第五章 三角函数（培优卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第五章 三角函数
一、选择题
1．已知，且角θ在第一象限，那么2θ是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．tan15°的值是（　　）
A．1 B．4． C． D．
3．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0），设甲：，乙：f（x）是偶函数，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．已知函数y＝2sin（2x），x∈[0，]的图象与直线y＝m有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则当α∈[0，π]时，f（x）的图像不可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数f（x）＝cosxsin2x，下列结论错误的是（　　）
A．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）中心对称
B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
C．函数y＝f（x）的最大值等于1
D．函数y＝f（x）既是奇函数，又是周期函数
7．已知函数f（x）＝asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x处取得最小值，则函数y＝f（x）是（　　）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
8．已知0＜x＜y，2＜x2+y，则下列结论错误的是（　　）
A． B．sin（x2）＞sin（2﹣y）
C．sin（2﹣x2）＜siny D．sin（x2）＜cos（y﹣1）
二、填空题
9．已知tanx＝2，则　 　 ．
10．已知，那么tanα sinα＝　 　
11．若关于x的方程sinx+cosx＝k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为 　 　 ．
12．在△ABC中，3sinA+4cosB＝6，4sinB+3cosA＝1，则∠C的大小为 　 　 ．
13．设ω∈（0，10]，则函数y＝sinωx在区间（，）上是增函数的概率是 　 　 ．
14．函数f（x）的值域 　 　 ．
三、解答题
15．已知，，，求cosα及sin（α+2β）的值．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知，点B的横坐标是．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）求2α﹣β的值．
17．已知函数f（x）＝2cosx（a2sinx+bcosx）．（x∈R）的值域为[﹣1，3]．
（1）若函数y＝f（x+φ）的图象关于直线x对称，求|φ|的最小值．
（2）当x∈[0，π]时，方程|f（x）|＝c有四个实数，求c的取值范围．
18．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB，记该设施平面图的面积为S（x）m2，∠AOB＝xrad，其中x＜π．
（1）写出S（x）关于x的函数关系式；
（2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知，且角θ在第一象限，那么2θ是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】直接求出cos2θ的值，即可判定2θ的象限．
【解答】解：∵cos2θ＝2cos2θ﹣1，
角θ在第一象限，所以2θ在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
2．tan15°的值是（　　）
A．1 B．4． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数之间的关系，三角恒等变换求解即可．
【解答】解：tan15°
4，
故选：B．
【点评】本题考查同角三角函数之间的关系，三角恒等变换，属于基础题．
3．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0），设甲：，乙：f（x）是偶函数，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数与余弦函数的奇偶性结合诱导公式即可判断．
【解答】解：当时，f（x）＝﹣cosωx，f（x）为偶函数，甲是乙的充分条件；
若f（x）为偶函数，则，则反向无法推出，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充分条件与必要条件的应用，属于基础题．
4．已知函数y＝2sin（2x），x∈[0，]的图象与直线y＝m有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为x和x，由题意可得x1+x2＝2，x2+x3＝2，从而求出x1+2x2+x3的值．
【解答】解：由函数y＝4sin（2x）（x∈[0，]）的图象可得，函数取得最值有2个x值，分别为x和x，
由正弦函数图象的对称性可得x1+x2＝2，x2+x3＝2．
故x1+2x2+x3＝x1+x2+x2+x3，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数y＝Asin（ωx+ ）的图象的对称性，考查计算能力，属于基础题．
5．已知，则当α∈[0，π]时，f（x）的图像不可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别讨论α＝0，α＝π，α时，判断f（x）的奇偶性，可得图像的对称性，可得结论．
【解答】解：α＝0时，f（x） sin2x，f（﹣x） sin（﹣2x）＝f（x），
可得f（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，故A正确；
α＝π时，f（x） sin2x，f（﹣x） sin（﹣2x）＝f（x），
可得f（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，故B正确；
α时，f（x） sin（2x） cos2x，f（﹣x） cos（﹣2x）＝﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，其图像关于原点对称，当x＝0.1时，f（x）＜0，故D正确，C错误．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图像判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
6．已知函数f（x）＝cosxsin2x，下列结论错误的是（　　）
A．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）中心对称
B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
C．函数y＝f（x）的最大值等于1
D．函数y＝f（x）既是奇函数，又是周期函数
【答案】C
【分析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．
【解答】解：对于A，∵f（x）+f（2π﹣x）＝cosxsin2x+cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）＝cosxsin2x﹣cosxsin2x＝0，
∴f（x）的图象关于点（π，0）对称，即A正确；
对于B，∵f（π﹣x）＝cos（π﹣x）sin2（π﹣x）＝﹣cosx （﹣sin2x）＝f（x），
∴f（x）的图象关于直线对称，即B正确；
对于C，∵|cosx|≤1，|sin2x|≤1，二者不能同时取到等号，
∴无论x取什么值，f（x）＝cosxsin2x均取不到值1，故C错误；
对于D，∵f（x）＝cosxsin2x，f（﹣x）＝cos（﹣x）sin2（﹣x）＝﹣cosxsin2x＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数；
又f（x+2π）＝cos（x+2π）sin2（x+2π）＝cosxsin2x＝f（x），
∴f（x）是周期函数；
∴f（x）既是奇函数又是周期函数，即D正确．
综上所述，结论中错误的是C．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的性质，着重考查函数的周期性、奇偶性、对称性及最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
7．已知函数f（x）＝asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x处取得最小值，则函数y＝f（x）是（　　）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
【答案】D
【分析】先对函数f（x）运用三角函数的辅角公式进行化简求出最小正周期，根据正弦函数的最值和取得最值时的x的值可求出函数的解析式，进而得到答案．
【解答】解：已知函数f（x）＝asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R），
∴的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设，
则函数，
所以是奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，
故选：D．
【点评】本题主要考查辅角公式、三角函数的奇偶性和对称性．对于三角函数的基本性质要熟练掌握，这是解题的根本．
8．已知0＜x＜y，2＜x2+y，则下列结论错误的是（　　）
A． B．sin（x2）＞sin（2﹣y）
C．sin（2﹣x2）＜siny D．sin（x2）＜cos（y﹣1）
【答案】C
【分析】利用基本不等式的性质和正弦函数的单调性得出答案．
【解答】解：∵0＜x＜y，2＜x2+y，
∴1＜y，∴x2y，
∴sinx2＜sin（）．故A正确．
∵2＜x2，
∴x2，y，
∴x2＞2﹣y，
∴sinx2＞sin（2﹣y），故B正确．
∵0＜x＜y，2＜x2+y，x2y，
∴2﹣x2＜y，
∴sin（2﹣x2）＜siny不一定成立，故C错误，
∵2＜x2，∴x2．
∴sinx2＜sin（）＝cos（y﹣1）．故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题
9．已知tanx＝2，则　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanx＝2，
∴原式3，
故答案为：3
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
10．已知，那么tanα sinα＝　　
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知利用诱导公式可求cosα，进而根据同角三角函数基本关系即可求解．
【解答】解：∵，
∴cosα，sin2α＝1﹣cos2α＝1，
∴tanα sinα．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11．若关于x的方程sinx+cosx＝k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为 　[）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程sinx+cosx＝k在区间[0，]上有两个不同的实数解，可以将方程转化为：sin（x），画出这两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解；
【解答】解：∵方程sinx+cosx＝k，
∴2sin（x）＝k，即sinx（x），
可以令f（x）＝sinx（x），h（x），
∵方程sinx+cosx＝k在区间[0，]上有两个不同的实数解
∴函数f（x）和h（x）的图象有两个交点，
如下图：
∴x
∴h（x），要使y＝f（x）与y＝h（x）有两个交点，
∴y＝h（x）在直线m和直线n之间，有两个交点，
∴1，
∴k＜2．
故答案为：[）．
【点评】本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，数形结合的思想得到了很好的体现．
12．在△ABC中，3sinA+4cosB＝6，4sinB+3cosA＝1，则∠C的大小为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意两式相加平方求出sinC，判断C是否满足题意即可．
【解答】解：两式平方相加可得9+16+24sin（A+B）＝37，
sin（A+B）＝sinC，
所以C或π．如果Cπ，则0＜A，从而cosA，3cosA＞1
与4sinB+3cosA＝1矛盾（因为4sinB＞0恒成立），
故C．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的判断，是本题的易错点．
13．设ω∈（0，10]，则函数y＝sinωx在区间（，）上是增函数的概率是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据几何概型公式，求出函数y＝sinωx在区间（，）上是增函数的区间长度，除以总的区间长度，即得所求概率．
【解答】解：函数y＝sinωx在区间（，）上是增函数，
则，ω∈[1.5，3]，区间长度为1.5；
又ω∈（0，10]，区间长度为10，
故所求的概率为．
故答案为：D．
【点评】本题主要考查了几何概型和概率的计算问题，解题的关键是利用几何概型公式，属于基础题．
14．函数f（x）的值域 　[0，]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出函数的定义域，根据定义域求出函数y＝3﹣x2的值域可得函数f（x）的值域．
【解答】解：函数f（x），其定义域必须满足3﹣x2≥0，
解得：x．
令y＝3﹣x2，在[，]的值域为[0，3]，
∴函数f（x）的值域为[0，]，
故答案为：[0，]，
【点评】本题考查了复合函数的值域问题，要抓住定义域入手．注意定义域范围．属于基础题．
三、解答题
15．已知，，，求cosα及sin（α+2β）的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系和α、β的范围，求得sin（α+β）和sinβ的值，进而根据cosα＝cos[（α+β）﹣β]利用余弦函数的两角差公式求得答案．
（2）根据已知，利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）和sinβ的值，进而根据sin（α+2β）＝sin[（α+β）+β]利用两角和正弦公式求得答案．
【解答】解：∵，∴α+β∈（0，π）
∴sin（α+β）
∴sinβ
cosα＝cos[（α+β）﹣β]＝cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
sin（α+2β）＝sin[（α+β）+β]＝sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式的应用，本题要注意运用角的整体代换α＝（α+β）﹣β，α+2β＝（α+β）+β．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知，点B的横坐标是．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）求2α﹣β的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件，利用三角形面积公式及同角公式求出α，β的正余弦，再利用差角的余弦计算作答．
（2）利用（1）中信息求出sin（2α﹣β），再讨论2α﹣β的范围求解作答．
【解答】解：（1）由题意知，|OA|＝|OM|＝1，点A（cosα，sinα），
则有，解得，
又α为锐角，则，
因钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是，则，
所以．
（2）由（1）知，
则，
从而sin（2α﹣β）＝sin[α+（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）+cosαsin（α﹣β），
因为α为锐角，，
则有，即，又，
因此，
所以．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数的求值以及三角函数的定义的应用，属于中档题．
17．已知函数f（x）＝2cosx（a2sinx+bcosx）．（x∈R）的值域为[﹣1，3]．
（1）若函数y＝f（x+φ）的图象关于直线x对称，求|φ|的最小值．
（2）当x∈[0，π]时，方程|f（x）|＝c有四个实数，求c的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据f（x）的值域求得b和a2的值，从而得出f（x）的解析式，再求|φ|最小时对应的φ值；
（2）画出x∈[0，π]时函数y＝|f（x）|的图象，结合图象求出方程|f（x）|＝c有四个实数时c的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2cosx（a2sinx+bcosx）
＝2a2sinxcosx+2bcos2x
＝a2sin2x+bcos2x+b
sin（2x+θ）+b，
由f（x）的值域为[﹣1，3]，
∴b＝1，a2，
∴f（x）＝2sin（2x）；
∴f（x+φ）＝2sin（2x+2φ），
令2x+2φkπ，k∈Z，
解得xφ，k∈Z；
当k＝0时，φ为|φ|的最小值；
（2）当x∈[0，π]时，2x∈[，]，
f（x）＝sin（2x），画出函数y＝|f（x）|的图象，如图所示，
结合图象知，方程|f（x）|＝c有四个实数，
实数c的取值范围是[1，2）．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程以及数形结合的应用问题，是中档题．
18．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB，记该设施平面图的面积为S（x）m2，∠AOB＝xrad，其中x＜π．
（1）写出S（x）关于x的函数关系式；
（2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式；
（2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可．
【解答】解：（1）∵扇形AOB的半径为2m，∠AOB＝xrad，
∴S扇形x 22＝2x，
过点B作边AC的垂线，垂足为D，如图所示：
则∠BOD＝π﹣x，
∴BD＝2sin（π﹣x）＝2sinx，OD＝2cos（π﹣x）＝﹣2cosx，
∵∠ACB，
∴CD＝BD＝2sinx，
∴S△BOCCO BD（2sinx﹣2cosx）×2sinx＝2sin2x﹣2sinxcosx＝1﹣cos2x﹣sin2x，
∴S（x）＝1﹣cos2x﹣sin2x+2x，
（2）根据（1），得到S（x）＝1﹣cos2x﹣sin2x+2x，
∴S′（x）＝2sin2x﹣2cos2x+2，
令S′（x）＝0，
∴2sin（2x）＝﹣2，
∴sin（2x），
∴2x，
∴x，
根据实际意义知，当x时，该函数取得最大值，
故设计∠AOB时，此时S（x）有最大值．
【点评】本题重点考查了三角形的面积公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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