第五章三角函数（提高卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第五章三角函数
一、选择题
1．sin（﹣1560°）的值是（　　）
A． B． C． D．
2．若角β的终边经过点P（a，2a）（a≠0），则cosβ等于（　　）
A．± B． C．± D．
3．已知一扇形的弧所对圆心角为54°，半径为20cm，则扇形的周长为（　　）
A．6π cm B．60cm C．（40+6π）cm D．1080cm
4．若α，β为锐角，且满足cosα，cos（α+β），则sinβ的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知sinα+cosα，则sin2α的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如果函数f（x）＝sin（2πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x＝1时取得最大值，那么（　　）
A．T＝1，θ B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝2，θ
7．函数y＝﹣3sin（2x）的单调递增区间是（　　）
A．[2kπ，2kπ]（k∈Z）
B．[2kπ，2kπ]（k∈Z）
C．[kπ，kπ]（k∈Z）
D．[kπ，kπ]（k∈Z）
8．要得到函数y＝g（x）的图象，只需先将函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象上的所有点（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
二、填空题
9．在△ABC中，tanA，tanB是方程3x2+8x﹣1＝0的两根，则tanC＝　 　 ．
10．已知，则　 　 ．
11．已知α，β为锐角且cosα，cosβ，则α+β的值等于　 　 ．
12．给出以下五个命题：
①存在实数α，使sinα且cosα；
②函数y＝sin（2x）是偶函数；
③[，]是函数y＝sin（2x）的一个单调增区间；
④若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
⑤y＝sinx和y＝cosx在第二象限都是减函数．其中正确的命题序号是 　 　 ．
三、多选题
13．下列各式中，值为的是（　　）
A．
B．tan15° cos215°
C．
D．
14．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．ω＝π
B．
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的对称中心
15．下列结论正确的是（　　）
A．是第三象限角
B．若角α为锐角，则角2α为钝角
C．若圆心角为的扇形弧长为π，则该扇形面积为
D．若角α的终边过点P（﹣3，4），则
16．将函数y＝4sinx的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f（x）的图象，下列关于y＝f（x）的说法正确的是（　　）
A．y＝f（x）的最小正周期为4π
B．由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2是π的整数倍
C．y＝f（x）的表达式可改写成f（x）的表达式可改成f（x）＝4cos（2x）
D．y＝f（x）的图像关于（，0）中心对称
四、解答题
17．已知tanθ＝2，求下列各式的值．
（1）；
（2）1﹣4sinθcosθ+2cos2θ．
18．已知f（α）
（1）化简f（a）．
（2）若α是第三象限角，且sin（π+α），求f（α）的值．
19．已知函数，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．
20．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin（x）+20，x∈[4，16]．
（Ⅰ）求该地区这一段时间内温度的最大温差；
（Ⅱ）若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
21．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最小值．
22．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
第五章三角函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．sin（﹣1560°）的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：sin（﹣1560°）＝﹣sin1560°＝﹣sin（4×360°+120°）＝﹣sin120°＝﹣sin（180°﹣60°）＝﹣sin60°．
故选：A．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2．若角β的终边经过点P（a，2a）（a≠0），则cosβ等于（　　）
A．± B． C．± D．
【答案】A
【分析】由任意角三角函数的定义，分别求出当a＞0时cosα的值和当a＜0时cosβ的值即可．
【解答】解：∵角β的终边经过点P（a，2a）（a≠0），
∴x＝a，y＝2a，r＝|OP||a|，
当a＞0时，ra，cosβ，
当a＜0时，ra，cosβ，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．已知一扇形的弧所对圆心角为54°，半径为20cm，则扇形的周长为（　　）
A．6π cm B．60cm C．（40+6π）cm D．1080cm
【答案】C
【分析】由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值，可得扇形的周长为l+2r的值．
【解答】解：由题意，扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，
则扇形的弧长l＝α rπ 20＝6π（cm），
则扇形的周长为l+2r＝6π+2×20＝（6π+40）cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查角度与弧度的互化，弧长公式的应用，属于基础题．
4．若α，β为锐角，且满足cosα，cos（α+β），则sinβ的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．
【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα，∴sinα，sin（α+β），
则sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．
5．已知sinα+cosα，则sin2α的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】条件两边平方，结合二倍角公式即可求解．
【解答】解：∵sinα+cosα，
∴（sinα+cosα）2，
∴1+2sinαcosα，
∴sin2α．
故选：B．
【点评】本题主要考查二倍角公式，属于基础题．
6．如果函数f（x）＝sin（2πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x＝1时取得最大值，那么（　　）
A．T＝1，θ B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝2，θ
【答案】A
【分析】利用函数的周期公式求出T，通过当x＝1时取得最大值求出θ判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，
可得T1；
当x＝1时取得最大值，sin（2π+θ）＝1，0＜θ＜2π，可得θ．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的周期以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．
7．函数y＝﹣3sin（2x）的单调递增区间是（　　）
A．[2kπ，2kπ]（k∈Z）
B．[2kπ，2kπ]（k∈Z）
C．[kπ，kπ]（k∈Z）
D．[kπ，kπ]（k∈Z）
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性，列出不等式，即可求解．
【解答】解：函数y＝﹣3sin（2x），
令，k∈Z，解得，k∈Z，
故函数y＝﹣3sin（2x）的单调递增区间是．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
8．要得到函数y＝g（x）的图象，只需先将函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象上的所有点（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】根据三角函数图象求得f（x）＝2sinx，，再判断函数图象的平移过程，即可得答案．
【解答】解：由题图知：f（x）＝2sinx，g（x）＝2sin（ωx+φ）且ω＞0，
对于g（x）：，故ω＝2，则g（x）＝2sin（2x+φ），
又，则，k∈Z，故，k∈Z，
由图知：是x轴正半轴上第一个零点且在增区间内，不妨令，故，
所以，y＝f（x）所有点的横坐标缩短到原来的，则y＝2sin2x，
再将y＝2sin2x右移个单位，．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题．
二、填空题
9．在△ABC中，tanA，tanB是方程3x2+8x﹣1＝0的两根，则tanC＝　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用韦达定理求得tanA+tanB和tanA tanB的值，利用两角和的正切公式求得tan（A+B）的值，再利用诱导公式求得tanC的值．
【解答】解：△ABC中，∵tanA，tanB是方程3x2+8x﹣1＝0的两根，
∴tanA+tanB，tanA tanB，
∴tan（A+B）2，
∴tanC＝﹣tan（A+B）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式、诱导公式的应用，属于基础题．
10．已知，则　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．
【解答】解已知，
所以：．
则：．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换及相关的运算．
11．已知α，β为锐角且cosα，cosβ，则α+β的值等于　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求sinα，sinβ，然后求cos（α+β）的值，根据α，β为锐角求出α+β的值．
【解答】解：α，β为锐角且cos α，cos β，所以sinα，sinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
α+β的值等于
故答案为：
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
12．给出以下五个命题：
①存在实数α，使sinα且cosα；
②函数y＝sin（2x）是偶函数；
③[，]是函数y＝sin（2x）的一个单调增区间；
④若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
⑤y＝sinx和y＝cosx在第二象限都是减函数．其中正确的命题序号是 　②⑤　 ．
【答案】②⑤．
【分析】分别对所给命题判断，可得正确结果．
【解答】解：①由同角三角函数的正余弦的平方和为1，所以不存在实数α，使sinα且cosα；
所以①不正确；
②函数y＝sin（2x）＝cos2x，定义域为R，f（﹣x）＝f（x），所以该函数是偶函数，
所以②正确；
③y＝sin（2x）＝cos2x，因为x∈[，]，所以2x∈[，]，
所以不是函数的单调递增区间，
所以③不正确；
④若α，β都是第一象限角，且α＞β，设α2π，β，则tanα，tanβ＝1，显然tanα＜tanβ，所以④不正确；
⑤y＝sinx和y＝cosx在第二象限，即x∈（2kπ，π+2kπ）k∈Z，都是减函数是正确的，即⑤正确；
故答案为：②⑤．
【点评】本题考查三角函数的诱导公式及函数的性质的应用，属于基础题．
三、多选题
13．下列各式中，值为的是（　　）
A．
B．tan15° cos215°
C．
D．
【答案】AC
【分析】直接利用三角函数关系式中倍角公式和诱导公式的变换求出结果．
【解答】解：对于A：，故A正确；
对于B：tan15° cos215°，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的倍角公式和诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．ω＝π
B．
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的对称中心
【答案】ACD
【分析】根据函数f（x）的部分图象求出T、ω和φ的值，再求函数f（x）的对称轴和对称中心．
【解答】解：根据函数f（x）的部分图象知，1，T＝2，ωπ，所以A正确；
由f（）＝cos（πφ）＝0，得φ2kπ，k∈Z；
解得φ2kπ，k∈Z；
又|φ|，所以φ，B错误；
由f（x）＝cos（πx），令πxkπ，k∈Z；
解得x＝k，k∈Z；
当k＝1时，x是函数f（x）的一条对称轴，C正确；
令πxkπ，k∈Z；
解得x＝k，k∈Z；
所以（k，0）（k∈Z）是函数f（x）的对称中心，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了逻辑推理能力，是中档题．
15．下列结论正确的是（　　）
A．是第三象限角
B．若角α为锐角，则角2α为钝角
C．若圆心角为的扇形弧长为π，则该扇形面积为
D．若角α的终边过点P（﹣3，4），则
【答案】CD
【分析】由象限角的概念判断A；举例说明B错误；由扇形弧长与面积公式判断C；由任意角的三角函数的定义判断D．
【解答】解：π，是第二象限角，故A错误；
角α为锐角，角2α为锐角，故B错误；
圆心角为的扇形弧长为π，设半径为r，则，即r＝3，
可得该扇形面积为，故C正确；
若角α的终边过点P（﹣3，4），则|OP|，得，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查扇形弧长与面积公式的应用，是基础题．
16．将函数y＝4sinx的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f（x）的图象，下列关于y＝f（x）的说法正确的是（　　）
A．y＝f（x）的最小正周期为4π
B．由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2是π的整数倍
C．y＝f（x）的表达式可改写成f（x）的表达式可改成f（x）＝4cos（2x）
D．y＝f（x）的图像关于（，0）中心对称
【答案】CD
【分析】由三角函数的平移及伸缩变换可得函数f（x）的解析式，分别对所给的命题进行判断，可得出答案．
【解答】解：由函数y＝4sinx的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，可得函数y＝f（x）＝4sin（2x），
可得函数的最小正周期Tπ，所以A不正确；
B中，f（x1）＝f（x2）＝0，可得4sin（2x）＝0，可得2xkπ，即xπ，所以x1﹣x2π，当k1，k2都是偶数或都是奇数时，x1﹣x2为π的整数倍，当k1，k2一个偶数一个奇数时，x1﹣x2不是π的整数倍，所以B不正确；
C中，f（x）＝4sin（2x）＝4cos（2x）＝4cos（2x），所以C正确；
D中，函数的对称中心满足2xkπ，k∈Z，可得x，k∈Z，显然当k＝0时，对称中心为（，0），所以D正确；
故选：CD．
【点评】本题考查函数的平移及伸缩变换，三角函数的性质的应用，属于基础题．
四、解答题
17．已知tanθ＝2，求下列各式的值．
（1）；
（2）1﹣4sinθcosθ+2cos2θ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）弦化切，代入计算，可得结论；
（2）利用原式＝sin2θ﹣4sin θcos θ+3cos2θ，代入计算，可得结论．
【解答】解：（1）原式..（4分）
（2）原式＝sin2θ﹣4sin θcos θ+3cos2θ．（4分）
【点评】本题考查三角函数值的计算，考查二倍角公式的运用，正确弦化切是关键．
18．已知f（α）
（1）化简f（a）．
（2）若α是第三象限角，且sin（π+α），求f（α）的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式化简求值；
（2）由sin（π+α），得sinα，再由α是第三象限角，利用平方关系求得f（α）的值．
【解答】解：（1）；
（2）由，得，
又已知α是第三象限角，
∴．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．
19．已知函数，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）根据的正弦、余弦之值，代入函数表达式，即可得到的值；
（II）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式，进行降次、合并整理，得，再结合函数y＝Asin（ωx+φ）+K的图象与性质，不难得到f（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵sin，cos
∴．…（4分）
（Ⅱ）∵sin2x，sinxcosx
∴．…（8分）
因为，所以．…（9分）
当，即时，f（x）的最大值为； …（11分）
当，即时，f（x）的最小值为．…（13分）
【点评】本题将一个三角函数式化简整理，求函数的周期和最值，着重考查了二倍角三角公式、辅助角公式和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
20．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin（x）+20，x∈[4，16]．
（Ⅰ）求该地区这一段时间内温度的最大温差；
（Ⅱ）若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）依题意知，x，当x，即x＝6时得到最低温度为10℃；同理可得x＝14时最高温度为30℃，从而可得该地区这一段时间内温度的最大温差；
（Ⅱ）分别令10sin（x）+20＝15与10sin（x）+20＝25，x∈[4，16]，可分别求得对应的x值，两值之差（大减小）即为答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵y＝10sin（x）+20，x∈[4，16]，
∴x，
∴当x，即x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃；
当x，即x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃；
∴最大温差为30℃﹣10℃＝20℃．
（Ⅱ）令10sin（x）+20＝15，得sin（x），而x∈[4，16]，x，
∴x，
解得：x．
令10sin（x）+20＝25，得sin（x），而x∈[4，16]，
同理可得x．
故该细菌能存活的最长时间为（小时）．
【点评】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查方程思想与综合运算求解能力，属于中档题．
21．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最小值．
【答案】（1）π；，k∈Z．
（2）0．
【分析】（1）由题意，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）的最小值．
【解答】解：（1）根据函数2（sin2xcos2x）＝2sin（2x），
可得函数f（x）的最小正周期．
由，k∈Z，得，
∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（2）∵当时，2x∈[0，]，
∴sin（2x）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x）∈[0，2]，
故f（x）的最小值为0．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
22．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝2sin（2x）；（Ⅱ）[]（k∈Z）．
【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的图象和性质的应用求出函数的关系式；
（Ⅱ）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）根据图象的性质，
所以A＝2；
，
整理得：T＝π，
故ω＝2；
当x时，f（）＝2sin（φ）＝0，
当x时，
由于|φ|＜π，
所以φ或；
故函数f（x）＝2sin（2x）或f（x）＝2sin（2x）；
当x时，f（x）＝2sin（2x）取不到最大值而是取得最小值，故舍去；
故f（x）＝2sin（2x）．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，得到y＝2sin（2x）的图象，y再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到g（x）＝2sin（）的图象，
令（k∈Z）；
整理得：（k∈Z）；
故函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的确定，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
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