1，0），（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||3，
当P在线段AF的中点时，P（1，，0），（﹣1，，﹣2），线段B1P的长度||．
∴线段B1P的长度的最大值为3．
故选：D．
【点评】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
5．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，可得（），（）．即可得出．
【解答】解：在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，
则（），（）．
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】B
【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：，，，，，代入化简即可得出．
【解答】解：∵，，，，，
∴
，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，可得，，，，，根据，利用数量积的运算性质展开即可得出．
【解答】解：因为在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
所以，，
所以，，
又因为，
所以1+1+4+0+2×1+2×1＝10，
因此，即．
故选：B．
【点评】本题考查了平行六面体性质、空间向量运算性质、数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上皆错
【答案】B
【分析】令xyz，若P，A，B，C四点共面，则x+y+z＝1，进而得到答案．
【解答】解：A中，，1+1+1＝3≠1，故P，A，B，C四点不共面；
B中，，1，故P，A，B，C四点共面；
C中，﹣10≠1，故P，A，B，C四点不共面；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是三点共线与四点共线的判定，正确理解四点共面充要条件的向量表示法，是解答的关键．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项逐一进行判断
【解答】解：因为以A为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为60°，不妨设棱长为a，
对于A，（）22＝3a2+3×2a26a2，
因为2＝（）2＝2a2+2a23a2，则2（）2＝6a2，所以（）2＝2（）2，故A正确；
对于B，因为（）（）22＝0，故B正确；
对于C，因为，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°，
所以向量与的夹角为120°，向量与的夹角为120°，故C不正确；
对于D，因为，，
则||a，||a，
所以（）（）＝a2，
所以cos，故D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查命题真假性的判断，考查空间向量的计算，用向量求夹角等，属于中档题．
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（ ）
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】分别取A1C1，AC的中点E，F，并连接EF，B1E，则可分别以EB1，EC1，EF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，进而求出直线的方向向量以及平面的法向量，再代入公式即可判断结论．
【解答】解：如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，
则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
设AB＝2；
则AA1＝2；
∴A1（0，﹣1，0），C1（0，1，0），A（0，﹣1，2），C（0，1，2）；B1（，0，0），
∴（0，2，﹣2）．
底面ABC的其中一个法向量为：（0，0，2），
∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为|cos，|＝||＝||；
∴A错B对．
∵A1B1的中点K的坐标为（，，0）；
∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为：（，，0）；
∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为：|cos，|＝||＝||；
故C对D错；
故选：BC．
【点评】本题主要考查线面角的求法，以及用向量法求直线与平面所成角的方法，考查运算能力，属于中档题
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③直线AB与平面BCD所成的角是60°；
④异面直线AB与CD所成角为60°．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判断①；求解三角形可得△ACD的形状判定②；求解线面角判断③；求解三角形，可得△EFG是等边三角形判断④．
【解答】解：取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，
∵AE∩CE＝E，∴BD⊥平面ACE，得AC⊥BD．故①正确；
设折叠前正方形的边长为1，则BD，∴AE＝CE，则AE⊥BC，
∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BC，
∴AE⊥平面BCD，则AE⊥CE，
∴AC1，即△ACD是等边三角形，故②正确；
由AE＝CE，AC＝1，可得AE⊥EC，AE⊥BD，
又BD∩EC＝E，∴AE⊥面BCD，
∴AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故③错误；
取BC中点F，AC中点G，连结EF，FG，EG，则EF∥CD，FG∥AB，
∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角，
在△EFG中，EFCD，FGAB，EGAC，
∴△EFG是等边三角形，则∠EFG＝60°，故④正确．
∴错误结论的个数是1个．
故选：A．
【点评】本题考查二面角空间中两直线位置关系的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12．下列命题中正确的是（ ）
A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则A，B，M，N共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
D．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】对于AB，结合空间基底的定义，即可求解，
对于C，结合空间向量数量积公式，即可求解，
对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，
则，，共面，则A，B，M，N共面，故A正确，
对于B，为空间的一个基底，若，
则也不共面，
故也是空间的基底，故B正确，
对于C，∵直线l的方向向量为，平面α的法向量为，
∴，即，
∴l α或l∥α，故C错误，
对于D，∵直线l的方向向量为，平面α的法向量为，
∴cos，
∴直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题．
13．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上一点D1到B1为终点的向量．
【解答】解：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则点E（0，2，0），D1（0，0，2），A（1，0，0），B1（1，4，2），
从而（1，0，﹣2），（﹣1，2，0），（1，4，0），
设平面AD1E的法向量为 （x，y，z），由可得，
令 （2，1，1），
所以点B1到平面AD1E的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量法求点到平面的距离．属于立体几何的常规题，中档题．
14．给出下列命题：
①直线l的方向向量为（1，﹣1，2），直线m的方向向量（2，1，），则l与m垂直；
②直线l的方向向量（0，1，﹣1），平面α的法向量（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为（0，1，3），（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．
其中真命题的是 ①④ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】见试题解答内容
【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；
②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；
③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；
④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．
【解答】解：对于①，∵（1，﹣1，2），（2，1，），
∴ 1×2﹣1×1+2×（）＝0，
∴⊥，
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，（0，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1），
∴ 0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，
∴⊥，∴l∥α或l α，②错误；
对于③，∵（0，1，3），（1，0，2），
∴与不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴（﹣1，1，1），（﹣1，1，0），
向量（1，u，t）是平面α的法向量，
∴，
即；
则u+t＝1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．
15．已知（2，﹣1，2），（2，2，1），则以、为邻边的平行四边形的面积为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意和数量积坐标运算求出两个向量的夹角余弦值，利用平方关系求出sinθ，由三角形面积公式求出平行四边形的面积．
【解答】解：设向量和的夹角是θ，则由向量的数量积和题意得，
cosθ，
∴sinθ，
∴以 和为邻边的平行四边形的面积S＝2||×||．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用向量的数量积坐标运算求面积，即先求出两个向量夹角的余弦值，再求出对应的正弦值，代入三角形面积公式求值．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到 ，而 ，即可求得 的结果．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别取AB，EB的中点M，N，连接CM，MN，ND，证明四边形CDNM为平行四边形，得CM∥DN，再由已知向量等式证明GF∥DN，可得GF∥CM，再由直线与平面平行的判定可得GF∥平面ABC；
（2）证明BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B﹣ACDE的高，由底面ACDE的面积确定，知要使多面体ABCDE的体积最大，即BH最大，此时AB＝BC．过点H作HP∥AE，可知HB，HC，HP两两垂直，以H为坐标原点，分别以HB，HC，HF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABE与平面DBE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：分别取AB，EB的中点M，N，连接CM，MN，ND，
在梯形ACDE中，DC∥EA，且DCEA，M，N分别为BA，BE的中点，
∴MN∥EA，MNEA，
∴MN∥CD，且MN＝CD，则四边形CDNM为平行四边形，得CM∥DN，
又，N为EB的中点，∴G为EN的中点，
又F为ED的中点，∴GF∥DN，可得GF∥CM，
又CM 平面ABC，GF 平面ABC，
∴GF∥平面ABC；
（2）解：在平面ABC内，过B作BH⊥AC，交AC于H，
∵平面ACDE⊥平面ABC，且平面ACDE∩平面ABC＝AC，
BH 平面ABC，BH⊥AC，
∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B﹣ACDE的高，
又底面ACDE的面积确定，∴要使多面体ABCDE的体积最大，即BH最大，此时AB＝BC．
过点H作HP∥AE，可知HB，HC，HP两两垂直，
以H为坐标原点，分别以HB，HC，HF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，1，1），
，，，
设是平面ABE的一个法向量，
则，取y1＝﹣1，得；
设为平面DBE的一个法向量，
则，取z2＝2，可得．
∴cos．
由图可知，二面角A﹣BE﹣D为钝角，
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝ADBC＝2，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，M为线段AE的中点．
（1）求证：CD⊥B1D；
（2）求二面角D﹣AB1﹣E的余弦值；
（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP∥平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）证明CD⊥DM．B1M⊥CD．通过直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面B1MD．
（Ⅱ）以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1E的法向量，平面DB1A的法向量通过向量的数量积求解二面角D﹣AB1﹣E的余弦值．
（Ⅲ） 存在点P，使得MP∥平面B1AD，设在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，设λ，（0≤λ≤1），通过，求出即可．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AM＝ME，故B1M⊥AE．
又因为AB＝BE，M为AE的中点，所以BM⊥AE，
即DM⊥AE．又因为AD∥BC，AD＝CE＝2．
所以四边形ADCE是平行四边形．
所以AE∥CD．
故CD⊥DM．
因为平面B1AE⊥平面AECD，平面B1AE∩平面AECD＝AE，B1M 平面AECD
所以B1M⊥平面AECD．B1M⊥AE．
因为CD 平面AECD，所以B1M⊥CD．
因为MD∩B1M＝M，MD、B1M 平面B1MD，
所以CD⊥平面B1MD．…（5分）
（Ⅱ）解：以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，则C（2，，0），B1（0，0，），A（﹣1，0，0），D（0，，0）．
平面AB1E的法向量为（0，，0）．
设平面DB1A的法向量为（x，y，z），
因为（1，0，），（1，，0），
所以，
令z＝1得，（，1，1）．
所以cos，，因为二面角D﹣AB1﹣E为锐角，
所以二面角D﹣AB1﹣E的余弦值为．…（10分）
（Ⅲ）解：存在点P，使得MP∥平面B1AD．…（11分）
设在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，
设λ，（0≤λ≤1），C（2，，0），
因为．
所以（2λ，λ，λ），
因为MP∥平面B1AD，所以，
所以﹣2λλλ＝0，解得λ，
又因为MP 平面B1AD，
所以在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，．…（14分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，存在性问题的判断与证明，考查空间想象能力．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若λ， ，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明PA⊥平面ABC可得BC⊥PA，再结合BC⊥AD可得BC⊥平面PAD；
（2）建立空间坐标系，根据条件求出λ，求出平面PAB与平面PDE的法向量即可得出二面角的大小．
【解答】（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，
所以AD⊥BC．
又PA，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABC，则PA⊥BC．
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．
∵λ，
∴可设E（0，t，0），则（0，t，﹣3），（，，0），
∴，∴t＝1，
则（，，0），（0，1．﹣3），
设平面PDE的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得（﹣1，3，1）．
平面PAB的一个法向量为（0，1，0），
则cos．
故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算问题，属于中档题．
20．如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD sin30°，OE＝OB﹣BDcos60°，由此能求出D的坐标，从而能求出．
（2）与的夹角的余弦值cos，由此能求出结果．
【解答】解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD sin30°，
OE＝OB﹣BDcos60°＝1，
∴D的坐标为D（0，，），
又∵C（0，1，0），∴（0，，）．
（2）依题设有A点坐标为A（，，0），
∴（），（0，2，0），
则与的夹角的余弦值：
cos．
【点评】本题考查向量的坐标的求法，考查两向量的夹角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D，N，M的坐标；
（2）求线段MD，MN的长度；
（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1）D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）|MD|，|MN|；
（3）直线DN与直线MN不垂直，理由见解析．
【分析】（1）直接由题意写出点D，N，M的坐标；
（2）利用向量的模求对应线段的长度；
（3）由数量积是否为0判断直线DN与直线MN是否互相垂直．
【解答】解：（1）由|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，
可知：D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）由（1）知，，，
∴|MD|，|MN|；
（3）∵，，
∴，则直线DN与直线MN不垂直．
【点评】本题考查空间向量的应用，训练了利用空间向量的模求线段的长度，由向量的数量积是否为0判断直线是否垂直，是基础题．
22．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：；
（2）设E是棱DD1上的点，且，若，试求实数x，y，z的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据空间向量的加减法运算先求，然后结合图象进行化简，即可得到结论；
（2）根据空间向量基本定理将向量用已知向量、、把它表示出来，即可求出实数x，y，z的值．
【解答】解：（1）
（2）
∴、、
【点评】本题考查了空间向量的加减法以及用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法，属于基础题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第一章 空间向量与立体几何
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ABC＝90°，P为侧棱CC1上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为α，PQ与平面ABC所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）
A．α＝β B．α＜β C．α＞β D．不能确定
2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是底面A1B1C1D1内（含边界）的一点，且AP∥平面DBC1，则异面直线A1P与BD所成角的取值范围为（ ）
A．[] B．[] C．[] D．[]
3．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C．[﹣1，0] D．
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（ ）
A． B． C． D．
8．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上皆错
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（ ）
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③直线AB与平面BCD所成的角是60°；
④异面直线AB与CD所成角为60°．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．下列命题中正确的是（ ）
A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则A，B，M，N共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
D．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题．
13．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
14．给出下列命题：
①直线l的方向向量为（1，﹣1，2），直线m的方向向量（2，1，），则l与m垂直；
②直线l的方向向量（0，1，﹣1），平面α的法向量（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为（0，1，3），（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．
其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
15．已知（2，﹣1，2），（2，2，1），则以、为邻边的平行四边形的面积为 ．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则 ．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝ADBC＝2，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，M为线段AE的中点．
（1）求证：CD⊥B1D；
（2）求二面角D﹣AB1﹣E的余弦值；
（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP∥平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若λ， ，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
20．如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
21．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D，N，M的坐标；
（2）求线段MD，MN的长度；
（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．
22．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：；
（2）设E是棱DD1上的点，且，若，试求实数x，y，z的值．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ABC＝90°，P为侧棱CC1上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为α，PQ与平面ABC所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）
A．α＝β B．α＜β C．α＞β D．不能确定
【答案】C
【分析】作出两个角，在直角三角形中表示出sinα，sinβ，根据它们的大小关系得出结论．
【解答】解：连接CQ，PB，
∵CC1⊥平面ABC，∴∠PQC为PQ与平面ABC所成的角，即∠PQC＝β，
由CC1⊥平面ABC，可得CC1⊥AB，
又AB⊥BC，BC∩CC1＝C，
∴AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥PB，
∴∠PQB为直线PQ与AB所成角，即∠PQB＝α，
∵sinα，sinβ，且PB＞PC，
∴sinα＞sinβ，∴α＞β，
故选：C．
【点评】本题考查了空间角的计算与大小比较，作出要求的空间角是关键，属于基础题．
2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是底面A1B1C1D1内（含边界）的一点，且AP∥平面DBC1，则异面直线A1P与BD所成角的取值范围为（ ）
A．[] B．[] C．[] D．[]
【答案】B
【分析】连接AB1，AD1，B1D1，则点P在线段B1D1，以D为坐标原点建立坐标系，利用向量方法，即可求出取值范围．
【解答】解：过A作平面β∥平面DAB1，
∵点P是底面A1B1C1D1内（含边界）的一点，且AP∥平面DBC1，
∴P∈平面β，即点P在β与平面A1B1C1D1的交线上，
连接AB1，AD1，B1D1，
∵DD1∥BB1，则四边形BDD1B1是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
∴B1D1∥平面DBC1，
同理可证AB1∥平面DBC1，
∴平面AB1D1∥平面DBC1，则平面AB1D1即为β，点P在线段B1D1上，
以D为点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，1，0），A（1，0，0），A1（1，0，1）．
设P（k，k，1），k∈[0，1]，
∵，（k﹣1，k，0），
∴ 2k﹣1，||，||，
设A1P与BD所成角为θ，
则，
当k时，cosθ取得最小值为0，
当k＝0或1时，cosθ取得最大值为，
∴0≤cosθ，即θ
∴异面直线A1P与BD所成的角范围为[，]．
故选：B．
【点评】本题考查了异面直线夹角的求法、正方体的性质、面面平行的判定定理，考查了空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C．[﹣1，0] D．
【答案】D
【分析】以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P的坐标为（x，y，z），其中0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．
【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，
∴，
∴，
由二次函数的性质可得，当时，取得最小值为；
当x＝0或1，且y＝0或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是，
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1P的长度的最大值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），
（a﹣2，b﹣2，﹣2），（1，2，﹣2），
∵B1P⊥D1E，∴a﹣2+2（b﹣2）+4＝0，
∴a+2b﹣2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段，当a＝0时，b＝1；当b＝0时，a＝2，
设CD中点F，则点P在线段AF上，
当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|2；
当P与F重合时，P（0，1，0），（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||3，
当P在线段AF的中点时，P（1，，0），（﹣1，，﹣2），线段B1P的长度||．
∴线段B1P的长度的最大值为3．
故选：D．
【点评】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
5．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，可得（），（）．即可得出．
【解答】解：在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，
则（），（）．
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】B
【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：，，，，，代入化简即可得出．
【解答】解：∵，，，，，
∴
，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，可得，，，，，根据，利用数量积的运算性质展开即可得出．
【解答】解：因为在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
所以，，
所以，，
又因为，
所以1+1+4+0+2×1+2×1＝10，
因此，即．
故选：B．
【点评】本题考查了平行六面体性质、空间向量运算性质、数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上皆错
【答案】B
【分析】令xyz，若P，A，B，C四点共面，则x+y+z＝1，进而得到答案．
【解答】解：A中，，1+1+1＝3≠1，故P，A，B，C四点不共面；
B中，，1，故P，A，B，C四点共面；
C中，﹣10≠1，故P，A，B，C四点不共面；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是三点共线与四点共线的判定，正确理解四点共面充要条件的向量表示法，是解答的关键．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项逐一进行判断
【解答】解：因为以A为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为60°，不妨设棱长为a，
对于A，（）22＝3a2+3×2a26a2，
因为2＝（）2＝2a2+2a23a2，则2（）2＝6a2，所以（）2＝2（）2，故A正确；
对于B，因为（）（）22＝0，故B正确；
对于C，因为，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°，
所以向量与的夹角为120°，向量与的夹角为120°，故C不正确；
对于D，因为，，
则||a，||a，
所以（）（）＝a2，
所以cos，故D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查命题真假性的判断，考查空间向量的计算，用向量求夹角等，属于中档题．
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（ ）
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】分别取A1C1，AC的中点E，F，并连接EF，B1E，则可分别以EB1，EC1，EF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，进而求出直线的方向向量以及平面的法向量，再代入公式即可判断结论．
【解答】解：如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，
则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
设AB＝2；
则AA1＝2；
∴A1（0，﹣1，0），C1（0，1，0），A（0，﹣1，2），C（0，1，2）；B1（，0，0），
∴（0，2，﹣2）．
底面ABC的其中一个法向量为：（0，0，2），
∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为|cos，|＝||＝||；
∴A错B对．
∵A1B1的中点K的坐标为（，，0）；
∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为：（，，0）；
∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为：|cos，|＝||＝||；
故C对D错；
故选：BC．
【点评】本题主要考查线面角的求法，以及用向量法求直线与平面所成角的方法，考查运算能力，属于中档题
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③直线AB与平面BCD所成的角是60°；
④异面直线AB与CD所成角为60°．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判断①；求解三角形可得△ACD的形状判定②；求解线面角判断③；求解三角形，可得△EFG是等边三角形判断④．
【解答】解：取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，
∵AE∩CE＝E，∴BD⊥平面ACE，得AC⊥BD．故①正确；
设折叠前正方形的边长为1，则BD，∴AE＝CE，则AE⊥BC，
∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BC，
∴AE⊥平面BCD，则AE⊥CE，
∴AC1，即△ACD是等边三角形，故②正确；
由AE＝CE，AC＝1，可得AE⊥EC，AE⊥BD，
又BD∩EC＝E，∴AE⊥面BCD，
∴AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故③错误；
取BC中点F，AC中点G，连结EF，FG，EG，则EF∥CD，FG∥AB，
∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角，
在△EFG中，EFCD，FGAB，EGAC，
∴△EFG是等边三角形，则∠EFG＝60°，故④正确．
∴错误结论的个数是1个．
故选：A．
【点评】本题考查二面角空间中两直线位置关系的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12．下列命题中正确的是（ ）
A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则A，B，M，N共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
D．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】对于AB，结合空间基底的定义，即可求解，
对于C，结合空间向量数量积公式，即可求解，
对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，
则，，共面，则A，B，M，N共面，故A正确，
对于B，为空间的一个基底，若，
则也不共面，
故也是空间的基底，故B正确，
对于C，∵直线l的方向向量为，平面α的法向量为，
∴，即，
∴l α或l∥α，故C错误，
对于D，∵直线l的方向向量为，平面α的法向量为，
∴cos，
∴直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题．
13．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上一点D1到B1为终点的向量．
【解答】解：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则点E（0，2，0），D1（0，0，2），A（1，0，0），B1（1，4，2），
从而（1，0，﹣2），（﹣1，2，0），（1，4，0），
设平面AD1E的法向量为 （x，y，z），由可得，
令 （2，1，1），
所以点B1到平面AD1E的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量法求点到平面的距离．属于立体几何的常规题，中档题．
14．给出下列命题：
①直线l的方向向量为（1，﹣1，2），直线m的方向向量（2，1，），则l与m垂直；
②直线l的方向向量（0，1，﹣1），平面α的法向量（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为（0，1，3），（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．
其中真命题的是 ①④ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】见试题解答内容
【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；
②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；
③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；
④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．
【解答】解：对于①，∵（1，﹣1，2），（2，1，），
∴ 1×2﹣1×1+2×（）＝0，
∴⊥，
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，（0，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1），
∴ 0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，
∴⊥，∴l∥α或l α，②错误；
对于③，∵（0，1，3），（1，0，2），
∴与不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴（﹣1，1，1），（﹣1，1，0），
向量（1，u，t）是平面α的法向量，
∴，
即；
则u+t＝1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．
15．已知（2，﹣1，2），（2，2，1），则以、为邻边的平行四边形的面积为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意和数量积坐标运算求出两个向量的夹角余弦值，利用平方关系求出sinθ，由三角形面积公式求出平行四边形的面积．
【解答】解：设向量和的夹角是θ，则由向量的数量积和题意得，
cosθ，
∴sinθ，
∴以 和为邻边的平行四边形的面积S＝2||×||．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用向量的数量积坐标运算求面积，即先求出两个向量夹角的余弦值，再求出对应的正弦值，代入三角形面积公式求值．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到 ，而 ，即可求得 的结果．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别取AB，EB的中点M，N，连接CM，MN，ND，证明四边形CDNM为平行四边形，得CM∥DN，再由已知向量等式证明GF∥DN，可得GF∥CM，再由直线与平面平行的判定可得GF∥平面ABC；
（2）证明BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B﹣ACDE的高，由底面ACDE的面积确定，知要使多面体ABCDE的体积最大，即BH最大，此时AB＝BC．过点H作HP∥AE，可知HB，HC，HP两两垂直，以H为坐标原点，分别以HB，HC，HF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABE与平面DBE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：分别取AB，EB的中点M，N，连接CM，MN，ND，
在梯形ACDE中，DC∥EA，且DCEA，M，N分别为BA，BE的中点，
∴MN∥EA，MNEA，
∴MN∥CD，且MN＝CD，则四边形CDNM为平行四边形，得CM∥DN，
又，N为EB的中点，∴G为EN的中点，
又F为ED的中点，∴GF∥DN，可得GF∥CM，
又CM 平面ABC，GF 平面ABC，
∴GF∥平面ABC；
（2）解：在平面ABC内，过B作BH⊥AC，交AC于H，
∵平面ACDE⊥平面ABC，且平面ACDE∩平面ABC＝AC，
BH 平面ABC，BH⊥AC，
∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B﹣ACDE的高，
又底面ACDE的面积确定，∴要使多面体ABCDE的体积最大，即BH最大，此时AB＝BC．
过点H作HP∥AE，可知HB，HC，HP两两垂直，
以H为坐标原点，分别以HB，HC，HF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，1，1），
，，，
设是平面ABE的一个法向量，
则，取y1＝﹣1，得；
设为平面DBE的一个法向量，
则，取z2＝2，可得．
∴cos．
由图可知，二面角A﹣BE﹣D为钝角，
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝ADBC＝2，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，M为线段AE的中点．
（1）求证：CD⊥B1D；
（2）求二面角D﹣AB1﹣E的余弦值；
（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP∥平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）证明CD⊥DM．B1M⊥CD．通过直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面B1MD．
（Ⅱ）以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1E的法向量，平面DB1A的法向量通过向量的数量积求解二面角D﹣AB1﹣E的余弦值．
（Ⅲ） 存在点P，使得MP∥平面B1AD，设在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，设λ，（0≤λ≤1），通过，求出即可．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AM＝ME，故B1M⊥AE．
又因为AB＝BE，M为AE的中点，所以BM⊥AE，
即DM⊥AE．又因为AD∥BC，AD＝CE＝2．
所以四边形ADCE是平行四边形．
所以AE∥CD．
故CD⊥DM．
因为平面B1AE⊥平面AECD，平面B1AE∩平面AECD＝AE，B1M 平面AECD
所以B1M⊥平面AECD．B1M⊥AE．
因为CD 平面AECD，所以B1M⊥CD．
因为MD∩B1M＝M，MD、B1M 平面B1MD，
所以CD⊥平面B1MD．…（5分）
（Ⅱ）解：以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，则C（2，，0），B1（0，0，），A（﹣1，0，0），D（0，，0）．
平面AB1E的法向量为（0，，0）．
设平面DB1A的法向量为（x，y，z），
因为（1，0，），（1，，0），
所以，
令z＝1得，（，1，1）．
所以cos，，因为二面角D﹣AB1﹣E为锐角，
所以二面角D﹣AB1﹣E的余弦值为．…（10分）
（Ⅲ）解：存在点P，使得MP∥平面B1AD．…（11分）
设在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，
设λ，（0≤λ≤1），C（2，，0），
因为．
所以（2λ，λ，λ），
因为MP∥平面B1AD，所以，
所以﹣2λλλ＝0，解得λ，
又因为MP 平面B1AD，
所以在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，．…（14分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，存在性问题的判断与证明，考查空间想象能力．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若λ， ，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明PA⊥平面ABC可得BC⊥PA，再结合BC⊥AD可得BC⊥平面PAD；
（2）建立空间坐标系，根据条件求出λ，求出平面PAB与平面PDE的法向量即可得出二面角的大小．
【解答】（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，
所以AD⊥BC．
又PA，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABC，则PA⊥BC．
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．
∵λ，
∴可设E（0，t，0），则（0，t，﹣3），（，，0），
∴，∴t＝1，
则（，，0），（0，1．﹣3），
设平面PDE的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得（﹣1，3，1）．
平面PAB的一个法向量为（0，1，0），
则cos．
故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算问题，属于中档题．
20．如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD sin30°，OE＝OB﹣BDcos60°，由此能求出D的坐标，从而能求出．
（2）与的夹角的余弦值cos，由此能求出结果．
【解答】解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD sin30°，
OE＝OB﹣BDcos60°＝1，
∴D的坐标为D（0，，），
又∵C（0，1，0），∴（0，，）．
（2）依题设有A点坐标为A（，，0），
∴（），（0，2，0），
则与的夹角的余弦值：
cos．
【点评】本题考查向量的坐标的求法，考查两向量的夹角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D，N，M的坐标；
（2）求线段MD，MN的长度；
（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1）D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）|MD|，|MN|；
（3）直线DN与直线MN不垂直，理由见解析．
【分析】（1）直接由题意写出点D，N，M的坐标；
（2）利用向量的模求对应线段的长度；
（3）由数量积是否为0判断直线DN与直线MN是否互相垂直．
【解答】解：（1）由|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，
可知：D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）由（1）知，，，
∴|MD|，|MN|；
（3）∵，，
∴，则直线DN与直线MN不垂直．
【点评】本题考查空间向量的应用，训练了利用空间向量的模求线段的长度，由向量的数量积是否为0判断直线是否垂直，是基础题．
22．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：；
（2）设E是棱DD1上的点，且，若，试求实数x，y，z的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据空间向量的加减法运算先求，然后结合图象进行化简，即可得到结论；
（2）根据空间向量基本定理将向量用已知向量、、把它表示出来，即可求出实数x，y，z的值．
【解答】解：（1）
（2）
∴、、
【点评】本题考查了空间向量的加减法以及用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法，属于基础题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)