第五章 三角函数（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 三角函数
一、选择题
1．若α为钝角，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（　　）
A．﹣cos1 B．cos1 C．cos1 D．cos1
3．函数y＝sin2xcos2x图象的一条对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
4．设a＜0，函数y＝asinx+acosx，x∈（0，），则值域为（　　）
A．[a，a] B．[a，﹣a] C．[a，） D．[，a）
5．如图所示是三个并排放置的正方形，则∠OAD+∠OBD+∠OCD的大小是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将△POA的面积表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[﹣π，π]上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知f（x）＝cos2x﹣asinx在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣2，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣4） D．（﹣∞，﹣4]
8．已知A＝{x1，x2，x3，x4}，B，则x1+x2+x3+x4的最小值为（　　）
A．24 B．36 C．48 D．72
二、填空题
9．若，则cosθ＝　 　 ，cos2θ＝　 　 ．
10．已知函数f（x）sinx+cosx在x0处取得最大值，则cos（x0﹣π）＝　 　 ．
11．在△ABC中，已知，则cosC＝　 　 ．
12．若α+β，则tanαtanβ﹣tanα﹣tanβ的值为 　 　 ．
13．已知函数f（x）＝sinωxcosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为 　 　 ．
14．在△AOB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈（0，]，则△AOB面积的最小值为 　 　 ．
三、解答题
15．已知，且x∈（0，π），求sinx的值．
16．如图，矩形ABCD内接于直径长为4的半圆，试求矩形ABCD的面积S的最大值．
17．已知函数的最小正周期为π．
（1）求当f（x）为偶函数时φ的值；
（2）当ω＞0时，若f（x）的图象过点，求f（x）的单调递增区间．
18．已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最值．
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若α为钝角，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的余弦公式，三角函数在各个象限中的符号，求得的值．
【解答】解：若α为钝角，∴为锐角，∵21，∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
2．化简的结果是（　　）
A．﹣cos1 B．cos1 C．cos1 D．cos1
【答案】C
【分析】直接利用二倍角公式化简，消去常数1，即可得到选项．
【解答】解：.cos1．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的二倍角公式的应用，注意角的范围三角函数的值的符号，考查计算能力，常考题型．
3．函数y＝sin2xcos2x图象的一条对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角的正弦公式将原函数化为，然后求出该函数的对称轴，从而得出正确选项．
【解答】解：，解，得该函数的对称轴为：，
∴k＝0时，．
故选：C．
【点评】本题考查了二倍角的正弦公式，正弦函数的对称轴，考查了计算能力，属于基础题．
4．设a＜0，函数y＝asinx+acosx，x∈（0，），则值域为（　　）
A．[a，a] B．[a，﹣a] C．[a，） D．[，a）
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数．结合正弦函数的性质求值域．
【解答】解：由题意，，
因为x∈（0，），所以，
所以，
因为a＜0，所以．
故选：D．
【点评】本题考查辅助角公式的运用，考查正弦函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．
5．如图所示是三个并排放置的正方形，则∠OAD+∠OBD+∠OCD的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图知，tan∠OAD，tan∠OBD，tan∠OCD＝1，可得∠OCD，利用两角和的正切即可求得tan（∠OAD+∠OBD）的值，从而可得答案．
【解答】解：由图知，tan∠OAD，tan∠OBD，tan∠OCD＝1，可得：∠OCD，
∴tan（∠OAD+∠OBD）＝tan1．
又∠OAD与∠OBD均为锐角，
∴∠OAD+∠OBD．
∴∠OAD+∠OBD+∠OCD．
故选：C．
【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查运算求解能力，属于中档题．
6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将△POA的面积表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[﹣π，π]上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】注意长度、距离为正，再根据三角形的面积公式即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择
【解答】解：在直角三角形OMP中，OP＝0A＝1，∠POA＝x，
∴s△POA1×1sinx|sinx|，
∴f（x）|sinx|，其周期为T＝π，最大值为，最小值为0，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查了三角形的面积公式．
7．已知f（x）＝cos2x﹣asinx在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣2，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣4） D．（﹣∞，﹣4]
【答案】D
【分析】先用二倍角公式化简，再利用换元法，结合复合函数的单调性，求出a即可．
【解答】解：x∈，f（x）＝1﹣2sin2x﹣asinx，
令t＝sinx∈（），
则y＝﹣2t2﹣at+1，由于t＝sinx在上是增函数，
故只需y＝﹣2t2﹣at+1，t∈（）递增即可，
所以t，
即a≤﹣4，
故选：D．
【点评】考查二倍角公式化简，复合函数的单调性，二次函数的单调性的判断等，中档题．
8．已知A＝{x1，x2，x3，x4}，B，则x1+x2+x3+x4的最小值为（　　）
A．24 B．36 C．48 D．72
【答案】C
【分析】由题意可得sin，由正弦函数和幂函数可知两函数的交点关于（12，0）对称，作出两函数的图象，结合图象即可求解．
【解答】解：因为2（x﹣12）sin1，显然x≠12，
所以sin，
又因为y＝sin的周期为8，且关于（12，0）对称，y的图象也关于（12，0）对称，
所以两函数的交点也关于（12，0）对称，
作出两函数的图象，如图所示：
又因为x1，x2，x3，x4均为正数，
要使x1+x2+x3+x4最小，就取在y轴右侧最靠近y轴的四个交点，
此时x1+x2+x3+x4＝12×4＝48．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数、幂函数的性质，也考查了转化思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
二、填空题
9．若，则cosθ＝　　 ，cos2θ＝　　 ．
【答案】；．
【分析】由诱导公式及二倍角的余弦求解．
【解答】解：由，得cosθ，cos2θ．
故答案为：；．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
10．已知函数f（x）sinx+cosx在x0处取得最大值，则cos（x0﹣π）＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x＝x0时，函数f（x）取得最大值，得到x0，然后求解cos（x0﹣π）的值．
【解答】解：函数f（x）sinx+cosx＝2（ sinxcosx）＝2sin（x）
∵函数f（x）sinx+cosx在x0处取得最大值，
∴sin（x0）＝1，不妨x02kπ．
cos（x0﹣π）＝﹣cosx0．
故答案为：．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．在△ABC中，已知，则cosC＝　　 ．
【答案】．
【分析】根据余弦，求出正弦，结合诱导公式，余弦的和角公式进行计算．
【解答】解：△ABC中，A+B+C＝π，故A，B，C∈（0，π），
因为，所以，
所以cosC＝cos（π﹣A﹣B）＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，诱导公式，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
12．若α+β，则tanαtanβ﹣tanα﹣tanβ的值为 　　 ．
【答案】．
【分析】直接利用和角的正切关系式的变换求出结果．
【解答】解：tan，
整理得，
所以：tanαtanβ﹣tanα﹣tanβ．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：和角的正切关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
13．已知函数f（x）＝sinωxcosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】化函数为f（x）＝2sin（ωx），由正弦函数的单调增区间求出x的取值范围，结合题意列不等式组求出k的值，再根据函数f（x）的对称轴求出ω的值．
【解答】解：函数f（x）＝sinωxcosωx＝2sin（ωx），x∈R，
∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0，
∴2kπωx2kπ，k∈Z；
可解得函数f（x）的单调递增区间为：[（2kπ），（2kπ）]，k∈Z，
可得：﹣ω（2kπ），…①
ω（2kπ），…②其中k∈Z，
∴解得：0＜ω22kπ且0＜ω2≤2kπ，k∈Z，
∴，
解得：k，k∈Z，
可解得：k＝0，
又∵由ωxkπ，k∈Z；
可解得函数f（x）的对称轴为：x（kπ），k∈Z，
由函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，可得：ω2，
可解得：ω．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正确确定k的值是解题的关键，是中档题．
14．在△AOB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈（0，]，则△AOB面积的最小值为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，角θ如图所示，所以三角形AOB的面积就等于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面积，再减去三角形APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积的最小值．
【解答】解：如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，
过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，
则S△OAB＝S正方形OMPN﹣S△OMA﹣S△ONB﹣S△ABP＝1（sinθ×1）（cosθ×1）（1﹣sinθ）（1﹣cosθ）
sincosθsin2θ，
因为θ∈（0，]，2θ∈（0，π]，
所以当2θ即θ时，sin2θ最大为1，
三角形的面积最小，最小面积为．
故答案为：．
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数形结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题．
三、解答题
15．已知，且x∈（0，π），求sinx的值．
【答案】．
【分析】由题意，先判断x为钝角，再利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sinx＝sin[（x）]的值．
【解答】解：∵，且x∈（0，π），x∈（，），
∴x为钝角，∴cos（x），
∴sinx＝sin[（x）]＝sin（x）coscos（x）sin（）．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．
16．如图，矩形ABCD内接于直径长为4的半圆，试求矩形ABCD的面积S的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】∠AOB＝θ，0＜θ，分别表示出OA和AB，然后根据矩形的面积公式进行计算即可
【解答】解：设∠AOB＝θ，0＜θ
则OA＝OBcosθ＝2cosθ，AB＝OBsinθ＝2sinθ，
则矩形ABCD的面积S＝2OA AB＝2×2cosθ×2sinθ＝4sin2θ，
∵0＜θ
∴0＜2θ＜π，
∴当2θ时，面积取得最大值，
此时最大值为4sin4．
【点评】本题主要考查三角函数最值的应用，设出参数，求出矩形的底和高，结合矩形的面积公式以及三角函数的倍角公式是解决本题的关键．
17．已知函数的最小正周期为π．
（1）求当f（x）为偶函数时φ的值；
（2）当ω＞0时，若f（x）的图象过点，求f（x）的单调递增区间．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，再由f（x）是偶函数求得φ的值；
（2）根据f（x）图象上的点求出φ的值，得f（x）的解析式，再求f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）当f（x）为偶函数时，，
∵，
∴；
（2）函数的最小正周期为π，
∴，∴ω＝±2，
又∵ω＞0，∴ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x+φ），将点代入f（x）得，，
∵，∴，单调递增需满足，
由，可得，
综上，f（x）的单调递增区间．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
18．已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递增区间；
（2）根据x∈[0，]时求出sin（2x）的取值范围，从而求出f（x）的最大、最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx
＝cos2xsin2x
＝2（cos2xsin2x）
＝2sin（2x）；
∴f（x）的最小正周期为Tπ；
令2kπ2x2kπ，k∈Z；
解得kπx≤kπ，k∈Z；
∴f（x）单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）当x∈[0，]时，2x∈[，]，
∴sin（2x）∈[，1]；
∴x＝0时，f（x）取得最小值为1，
x时，f（x）取得最大值为2．
【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)