第一章 空间向量与立体几何（提高卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
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| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何（提高卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 941.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-23 17:26:38 | ||
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文档简介
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第一章 空间向量与立体几何
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
2．（5分）已知，，若，则实数λ的值为（ ）
A．﹣1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝2CB，CC1＝3CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为（ ）
A．a B．2a C．a D．2a
6．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．（5分）如图，在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝AC＝BD＝4，则线段CD的长为（ ）
A． B．16 C．8 D．
8．（5分）如图，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，点E是CD的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A．四边形ABC1D1的面积为
B．与的夹角为60°
C．
D．
10．（5分）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
11．（5分）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量∥，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D．已知向量{，，}是空间的一个基底，若，则{，，}也是空间的一个基底
12．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（ ）
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知球O内切于正四面体A﹣BCD，且正四面体的棱长为2，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的最大值是 ．
14．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
15．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则 ．
16．（5分）给出命题：
①在 ABCD中，；
②在△ABC中，若0，则△ABC是锐角三角形；
③在梯形ABCD中，E，F分别是两腰BC，DA的中点，则．
以上命题中，正确命题的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．
（1）当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，ADAB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．
21．（12分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1与平面AB1C交于点F，连接AF交B1C于点E．
利用向量方法证明：
（1）点E为B1C的中点；
（2）AFAE，且点F为△AB1C的重心；
（3）BFBD1．
22．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
（1）求证：A1C⊥B1A1；
（2）若平面ABC⊥平面ABB1A1，且AB＝BC，求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
【答案】C
【分析】利用平行六面体的性质和向量的模相等即可得出．
【解答】解：如右图，与向量模相等的向量有：，，，，，，7个．
故选：C．
【点评】熟练掌握平行六面体的性质和向量的模相等是解题的关键．
2．（5分）已知，，若，则实数λ的值为（ ）
A．﹣1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合向量的坐标公式，以及向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴（﹣3，0，2λ﹣4），
∵，
∴，即（2，1，λ） （﹣3，0，2λ﹣4）＝﹣6+2λ2﹣4λ＝0，解得λ＝﹣1或3．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的坐标公式，以及向量垂直的性质，属于基础题．
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与AC所成角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则D（0，0，0），E（0，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
（0，1，2），（﹣2，2，0），
设异面直线DE与AC所成角为θ，
则cosθ．
∴异面直线DE与AC所成角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间向量的应用，转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
4．（5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝2CB，CC1＝3CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以C为原点，CA为x轴，CC1为y轴，CB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．
【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CC1为y轴，CB为z轴，建立空间直角坐标系，
∵CA＝2CB，CC1＝3CB，∴设CB＝1，
得B（0，0，1），C1（0，3，0），A（2，0，0），B1（0，3，1），
（0，3，﹣1），（﹣2，3，1），
cos，．
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查两异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
5．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为（ ）
A．a B．2a C．a D．2a
【答案】D
【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得||，由此能求出CD的长．
【解答】解：∵二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，
AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，
∴60°，，
∵，
∴||
2a，
∴CD的长为2a．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量加法法则、向量模、数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1P的长度的最大值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），
（a﹣2，b﹣2，﹣2），（1，2，﹣2），
∵B1P⊥D1E，∴a﹣2+2（b﹣2）+4＝0，
∴a+2b﹣2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段，当a＝0时，b＝1；当b＝0时，a＝2，
设CD中点F，则点P在线段AF上，
当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|2；
当P与F重合时，P（0，1，0），（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||3，
当P在线段AF的中点时，P（1，，0），（﹣1，，﹣2），线段B1P的长度||．
∴线段B1P的长度的最大值为3．
故选：D．
【点评】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
7．（5分）如图，在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝AC＝BD＝4，则线段CD的长为（ ）
A． B．16 C．8 D．
【答案】D
【分析】，利用数量积运算性质以及向量的数量积的运算法则，代入计算即可．
【解答】解：，∴2，
∵，，
∴，
．AB＝AC＝BD＝4，
∴42+42+42﹣2×1632，
∴||．
故选：D．
【点评】本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）如图，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，点E是CD的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，设A（0，0，h），根据异面直线AD与BE所成角的余弦值为计算h，再求出平面ACD的法向量，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为|cos，|．
【解答】解以BC，BD，BA为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
设AB＝h，则A（0，0，h），B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），E（1，1，0）．
∴（0，2，﹣h），（1，1，0），∴2，||，||，
∴cos，．
∵异面直线AD与BE所成角的余弦值为，∴，解得h＝4．
∴（0，2，﹣4），（﹣2，2，0）．
设平面ACD的法向量为（x，y，z）．
则0，0，即．令z＝1，得（2，2，1）．
∴4，||＝3，
∴cos，．
∴直线BE与平面ACD所成角的正弦值为．
故选：C．
【点评】本题考查了空间角的计算，通常采用空间向量进行计算．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A．四边形ABC1D1的面积为
B．与的夹角为60°
C．
D．
【答案】ACD
【分析】直接利用向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角，判定A、B、C、D的结论即可．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示：
对于A：连接AD1和BC1，因为AB⊥BC1，AB∥D1C1，且AB＝D1C1，
所以四边形ABC1D1为矩形，所以，故A正确；
对于B：连接AD1，D1C，AC，因为，所以△AD1C为等边三角形，
故和的夹角为120°，故B错误；
对于C：设正方体的棱长为a，则，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
10．（5分）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
【答案】AB
【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．
【解答】解：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；
∵AB⊥AA1，∴，故0，因此D不正确．
故选：AB．
【点评】本题把正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识结合起来进行考查．熟练掌握正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识方法是做好本题的关键．
11．（5分）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量∥，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D．已知向量{，，}是空间的一个基底，若，则{，，}也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【分析】直接利用空间基底的应用判定选项的正误即可．
【解答】解：对于A，空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，这句话是教材上的原话，作为空间基底的前提为不共面，故A正确．
对于B，向量∥，则，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B正确．
对于C，向量，，不能构成空间的一个基底，则，，为共面向量，所以A，B，M，N四点共面．故C正确．
对于D，已知{，，}是空间的一个基底，所以，，不共面，由于，则，，不共面，所以{，，}也是空间的一个基底．故D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查的知识要点：空间基底，共面向量，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．
12．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（ ）
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】分别取A1C1，AC的中点E，F，并连接EF，B1E，则可分别以EB1，EC1，EF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，进而求出直线的方向向量以及平面的法向量，再代入公式即可判断结论．
【解答】解：如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，
则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
设AB＝2；
则AA1＝2；
∴A1（0，﹣1，0），C1（0，1，0），A（0，﹣1，2），C（0，1，2）；B1（，0，0），
∴（0，2，﹣2）．
底面ABC的其中一个法向量为：（0，0，2），
∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为|cos，|＝||＝||；
∴A错B对．
∵A1B1的中点K的坐标为（，，0）；
∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为：（，，0）；
∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为：|cos，|＝||＝||；
故C对D错；
故选：BC．
【点评】本题主要考查线面角的求法，以及用向量法求直线与平面所成角的方法，考查运算能力，属于中档题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知球O内切于正四面体A﹣BCD，且正四面体的棱长为2，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的最大值是 8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先算出内切球的半径，ra（a为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算．
【解答】解：由正四面体棱长为2，得其内切球的半径为1，
由题意，M，N是直径的两端点，可得，，
则 （） 0﹣11，
当点P在正四面体顶点时，最大，且最大值为9，
则1的最大值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算．
14．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上一点D1到B1为终点的向量．
【解答】解：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则点E（0，2，0），D1（0，0，2），A（1，0，0），B1（1，4，2），
从而（1，0，﹣2），（﹣1，2，0），（1，4，0），
设平面AD1E的法向量为 （x，y，z），由可得，
令 （2，1，1），
所以点B1到平面AD1E的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量法求点到平面的距离．属于立体几何的常规题，中档题．
15．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则 ．
【答案】．
【分析】把向量放在封闭图形△AGE中，根据向量加法的三角形法则和共线向量定理即可求得结果．
【解答】解：由题意，连接AE，
则（）（）．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量基本定理，属于基础题，解决这一类问题时，一定要把要求的向量放在封闭图形中，体现了数形结合的思想．
16．（5分）给出命题：
①在 ABCD中，；
②在△ABC中，若0，则△ABC是锐角三角形；
③在梯形ABCD中，E，F分别是两腰BC，DA的中点，则．
以上命题中，正确命题的序号是 ①③ ．
【答案】①③．
【分析】由向量加法的平行四边形法则判断①；由数量积的运算判断②；数形结合判断③．
【解答】解：①在 ABCD中，由向量加法的平行四边形法则，可得，故①正确；
②在△ABC中，若0，得bccosA＞0，即cosA＞0，可得角A为锐角，但角B与角C不确定，故②错误；
③如图，
四边形ABCD为梯形，则||，
又与同向，则，故③正确．
∴正确命题的序号是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查平面向量的运算及基本概念，是基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．
（1）当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用三线垂直关系建立空间坐标系，找出各点坐标，得到两个平面的法向量，代入公式求解；
（2）设动点N的横坐标，通过相似关系可得纵坐标，进而得向量，再利用公式去探究．
【解答】解（1）∵SA⊥底面ABCD，
∴SA⊥AD，SA⊥AB，又AD⊥AB，
∴以A为原点，以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，
∵SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，SM＝2MB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），S（0，0，2），M（0，，），D（1，0，0）
由上可知AD⊥平面SAB，
∴（1，0，0）可作为平面SAB的法向量；
设平面MAC的法向量为（x，y，z），
则
＝2x+2y＝0，即x+y＝0；
，即2y+z＝0，
取x＝1，则y＝﹣1，z＝2，
即，
设平面SAB与平面AMC所成锐二面角为α，
则cosα＝|cos|＝||；
（2）如图，作NQ∥BC，DR∥AB，NQ，DR交于P，则，
设QN＝m，则PN＝m﹣1，∴DP＝2M﹣2，
∴N（m，2m﹣2，0），
∴（m，2m，），
∴||
∴sinθ＝|cos|＝||
∴当m时，sinθ取得最大值，
此时N（，，0），
∴当sinθ取最大值时点N在线段CD上且ND．
【点评】此题考查了利用空间向量解决二面角，线面所成角的问题，运算难度较大．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．
（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角．
【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，
则，，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．
由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF．
又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，
由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，
则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，
因为DE∥BF且PF⊥BF，
所以PF⊥DE，
又因为△PDF≌△CDF，
所以∠FPD＝∠FCD＝90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD＝D，则PF⊥平面PDE，
故VF﹣PDE，
因为BF∥DA且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，
所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a
在△PDE中，，
所以，
故VF﹣PDE，
又因为，
所以PH，
所以在△PHD中，sin∠PDH，
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．
【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，ADAB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明PD⊥面ABE，关键是证明AB⊥PD，AE⊥PD．
【解答】证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD
又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD；
又设ADABa，AB⊥AD，∠ABC＝60°，
∴CDa
∴AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE．
∵PA＝AB＝BC＝AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
∵CD∩PC＝C，
∴AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵AB∩AE＝A，
∴PD⊥面ABE．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定，同时考查了空间想象能力，推理论证能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
（2）求出平面ADC1的法向量和平面A1BA的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1（0，0，4），B（2，0，0），C1（0，2，4），D（1，1，0），
（2，0，﹣4），（1，﹣1，﹣4），
设异面直线A1B与C1D所成角为θ，
则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为：
cosθ．
（2）（1，1，0），（0，2，4），
设平面ADC1的法向量（x，y，z），
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
平面A1BA的法向量（0，1，0），
设平面ADC1与平面A1BA的夹角为α，
则平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值为：cosα．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1与平面AB1C交于点F，连接AF交B1C于点E．
利用向量方法证明：
（1）点E为B1C的中点；
（2）AFAE，且点F为△AB1C的重心；
（3）BFBD1．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设，x（x+y）xy，列方程组求出x＝y，，由此能证明点E为B1C的中点．
（2）推导出（），且，由此能证明AFAE，且点F为△AB1C的重心．
（3），推导出，由此能证明BFBD1．
【解答】证明：（1）设，①
x
＝x（）+y（）
＝（x+y）xy，②
∴，解得，
∴（），
∴点E为B1C的中点．
（2）由（1）得（），且，
∴AFAE，且点F为△AB1C的重心．
（3），
，
∴BFBD1．
【点评】本题考查线段的中点、三角形重心的证明，考查两条线段间的等量关系的证明，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
22．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
（1）求证：A1C⊥B1A1；
（2）若平面ABC⊥平面ABB1A1，且AB＝BC，求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明AB⊥平面CDA 得到AB⊥A C，再得出结论；
（2）由题意，以DA，DA ，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A CB的法向量，利用夹角公式求出即可．
【解答】解：如图，设AB的中点为D，连接CD，A D，
又设AB＝2，则AD1．
（1）由AB⊥CD，AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所以三角形BAA1为等边三角形，
又AB的中点为D，所以AB⊥DA ，且CD∩DA ＝D，
所以AB⊥平面CDA ，CA1 平面CDA ，
故AB⊥A C，
所以A1C⊥B1A1；
（2）平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，且AB⊥CD，
故CD⊥平面ABB1A1，如图，以D为原点，以DA，DA ，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A （0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），B （﹣2，，0），
（0，，），（﹣1，0，），（﹣2，，），
设平面A CB的法向量为（x，y，z），
由，得，得，
设CB 与平面A BC的夹角为θ，
由sinθ＝|cos|，
故CB 与平面A BC的夹角正弦值为．
【点评】考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求线面所成的角，中档题．
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第一章 空间向量与立体几何
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
2．（5分）已知，，若，则实数λ的值为（ ）
A．﹣1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝2CB，CC1＝3CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为（ ）
A．a B．2a C．a D．2a
6．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．（5分）如图，在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝AC＝BD＝4，则线段CD的长为（ ）
A． B．16 C．8 D．
8．（5分）如图，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，点E是CD的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A．四边形ABC1D1的面积为
B．与的夹角为60°
C．
D．
10．（5分）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
11．（5分）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量∥，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D．已知向量{，，}是空间的一个基底，若，则{，，}也是空间的一个基底
12．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（ ）
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知球O内切于正四面体A﹣BCD，且正四面体的棱长为2，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的最大值是 ．
14．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
15．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则 ．
16．（5分）给出命题：
①在 ABCD中，；
②在△ABC中，若0，则△ABC是锐角三角形；
③在梯形ABCD中，E，F分别是两腰BC，DA的中点，则．
以上命题中，正确命题的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．
（1）当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，ADAB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．
21．（12分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1与平面AB1C交于点F，连接AF交B1C于点E．
利用向量方法证明：
（1）点E为B1C的中点；
（2）AFAE，且点F为△AB1C的重心；
（3）BFBD1．
22．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
（1）求证：A1C⊥B1A1；
（2）若平面ABC⊥平面ABB1A1，且AB＝BC，求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
【答案】C
【分析】利用平行六面体的性质和向量的模相等即可得出．
【解答】解：如右图，与向量模相等的向量有：，，，，，，7个．
故选：C．
【点评】熟练掌握平行六面体的性质和向量的模相等是解题的关键．
2．（5分）已知，，若，则实数λ的值为（ ）
A．﹣1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合向量的坐标公式，以及向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴（﹣3，0，2λ﹣4），
∵，
∴，即（2，1，λ） （﹣3，0，2λ﹣4）＝﹣6+2λ2﹣4λ＝0，解得λ＝﹣1或3．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的坐标公式，以及向量垂直的性质，属于基础题．
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与AC所成角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则D（0，0，0），E（0，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
（0，1，2），（﹣2，2，0），
设异面直线DE与AC所成角为θ，
则cosθ．
∴异面直线DE与AC所成角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间向量的应用，转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
4．（5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝2CB，CC1＝3CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以C为原点，CA为x轴，CC1为y轴，CB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．
【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CC1为y轴，CB为z轴，建立空间直角坐标系，
∵CA＝2CB，CC1＝3CB，∴设CB＝1，
得B（0，0，1），C1（0，3，0），A（2，0，0），B1（0，3，1），
（0，3，﹣1），（﹣2，3，1），
cos，．
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查两异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
5．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为（ ）
A．a B．2a C．a D．2a
【答案】D
【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得||，由此能求出CD的长．
【解答】解：∵二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，
AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，
∴60°，，
∵，
∴||
2a，
∴CD的长为2a．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量加法法则、向量模、数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1P的长度的最大值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），
（a﹣2，b﹣2，﹣2），（1，2，﹣2），
∵B1P⊥D1E，∴a﹣2+2（b﹣2）+4＝0，
∴a+2b﹣2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段，当a＝0时，b＝1；当b＝0时，a＝2，
设CD中点F，则点P在线段AF上，
当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|2；
当P与F重合时，P（0，1，0），（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||3，
当P在线段AF的中点时，P（1，，0），（﹣1，，﹣2），线段B1P的长度||．
∴线段B1P的长度的最大值为3．
故选：D．
【点评】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
7．（5分）如图，在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝AC＝BD＝4，则线段CD的长为（ ）
A． B．16 C．8 D．
【答案】D
【分析】，利用数量积运算性质以及向量的数量积的运算法则，代入计算即可．
【解答】解：，∴2，
∵，，
∴，
．AB＝AC＝BD＝4，
∴42+42+42﹣2×1632，
∴||．
故选：D．
【点评】本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）如图，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，点E是CD的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，设A（0，0，h），根据异面直线AD与BE所成角的余弦值为计算h，再求出平面ACD的法向量，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为|cos，|．
【解答】解以BC，BD，BA为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
设AB＝h，则A（0，0，h），B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），E（1，1，0）．
∴（0，2，﹣h），（1，1，0），∴2，||，||，
∴cos，．
∵异面直线AD与BE所成角的余弦值为，∴，解得h＝4．
∴（0，2，﹣4），（﹣2，2，0）．
设平面ACD的法向量为（x，y，z）．
则0，0，即．令z＝1，得（2，2，1）．
∴4，||＝3，
∴cos，．
∴直线BE与平面ACD所成角的正弦值为．
故选：C．
【点评】本题考查了空间角的计算，通常采用空间向量进行计算．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A．四边形ABC1D1的面积为
B．与的夹角为60°
C．
D．
【答案】ACD
【分析】直接利用向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角，判定A、B、C、D的结论即可．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示：
对于A：连接AD1和BC1，因为AB⊥BC1，AB∥D1C1，且AB＝D1C1，
所以四边形ABC1D1为矩形，所以，故A正确；
对于B：连接AD1，D1C，AC，因为，所以△AD1C为等边三角形，
故和的夹角为120°，故B错误；
对于C：设正方体的棱长为a，则，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
10．（5分）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
【答案】AB
【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．
【解答】解：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；
∵AB⊥AA1，∴，故0，因此D不正确．
故选：AB．
【点评】本题把正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识结合起来进行考查．熟练掌握正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识方法是做好本题的关键．
11．（5分）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量∥，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D．已知向量{，，}是空间的一个基底，若，则{，，}也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【分析】直接利用空间基底的应用判定选项的正误即可．
【解答】解：对于A，空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，这句话是教材上的原话，作为空间基底的前提为不共面，故A正确．
对于B，向量∥，则，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B正确．
对于C，向量，，不能构成空间的一个基底，则，，为共面向量，所以A，B，M，N四点共面．故C正确．
对于D，已知{，，}是空间的一个基底，所以，，不共面，由于，则，，不共面，所以{，，}也是空间的一个基底．故D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查的知识要点：空间基底，共面向量，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．
12．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（ ）
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】分别取A1C1，AC的中点E，F，并连接EF，B1E，则可分别以EB1，EC1，EF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，进而求出直线的方向向量以及平面的法向量，再代入公式即可判断结论．
【解答】解：如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，
则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
设AB＝2；
则AA1＝2；
∴A1（0，﹣1，0），C1（0，1，0），A（0，﹣1，2），C（0，1，2）；B1（，0，0），
∴（0，2，﹣2）．
底面ABC的其中一个法向量为：（0，0，2），
∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为|cos，|＝||＝||；
∴A错B对．
∵A1B1的中点K的坐标为（，，0）；
∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为：（，，0）；
∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为：|cos，|＝||＝||；
故C对D错；
故选：BC．
【点评】本题主要考查线面角的求法，以及用向量法求直线与平面所成角的方法，考查运算能力，属于中档题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知球O内切于正四面体A﹣BCD，且正四面体的棱长为2，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的最大值是 8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先算出内切球的半径，ra（a为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算．
【解答】解：由正四面体棱长为2，得其内切球的半径为1，
由题意，M，N是直径的两端点，可得，，
则 （） 0﹣11，
当点P在正四面体顶点时，最大，且最大值为9，
则1的最大值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算．
14．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上一点D1到B1为终点的向量．
【解答】解：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则点E（0，2，0），D1（0，0，2），A（1，0，0），B1（1，4，2），
从而（1，0，﹣2），（﹣1，2，0），（1，4，0），
设平面AD1E的法向量为 （x，y，z），由可得，
令 （2，1，1），
所以点B1到平面AD1E的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量法求点到平面的距离．属于立体几何的常规题，中档题．
15．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则 ．
【答案】．
【分析】把向量放在封闭图形△AGE中，根据向量加法的三角形法则和共线向量定理即可求得结果．
【解答】解：由题意，连接AE，
则（）（）．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量基本定理，属于基础题，解决这一类问题时，一定要把要求的向量放在封闭图形中，体现了数形结合的思想．
16．（5分）给出命题：
①在 ABCD中，；
②在△ABC中，若0，则△ABC是锐角三角形；
③在梯形ABCD中，E，F分别是两腰BC，DA的中点，则．
以上命题中，正确命题的序号是 ①③ ．
【答案】①③．
【分析】由向量加法的平行四边形法则判断①；由数量积的运算判断②；数形结合判断③．
【解答】解：①在 ABCD中，由向量加法的平行四边形法则，可得，故①正确；
②在△ABC中，若0，得bccosA＞0，即cosA＞0，可得角A为锐角，但角B与角C不确定，故②错误；
③如图，
四边形ABCD为梯形，则||，
又与同向，则，故③正确．
∴正确命题的序号是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查平面向量的运算及基本概念，是基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．
（1）当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用三线垂直关系建立空间坐标系，找出各点坐标，得到两个平面的法向量，代入公式求解；
（2）设动点N的横坐标，通过相似关系可得纵坐标，进而得向量，再利用公式去探究．
【解答】解（1）∵SA⊥底面ABCD，
∴SA⊥AD，SA⊥AB，又AD⊥AB，
∴以A为原点，以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，
∵SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，SM＝2MB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），S（0，0，2），M（0，，），D（1，0，0）
由上可知AD⊥平面SAB，
∴（1，0，0）可作为平面SAB的法向量；
设平面MAC的法向量为（x，y，z），
则
＝2x+2y＝0，即x+y＝0；
，即2y+z＝0，
取x＝1，则y＝﹣1，z＝2，
即，
设平面SAB与平面AMC所成锐二面角为α，
则cosα＝|cos|＝||；
（2）如图，作NQ∥BC，DR∥AB，NQ，DR交于P，则，
设QN＝m，则PN＝m﹣1，∴DP＝2M﹣2，
∴N（m，2m﹣2，0），
∴（m，2m，），
∴||
∴sinθ＝|cos|＝||
∴当m时，sinθ取得最大值，
此时N（，，0），
∴当sinθ取最大值时点N在线段CD上且ND．
【点评】此题考查了利用空间向量解决二面角，线面所成角的问题，运算难度较大．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．
（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角．
【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，
则，，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．
由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF．
又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，
由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，
则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，
因为DE∥BF且PF⊥BF，
所以PF⊥DE，
又因为△PDF≌△CDF，
所以∠FPD＝∠FCD＝90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD＝D，则PF⊥平面PDE，
故VF﹣PDE，
因为BF∥DA且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，
所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a
在△PDE中，，
所以，
故VF﹣PDE，
又因为，
所以PH，
所以在△PHD中，sin∠PDH，
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．
【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，ADAB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明PD⊥面ABE，关键是证明AB⊥PD，AE⊥PD．
【解答】证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD
又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD；
又设ADABa，AB⊥AD，∠ABC＝60°，
∴CDa
∴AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE．
∵PA＝AB＝BC＝AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
∵CD∩PC＝C，
∴AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵AB∩AE＝A，
∴PD⊥面ABE．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定，同时考查了空间想象能力，推理论证能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
（2）求出平面ADC1的法向量和平面A1BA的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1（0，0，4），B（2，0，0），C1（0，2，4），D（1，1，0），
（2，0，﹣4），（1，﹣1，﹣4），
设异面直线A1B与C1D所成角为θ，
则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为：
cosθ．
（2）（1，1，0），（0，2，4），
设平面ADC1的法向量（x，y，z），
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
平面A1BA的法向量（0，1，0），
设平面ADC1与平面A1BA的夹角为α，
则平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值为：cosα．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1与平面AB1C交于点F，连接AF交B1C于点E．
利用向量方法证明：
（1）点E为B1C的中点；
（2）AFAE，且点F为△AB1C的重心；
（3）BFBD1．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设，x（x+y）xy，列方程组求出x＝y，，由此能证明点E为B1C的中点．
（2）推导出（），且，由此能证明AFAE，且点F为△AB1C的重心．
（3），推导出，由此能证明BFBD1．
【解答】证明：（1）设，①
x
＝x（）+y（）
＝（x+y）xy，②
∴，解得，
∴（），
∴点E为B1C的中点．
（2）由（1）得（），且，
∴AFAE，且点F为△AB1C的重心．
（3），
，
∴BFBD1．
【点评】本题考查线段的中点、三角形重心的证明，考查两条线段间的等量关系的证明，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
22．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
（1）求证：A1C⊥B1A1；
（2）若平面ABC⊥平面ABB1A1，且AB＝BC，求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明AB⊥平面CDA 得到AB⊥A C，再得出结论；
（2）由题意，以DA，DA ，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A CB的法向量，利用夹角公式求出即可．
【解答】解：如图，设AB的中点为D，连接CD，A D，
又设AB＝2，则AD1．
（1）由AB⊥CD，AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所以三角形BAA1为等边三角形，
又AB的中点为D，所以AB⊥DA ，且CD∩DA ＝D，
所以AB⊥平面CDA ，CA1 平面CDA ，
故AB⊥A C，
所以A1C⊥B1A1；
（2）平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，且AB⊥CD，
故CD⊥平面ABB1A1，如图，以D为原点，以DA，DA ，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A （0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），B （﹣2，，0），
（0，，），（﹣1，0，），（﹣2，，），
设平面A CB的法向量为（x，y，z），
由，得，得，
设CB 与平面A BC的夹角为θ，
由sinθ＝|cos|，
故CB 与平面A BC的夹角正弦值为．
【点评】考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求线面所成的角，中档题．
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