第一章 集合与常用逻辑用语（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第一章 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．已知集合M＝{x|﹣3＜x≤5}，N＝{x|x＞3}，则M∪N＝（　　）
A．{x|x＞﹣3} B．{x|﹣3＜x≤5} C．{x|3＜x≤5} D．{x|x≤5}
2．下列存在量词命题是假命题的是（　　）
A．存在x∈Q，使2x﹣x3＝0
B．存在x∈R，使x2＝0
C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角
D．有的有理数没有倒数
3．“x（2x﹣1）＝0”是“x＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．若集合，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．命题“ x0∈ RQ，∈Q”的否定是（　　）
A． x0∈ RQ，∈Q B． x0∈ RQ， Q
C． x∈ RQ，x3∈Q D． x∈ RQ，x3 Q
6．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）
A．{2} B．{6} C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}
7．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2 M且，若M {0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（　　）
A．11 B．12 C．15 D．16
8．已知集合A＝{0，1，m}，B＝{x|0＜x＜2}，若A∩B＝{1，m}，则m的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，2）
C．（0，1）∪（1，2） D．（0，2）
9．定义：差集M﹣N＝{x|x∈M且x N}．现有两个集合A、B，则阴影部分表示的集合是（　　）
A．（A﹣B）∪B B．（B﹣A）∩B
C．（A﹣B）∩（B﹣A） D．（A﹣B）∪（B﹣A）
10．如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数a的取值范围是（　　）
A．1＜a＜2 B．1≤a≤2 C．a＞2或a＜1 D．a≥2或a≤1
二、填空题
11．设全集U＝R．若集合Α＝{1，2，3，4}，B＝{x|2≤x≤3}，则Α∩ UB＝　 　 ．
12．若命题p的否定是“对所有正数x，”，则命题p用符号表示为 　 　 ．
13．集合M＝{1，2，a，a2﹣3a﹣1}，N＝{﹣1，3}，若3∈M且N M，则a的取值为　 　 ．
14．已知p：﹣1＜x≤3，q：m﹣2＜x＜m+5，若q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是 　 　 ．
三、解答题
15．已知集合A＝{x|y，x∈R}与集合B＝{x|y＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]，x∈R}．
（Ⅰ）若B A，求a的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B＝ ，求a的取值范围．
16．设A＝{x|2x2+ax+2＝0}，B＝{x|x2+3x+2a＝0}，且A∩B＝{2}．
（1）求a的值及集合A，B；
（2）设全集U＝A∪B，求（ UA）∪（ UB）；
（3）写出（ UA）∪（ UB）的所有子集．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0．
（1）求出该方程有实数根的充要条件；
（2）写出该方程有实数根的一个充分不必要条件；
（3）写出该方程有实数根的一个必要不充分条件．
18．对于集合A，B，我们把集合{（a，b）|a∈A，b∈B}记作A×B．
例如：A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有
A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，
B×A＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}，
A×A＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，
B×B＝{（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}，
据此，试解答下列问题：
（1）已知C＝{m}，D＝{1，2，3}，求C×D；
（2）已知A×B＝{（1，2），（2，2）}，求集合A，B；
（3）若A中有3个元素，B中有4个元素，试确定A×B有几个元素．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合M＝{x|﹣3＜x≤5}，N＝{x|x＞3}，则M∪N＝（　　）
A．{x|x＞﹣3} B．{x|﹣3＜x≤5} C．{x|3＜x≤5} D．{x|x≤5}
【答案】A
【分析】根据集合的运算结合x的范围，求出即可．
【解答】解：集合M＝{x|﹣3＜x≤5}，N＝{x|x＞3}，
则M∪N＝{x|x＞﹣3}，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．
2．下列存在量词命题是假命题的是（　　）
A．存在x∈Q，使2x﹣x3＝0
B．存在x∈R，使x2＝0
C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角
D．有的有理数没有倒数
【答案】C
【分析】对于ABD可举例说明；对于C，推理判断即可．
【解答】解：对于A， x＝0∈Q，使2x﹣x3＝0，故A正确；
对于B， x＝0∈R，使x2＝0，故B正确；
对于C，存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角，即是直角，这是不可能的，故C错误；
对于D，有的有理数没有倒数，如0，故D正确；
综上所述，以上存在量词命题是假命题的是C，
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查存在量词命题的证据判断，属于中档题．
3．“x（2x﹣1）＝0”是“x＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由x（2x﹣1）＝0得x＝0或x，
即“x（2x﹣1）＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题．
4．若集合，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】先求出集合A，由集合B的定义求出元素即可．
【解答】解：∵集合，
∴A＝{1，2，3，4，5，6}
B＝{1，2，4}；
故选：A．
【点评】本题考查了集合的化简与集合中元素的求法，属于基础题．
5．命题“ x0∈ RQ，∈Q”的否定是（　　）
A． x0∈ RQ，∈Q B． x0∈ RQ， Q
C． x∈ RQ，x3∈Q D． x∈ RQ，x3 Q
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出该命题的否定命题即可．
【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
则命题“ x0∈ RQ，∈Q”的否定是：
“ x∈ RQ，x3 Q”．
故选：D．
【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的应用问题，是基础题．
6．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）
A．{2} B．{6} C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}
【答案】B
【分析】图中的阴影部分表示的集合为B∩（ UA），由此能求出结果．
【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，
∴图中的阴影部分表示的集合为：
B∩（ UA）＝{2，4，6}∩{5，6，7，8}＝{6}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的求法，考查交集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2 M且，若M {0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（　　）
A．11 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．
【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，
故选：A．
【点评】本题考查元素与集合关系的判断，考查了子集的概念，是基础题．
8．已知集合A＝{0，1，m}，B＝{x|0＜x＜2}，若A∩B＝{1，m}，则m的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，2）
C．（0，1）∪（1，2） D．（0，2）
【答案】C
【分析】根据集合的基本运算进行求解．
【解答】解：∵A＝{0，1，m}，
∴m≠0且m≠1，
∵A∩B＝{1，m}，
∴0＜m＜2，
综上0＜m＜2且m≠1，
故m的取值范围是（0，1）∪（1，2），
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合元素的互异性进行检验是解决本题的关键．
9．定义：差集M﹣N＝{x|x∈M且x N}．现有两个集合A、B，则阴影部分表示的集合是（　　）
A．（A﹣B）∪B B．（B﹣A）∩B
C．（A﹣B）∩（B﹣A） D．（A﹣B）∪（B﹣A）
【答案】D
【分析】根据差集的定义求解即可．
【解答】解：由差集的定义可知，阴影部分表示的集合是（A﹣B）∪（B﹣A）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了新定义问题，属于基础题．
10．如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数a的取值范围是（　　）
A．1＜a＜2 B．1≤a≤2 C．a＞2或a＜1 D．a≥2或a≤1
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：由|x﹣a|＜1得a﹣1＜x＜a+1，
∵1＜x＜2是不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件，
∴满足，且等号不能同时取得，
即，
解得1≤a≤2，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．
二、填空题
11．设全集U＝R．若集合Α＝{1，2，3，4}，B＝{x|2≤x≤3}，则Α∩ UB＝　{1，4}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出 UB＝{x|x＜2，或x＞3}，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： UB＝{x|x＜2，或x＞3}；
∴A∩ UB＝{1，4}．
故答案为：{1，4}．
【点评】考查全集、补集的概念，以及交集、补集的运算．
12．若命题p的否定是“对所有正数x，”，则命题p用符号表示为 　 x0＞0，x0+1　 ．
【答案】 x0＞0，x0+1．
【分析】根据题意，由命题否定的方法，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题p的否定是“对所有正数x，”，
则命题p为： x0＞0，x0+1，
故答案为： x0＞0，x0+1．
【点评】本题考查命题的否定，涉及命题的表示，属于基础题．
13．集合M＝{1，2，a，a2﹣3a﹣1}，N＝{﹣1，3}，若3∈M且N M，则a的取值为　4　 ．
【答案】4．
【分析】根据集合之间的关系和元素与集合的关系，分情况判断即可．
【解答】解：由3∈M，且N M，
①若a＝3，可得M＝{1，2，3，﹣1}，此时N M，不符合题意；
②若a2﹣3a﹣1＝3，则a＝4或a＝﹣1，当a＝﹣1时，此时N M，不符合题意；
当a＝4时，可得M＝{1，2，3，4}，N M，满足题意，
综上所述a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，子集关系的判断，属于基础题．
14．已知p：﹣1＜x≤3，q：m﹣2＜x＜m+5，若q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是 　（﹣2，1]　 ．
【答案】（﹣2，1]．
【分析】由q是p的必要不充分条件，可得{x|﹣1＜x≤3} {x|m﹣2＜x＜m+5}，列出不等式组求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵q是p的必要不充分条件，
∴{x|﹣1＜x≤3} {x|m﹣2＜x＜m+5}，
∴，解得﹣2＜m≤1，
即m的取值范围是（﹣2，1]．
故答案为：（﹣2，1]．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
三、解答题
15．已知集合A＝{x|y，x∈R}与集合B＝{x|y＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]，x∈R}．
（Ⅰ）若B A，求a的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B＝ ，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）首先简化集合A、B，然后结合B A分类讨论得不等式组，取三类的并集可得结果；
（Ⅱ）首先简化集合A、B，然后结合A∩B＝ 分类讨论得不等式组，取三类的并集可得结果．
【解答】解：要使函数集合y有意义，须使，
所以集合A＝{x|x＜﹣1或x≥1}．
要使函数y＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]有意义，
须使（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，即（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0，
所以集合B＝{x|（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0}．
（Ⅰ）①a＝1时，B＝ ， A；
②a＞1时，B＝{x|a+1＜x＜2a}，∴B中全是正数，
若B A，则a+1≥1，∴a≥0，∴a＞1；
③a＜1时，B＝{x|2a＜x＜a+1}，
若B A，则a+1≤﹣1或2a≥1，∴a≤﹣2或a，
∴a≤﹣2或a＜1；
综上可知：a的取值范围为（﹣∞，﹣2]或[，+∞）．
（Ⅱ）①a＝1时，B＝ ，A∩ ＝ ；
②a＞1时，B＝{x|a+1＜x＜2a}，∴B中全是正数，
若A∩B＝ ，则2a≤1，∴a，∴a∈ ；
③a＜1时，B＝{x|2a＜x＜a+1}，
若A∩B＝ ，则，∴a≤0，
综上可知：a的取值范围为[，0）∪{1}．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．
16．设A＝{x|2x2+ax+2＝0}，B＝{x|x2+3x+2a＝0}，且A∩B＝{2}．
（1）求a的值及集合A，B；
（2）设全集U＝A∪B，求（ UA）∪（ UB）；
（3）写出（ UA）∪（ UB）的所有子集．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由A与B的交集中元素为2，将x＝2代入A中的方程求出a的值，即可确定出A与B；
（2）根据A与B求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求；
（3）找出所求集合的所有子集即可．
【解答】解：（1）根据题意得：2∈A，2∈B，
将x＝2代入A中的方程得：8+2a+2＝0，即a＝﹣5，
则A＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}，B＝{x|x2+3x﹣10＝0}＝{2，﹣5}；
（2）∵全集U＝A∪B＝{2，，﹣5}，A∩B＝{2}，
∴（ UA）∪（ UB）＝ U（A∩B）＝{，﹣5}；
（3）（ UA）∪（ UB）的所有子集为 ，{}，{﹣5}，{，﹣5}．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及子集与真子集，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0．
（1）求出该方程有实数根的充要条件；
（2）写出该方程有实数根的一个充分不必要条件；
（3）写出该方程有实数根的一个必要不充分条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件，和一元二次方程和根的判别式的关系，即可得到．
【解答】解：（1）方程有实数根的充要条件是△≥0，即4﹣4m2≥0，解得﹣1≤m≤1；
（2）有实数根的一个充分不必要条件是m＝0，
（3）有实数根的一个必要不充分条件，﹣2＜m≤2
【点评】本题以含有字母参数的一元二次方程有无实数根的讨论为载体，考查了充分条件、必要条件的判断及其证明，属于基础题．
18．对于集合A，B，我们把集合{（a，b）|a∈A，b∈B}记作A×B．
例如：A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有
A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，
B×A＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}，
A×A＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，
B×B＝{（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}，
据此，试解答下列问题：
（1）已知C＝{m}，D＝{1，2，3}，求C×D；
（2）已知A×B＝{（1，2），（2，2）}，求集合A，B；
（3）若A中有3个元素，B中有4个元素，试确定A×B有几个元素．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知中集合A×B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．结合C＝{m}，D＝{1，2，3}，即可得到答案．
（2）由A×B＝{（1，2），（2，2）}，可得A中有两个元素1，2，B中有一个元素2，由此可求出集合A，B；
（3）由已知中关于集合A×B的定义，我们易得A中有a个元素，B中有b个元素时，集合A×B中共有a×b个元素，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）∵A×B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}
又∵C＝{m}，D＝{1，2，3}，
∴C×D＝{（m，1），（m，2），（m，3）}．
（2）∵A×B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}
又∵A×B＝{（1，2），（2，2）}，
所以A中有元素1，2，
B中含有元素2，
即A＝{1，2}，B＝{2}．
（3）∵A×B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}
∴A中有a个元素，B中有b个元素时，
集合A×B中共有a×b个元素，
又∵A中有3个元素，B中有4个元素，
∴A×B中含有12个元素．
【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
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