第一章 集合与常用逻辑用语（培优卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第一章 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪B＝（　　）
A．{1，3} B．{1，2，3} C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4}
2．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1，3，6}，则A∩B中的元素个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（5分）设x∈R，则“x≥2”是“|x|＞2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜4，x∈N}，B＝{x|﹣3＜x≤2，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．{x|0＜x≤2} B．{x|﹣3＜x＜4} C．{1，2} D．{0，1}
5．（5分）满足M {a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为（　　）
A．对任意x∈R，都有x3＜0 B．不存在x∈R，使得x3＜0
C．存在x∈R，使得x3≥0 D．存在x∈R，使得x3＜0
7．（5分）已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（ UB）∩A等于（　　）
A．{3} B．{0，1，2，4，7，8}
C．{1，2} D．{1，2，3}
8．（5分）已知非空集合M，P，则M P的充要条件是（　　）
A． x∈M，x P
B． x∈P，x∈M
C． x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2 P
D． x∈M，x P
二、填空题
9．（5分）用列举法表示集合M＝{m|，m∈Z}＝　 　 ．
10．（5分）已知A＝{x|x≤1或x＞3}，B＝{x|x＞2}，（ RA）∩B＝　 　 ．
11．（5分）下列不等式：
①x＜1；②0＜x＜1；③﹣1＜x＜0；④﹣1＜x＜1．
其中，可以作为|x|＜1的一个充分条件的所有序号为 　 　 ．
12．（5分）若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝{﹣1，0，，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 　 　 ．
三、解答题
13．（8分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，C＝{3，5，7，9}．
求：（1）A∪B，A∩B；
（2）（ UA）∩B；
（3）A∪（B∩C）
14．（10分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}
（Ⅰ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
15．（10分）写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）正方形都是菱形；
（2） x∈R，使4x﹣3＞x；
（3） x∈R，有x+1＝2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
16．（12分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax＝1}，“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪B＝（　　）
A．{1，3} B．{1，2，3} C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4}
【答案】C
【分析】直接根据并集定义得到答案．
【解答】解：集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，5}，
则A∪B＝{1，2，3，5}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1，3，6}，则A∩B中的元素个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由交集运算求得A∩B，则答案可求．
【解答】解：∵A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1，3，6}，
则A∩B＝{﹣1，1，3}，
∴A∩B中的元素个数为3个．
故选：B．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
3．（5分）设x∈R，则“x≥2”是“|x|＞2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由“|x|＞2”得x＞2或x＜2，
则当x＝2时，“|x|＞2”不成立，即充分性不成立，
当x＜﹣2时，x≥2也不成立，即必要性不成立，
即“x≥2”是“|x|＞2”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题．
4．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜4，x∈N}，B＝{x|﹣3＜x≤2，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．{x|0＜x≤2} B．{x|﹣3＜x＜4} C．{1，2} D．{0，1}
【答案】C
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|0＜x＜4，x∈N}＝{1，2，3}，
B＝{x|﹣3＜x≤2，x∈R}，
则A∩B＝{1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）满足M {a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】首先根据M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}可知a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素，由子集的定义即可得出答案．
【解答】解：∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}
∴a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素
∵M {a1，a2，a3，a4}
∴M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}，
故选：B．
【点评】此题考查了交集的运算，属于基础题．
6．（5分）命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为（　　）
A．对任意x∈R，都有x3＜0 B．不存在x∈R，使得x3＜0
C．存在x∈R，使得x3≥0 D．存在x∈R，使得x3＜0
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，则否定是特称命题，即存在x∈R，使得x3＜0，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，是基础题．
7．（5分）已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（ UB）∩A等于（　　）
A．{3} B．{0，1，2，4，7，8}
C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】C
【分析】由图象，先求 UB，再求（ UB）∩A
【解答】解：由题意知 UB＝{0，1，2，4，7，8}，A＝{1，2，3}
∴（ UB）∩A＝{1，2}
故选：C．
【点评】本题考查集合运算，要注意集合的元素，不要重也不要漏．属简单题
8．（5分）已知非空集合M，P，则M P的充要条件是（　　）
A． x∈M，x P
B． x∈P，x∈M
C． x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2 P
D． x∈M，x P
【答案】D
【分析】根据集合关系，判断元素关系即可．
【解答】解：若M P，则 x∈M，x∈P，
若M P，则 x∈M，x P即可，
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据集合关系转化为元素关系是解决本题的关键，是基础题．
二、填空题
9．（5分）用列举法表示集合M＝{m|，m∈Z}＝　{0，1，2，3，5，11}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以看出，m取：0，1，2，3，5，11，对应的为：12，6，4，3，2，1，从而得出集合M．
【解答】解：∵；
∴M＝{0，1，2，3，5，11}．
故答案为：{0，1，2，3，5，11}．
【点评】考查描述法、列举法的定义．
10．（5分）已知A＝{x|x≤1或x＞3}，B＝{x|x＞2}，（ RA）∩B＝　{x|2＜x≤3}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知求出 RA，然后利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x≤1或x＞3}，∴ RA＝{x|1＜x≤3}，
又B＝{x|x＞2}，
∴（ RA）∩B＝{x|2＜x≤3}．
故答案为：{x|2＜x≤3}．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．
11．（5分）下列不等式：
①x＜1；②0＜x＜1；③﹣1＜x＜0；④﹣1＜x＜1．
其中，可以作为|x|＜1的一个充分条件的所有序号为 　②③④　 ．
【答案】②③④．
【分析】首先解不等式x2＜1，得其解集A，再根据充分必要条件的含义，可得使不等式x2＜1成立的充分条件对应的x范围应该是集合A的子集就不难得到正确答案．
【解答】解：由于|x|＜1即﹣1＜x＜1，①显然不能使﹣1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
12．（5分）若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝{﹣1，0，，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可．
【解答】解：若x＝﹣1，则1，
若x＝0，则无意义，
若x＝2，则，
若x＝3，则不存在，
则{﹣1}，{2，}为伙伴关系集合，
则由它们的元素构成的集合也为伙伴关系集合，
此时{﹣1，2，}满足条件．
共有3个集合．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查集合关系的判断，利用条件确定互为伙伴关系的元素是解决本题的关键．
三、解答题
13．（8分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，C＝{3，5，7，9}．
求：（1）A∪B，A∩B；
（2）（ UA）∩B；
（3）A∪（B∩C）
【答案】（1）A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
A∩B＝{4，5}；
（2）（ UA）∩B＝{6，7，8}；
（3）A∪（B∩C）＝{1，2，3，4，5，7}．
【分析】利用交集、并集、补集的定义直接求解．
【解答】解：（1）∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，C＝{3，5，7，9}．
∴A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
A∩B＝{4，5}；
（2） UA＝{6，7，8，9，10}，
（ UA）∩B＝{6，7，8}；
（3）B∩C＝{5，7}，
A∪（B∩C）＝{1，2，3，4，5，7}．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（10分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}
（Ⅰ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）由A∪B＝A得B A，讨论B＝ 或B≠ 时，求出对应m的取值范围；
（II）当A∩B≠ 时，求出满足条件的实数m的取值范围．
【解答】解：（I）由A∪B＝A得B A，…（1分）
当B＝ 时，则有m+1＞2m+3，
解得m＜﹣2； …（3分）
当B≠ 时，则有，
解得； …（5分）
所以实数m的取值范围为（6分）
（II）【解法一】若A∩B≠ ，则有
﹣1＜m+1＜2或﹣1＜2m+3＜2，…（9分）
解得﹣2＜m＜1，…（11分）
所以实数m的取值范围为（﹣2，1）．…（12分）
【解法二】当A∩B＝ 时，则有B＝ 时，m＜﹣2；
B≠ 时，，
解得m≥1或m＝﹣2；
综上，A∩B＝ 时，m的取值范围是m≤﹣2或m≥1；
∴A∩B≠ 时，实数m的取值范围是（﹣2，1）．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．
15．（10分）写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）正方形都是菱形；
（2） x∈R，使4x﹣3＞x；
（3） x∈R，有x+1＝2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【答案】见试题解答内容
【分析】逐一写出并判断．
【解答】解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
（2）命题的否定： x∈R，有4x﹣3≤x．
因为当x＝2时，4×2﹣3＝5＞2，所以“ x∈R，有4x﹣3≤x”是假命题．
（3）命题的否定： x∈R，使x+1≠2x．
因为当x＝2时，x+1＝2+1＝3≠2×2，所以“ x∈R，使x+1≠2x”是真命题．
（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集，也不是集合A∪B的子集，是假命题．
【点评】本题考查命题真假，正确的要加以论证，错误的可举反例
16．（12分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax＝1}，“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为B A，然后根据集合关系进行求解即可．
【解答】解：A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
则B A，
若a＝0，则B＝ ，满足B A，
若a≠0，则B＝{x|ax＝1}＝{}，
若B A，
则1或2，
即a＝1或a，
综上所述，满足条件的实数a组成的集合为{0，1，}．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合集合关系进行转化是解决本题的关键．
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