第一章 集合与常用逻辑用语（拓展卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第一章 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．已知命题p为 x∈R，5x2﹣2x+2≥0，则命题p的否定为（　　）
A． x∈R，5x2﹣2x+2＜0 B． x∈R，5x2﹣2x+2≤0
C． x∈R，5x2﹣2x+2＜0 D． x∈R，5x2﹣2x+2≤0
2．已知集合，则下列集合为集合M的子集的是（　　）
A．{﹣3，0，1} B．{﹣1，0，1，2}
C．{y∈Z|﹣π＜y＜﹣1} D．
3．已知x∈R，则“”是“x＜1”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
4．已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M P N，则下列结论不正确的是（　　）
A． UN UP B． NP NM C．（ UP）∩M＝ D．（ UM）∩N＝
5．已知x∈R，则“|x|＜2”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6．集合A＝{x|4﹣|2x﹣1|∈N*}，则A的真子集个数是（　　）
A．63 B．127 C．255 D．511
7．集合的真子集的个数为（　　）
A．33 B．32 C．31 D．30
8．已知集合A＝{x1，x2}，B＝{x∈R|x2+mx+1＝0}，若A B，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
9．已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（1）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝ ；
（2）A的元素个数不是A中的元素．B的元素个数不是B中元素．则有序集合对（A，B）的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、多选题
10．设A，B是有限集合，定义：d（A，B），其中 card（A）表示有限集合A中的元素个数，则下列关系式正确的是（　　）
A．d（A，B）≥card（A∩B）
B．d（A，B）
C．d（A，B）
D．d（A，B）
三、填空题
11．若A＝{1，2，3}，B＝{x|x∈A}，用列举法表示B＝　 　 ．
12．设全集U＝R，集合A＝{x|x＝2}，则 UA＝　 　 ．
13．若“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是　 　 ．
14．设M＝{﹣1，2}，N＝{a，2}，若M＝N，则实数a＝　 　 ．
15．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是 　 　 ．
16．设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：．
①若A B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝　 　 ；
②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为　 　 ．
17．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 　 　 ．
四、解答题
18．已知A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若a＝3时，求A∩B，A∪（ RB）；
（2）若B A，求a的取值范围．
19．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜4}，C＝{x|x≥m}，全集为R．
（1）求A∩（ RB）；
（2）若（A∪B）∩C≠ ，求m的取值范围．
20．已知p： x∈R，mx2+4mx﹣4＜0为真命题．
（1）求实数m取值的集合M．
（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求a的取值范围．
21．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）若B A，求实数m的取值范围；
（2）设实数集为R，若B∩ RA中只有一个整数﹣2，求实数m的取值范围．
22．给定数集A．若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合．
（Ⅰ）判断集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明；
（Ⅱ）若集合A，B为闭集合，则A∪B是否一定为闭集合？请说明理由；
（Ⅲ）若集合A，B为闭集合，且A R，B R．证明：（A∪B） R．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知命题p为 x∈R，5x2﹣2x+2≥0，则命题p的否定为（　　）
A． x∈R，5x2﹣2x+2＜0 B． x∈R，5x2﹣2x+2≤0
C． x∈R，5x2﹣2x+2＜0 D． x∈R，5x2﹣2x+2≤0
【答案】C
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p为 x∈R，5x2﹣2x+2≥0，则命题p的否定为： x∈R，5x2﹣2x+2＜0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．已知集合，则下列集合为集合M的子集的是（　　）
A．{﹣3，0，1} B．{﹣1，0，1，2}
C．{y∈Z|﹣π＜y＜﹣1} D．
【答案】D
【分析】先用列举法表示M，然后结合集合子集定义可求．
【解答】解：因为{﹣2，﹣1，0，1}，
结合子集定义可知，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合子集的求解，属于基础题．
3．已知x∈R，则“”是“x＜1”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】利用不等式的解法解出：“”，即可判断出结论．
【解答】解：“” 0＜x＜1．
∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M P N，则下列结论不正确的是（　　）
A． UN UP B． NP NM C．（ UP）∩M＝ D．（ UM）∩N＝
【答案】D
【分析】根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有D不正确．
【解答】解：∵集合M，N，P为全集U的子集，且满足M P N，
∴作出韦恩图，如右图所示．
由韦恩图，得： UN UP，故A正确；
NP NM，故B正确；
（ UP）∩M＝ ，故C正确；
（ UM）∩N≠ ，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意韦恩图的合理运用．
5．已知x∈R，则“|x|＜2”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】先解不等式“|x|＜2”和“”，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
【解答】解：由不等式|x|＜2，即﹣2＜x＜2，
“”，即0≤x＜16，
故“|x|＜2”是“”的既不充分又不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
6．集合A＝{x|4﹣|2x﹣1|∈N*}，则A的真子集个数是（　　）
A．63 B．127 C．255 D．511
【答案】B
【分析】推导出A＝{﹣1，，0，，1，，2}，由此能求出A的真子集的个数．
【解答】解：∵4﹣|2x﹣1|∈N*，
∴x＝2，或x，或x＝1，或x，或x＝0，或x，或x＝﹣1，
∴A＝{﹣1，，0，，1，，2}，
∴A的真子集的个数是27﹣1＝127．
故选：B．
【点评】本题考查集合的非空真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集性质的合理运用．
7．集合的真子集的个数为（　　）
A．33 B．32 C．31 D．30
【答案】C
【分析】由列举法得到集合A中的元素个数，再由结论：含有n个元素的集合的真子集数共有：2n﹣1个，即得答案
【解答】解：集合{0，2，3，5，9}，
所以集合A的真子集的个数为25﹣1＝31
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的真子集数共有：2n﹣1个．
8．已知集合A＝{x1，x2}，B＝{x∈R|x2+mx+1＝0}，若A B，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【分析】根据集合A＝{x1，x2}，B＝{x∈R|x2+mx+1＝0}，A B，可知方程x2+mx+1＝0有两个不等的实数根，即方程的判别式大于0，从而可求实数m的取值范围．
【解答】解：根据集合A＝{x1，x2}，B＝{x∈R|x2+mx+1＝0}，A B，可知x2+mx+1＝0有两个不等的实数根
∴Δ＝m2﹣4＞0
∴m＞2，或m＜﹣2
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
故选：C．
【点评】本题重点考查集合的概念与运算，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是转化为方程x2+mx+1＝0有两个不等的实数根．
9．已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（1）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝ ；
（2）A的元素个数不是A中的元素．B的元素个数不是B中元素．则有序集合对（A，B）的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】结合已知分类讨论：讨论A，B中集合的元素个数分别进行求解．
【解答】解：若A中只有1个元素，则B中有3个元素，则1 A，3 B，即3∈A，1∈B，此时有1个，
若A中有2个元素，则B中有2个元素，则2 A，2 B，不符合题意；
若A中有3个元素，则B中有1个元素，则3 A，1 B，即3∈B，1∈A，此时有1对，
综上，有序集合对（A，B）的个数2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的交集及并集的应用，属于基础试题，体现了分类讨论思想的应用．
二、多选题
10．设A，B是有限集合，定义：d（A，B），其中 card（A）表示有限集合A中的元素个数，则下列关系式正确的是（　　）
A．d（A，B）≥card（A∩B）
B．d（A，B）
C．d（A，B）
D．d（A，B）
【答案】ABD
【分析】根据定义：，逐一分析四个答案的真假，可得结论．
【解答】解：∵card（A∪B）≥card（A∩B），
d（A，B）card（A∩B），
故A一定正确；
∵card（A∪B）+card（A∩B）＝card（A）+card（B），
∴，
又∵|card（A）+card（B）|≥0，
故B，D一定正确；
由基本不等式可得：，
故C不一定正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点是集合元素个数，命题的真假判断，难度中档．
三、填空题
11．若A＝{1，2，3}，B＝{x|x∈A}，用列举法表示B＝　{1，2，3}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据列举法的定义进行求解，要判断集合A与B的关系；
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x∈A}，
∴集合B中的元素都属于集合A，∴1∈B，2∈B，3∈B，
∴B＝{1，2，3}，
故答案为：{1，2，3}，
【点评】此题主要考查集合的表示方法：列举法，此题是一道基础题．
12．设全集U＝R，集合A＝{x|x＝2}，则 UA＝　（﹣∞，2）∪（2，+∞）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由全集U＝R，以及集合A，求出A的补集即可．
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x＝2}，
∴ UA＝（﹣∞，2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，2）∪（2，+∞）．
【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
13．若“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是　m＞3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可．
【解答】解：若“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，
则{x|x＞m} {x|x＞3}，
即m＞3，
即实数m的取值范围是m＞3，
故答案为：m＞3．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
14．设M＝{﹣1，2}，N＝{a，2}，若M＝N，则实数a＝　﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据集合相等的条件来求a的值即可．
【解答】解：∵M＝{﹣1，2}，N＝{a，2}，若M＝N，
∴﹣1＝a，即a＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查的知识点是集合的相等，正确理解集合相等的概念，是解答的关键．
15．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是 　（﹣∞，3]　 ．
【答案】（﹣∞，3]．
【分析】推导出B A，当B＝ 时，m+1＞2m﹣1，m＜2，当B≠ 时，，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∪B＝A，
∴B A，
当B＝ 时，m+1＞2m﹣1，m＜2，
当B≠ 时，，解得2≤m≤3，
综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．
故答案为：（﹣∞，3]．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：．
①若A B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝　0　 ；
②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为　A＝ RB　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】①由A B．由x A时，m＝0，可得m（1﹣n）．x∈A时，必有x∈B，可得m＝n＝1．
②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x B，或x∈B时，必有x A，即可得出A，B的关系．
【解答】解：①∵A B．则x A时，m＝0，m（1﹣n）＝0．
x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m（1﹣n）＝0．
综上可得：m（1﹣n）＝0．
②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x B，或x∈B时，必有x A，
∴A，B的关系为A＝ RB．
故答案为：0，A＝ RB．
【点评】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 　201　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．
【解答】解：由{a，b，c}＝{0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：
当a＝0时，b＝1、c＝2或b＝2、c＝1，此时不满足题意；
当a＝1时，b＝0、c＝2或b＝2、c＝0，此时不满足题意；
当a＝2时，b＝1、c＝0，此时不满足题意；
当a＝2时，b＝0、c＝1，此时满足题意；
综上得，a＝2、b＝0、c＝1，代入100a+10b+c＝201，
故答案为：201．
【点评】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．
四、解答题
18．已知A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若a＝3时，求A∩B，A∪（ RB）；
（2）若B A，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由集合的运算即可得解．
（2）解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，先分析满足空集的情况，再通过分类讨论的思想来解决问题．同时还要注意分类讨论结束后的总结．
【解答】解：（1）∵a＝3，
∴B＝{x|4≤x≤5}．
∴A∩B＝{x|4≤x≤5}，
∴A∪（ RB）＝R；
（2）当a+1＞2a﹣1，即a＜2时，B＝ ，满足B A，即a＜2；
当a+1＝2a﹣1，即a＝2时，B＝{3}，满足B A，即a＝2；
当a+1＜2a﹣1，即a＞2时，由B A，得，即2＜a≤3；
综上所述：a的取值范围为a≤3．
故实数a的取值范围是{a|a≤3}．
【点评】本题考查的是集合包含关系的判断及应用．解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，满足空集的条件，并能以此条件为界进行分类讨论．
19．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜4}，C＝{x|x≥m}，全集为R．
（1）求A∩（ RB）；
（2）若（A∪B）∩C≠ ，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据交集与补集，计算即可；
（2）根据并集与交集的定义，结合空集的定义，即可写出m的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜4}，
∴ RB＝{x|x＜0或x≥4}，
∴A∩（ RB）＝{x|﹣1＜x＜0}；
（2）A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}，
因为（A∪B）∩C≠ ，所以m＜4．
【点评】本题考查了集合的运算与应用问题，是基础题．
20．已知p： x∈R，mx2+4mx﹣4＜0为真命题．
（1）求实数m取值的集合M．
（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一元二次不等式的性质进行转化求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
【解答】解：（1）命题p为真命题，即不等式m{x^2}+4mx﹣4＜0在R上恒成立．当m＝0时，不等式为﹣4＜0，恒成立，所以m＝0符合题意．
当m≠0时，不等式恒成立应有．
解得﹣1＜m＜0，
综上﹣1＜m≤0，
故实数m的取值的范围是M＝（﹣1，0]，
（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件．
所以M N．
当a＞2﹣a即a＞1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N＝（2﹣a，a），
则．得a≥3；
当a＜2﹣a即a＜1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N＝（a，2﹣a}，
有：．得a≤﹣1；
当a＝2﹣a即a＝1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N＝ ，不满足条件．
综上a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键．
21．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）若B A，求实数m的取值范围；
（2）设实数集为R，若B∩ RA中只有一个整数﹣2，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（﹣∞，﹣2]∪[0，]；
（2）（，﹣1）．
【分析】（1）由B A，讨论B＝ 和B≠ 时，求出对应m的取值范围即可；
（2）由集合A求得 RA，根据B∩ RA中只有一个整数﹣2，列不等式组求得m的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，
由B A，讨论B＝ 时，有m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；
B≠ 时，有，解0≤m，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，]；
（2）由集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，∴ RA＝{x|x＜﹣1或x＞2}，
若B∩ RA中只有一个整数﹣2，则B≠ ，
且满足，
解得m＜﹣1，
∴实数m的取值范围是（，﹣1）．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了分类讨论思想与不等式的解法问题，是中档题．
22．给定数集A．若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合．
（Ⅰ）判断集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明；
（Ⅱ）若集合A，B为闭集合，则A∪B是否一定为闭集合？请说明理由；
（Ⅲ）若集合A，B为闭集合，且A R，B R．证明：（A∪B） R．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据新定义进行判断，显然4+4＝8 A，所以A不为闭集合和利用定义证明；
（Ⅱ）先依据新定义判断出结论，再根据定义说明理由；
（Ⅲ）直接证明比较困难，因此运用反证法证明．
【解答】解：（I）因为4∈A，但是4+4＝8 A，所以，A不为闭集合；
任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z，
则a+b＝3m+3n＝3（m+n）且m+n∈Z
所以a+b∈B，
同理，a﹣b∈B，故B为闭集合． （4分）
（II）结论：不一定．
令A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}，
则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A∪B，2+3＝5 A∪B，
因此，A∪B不为闭集合． （6分）
（III）证明：（反证）若A∪B＝R．则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B．
同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A．
因为a+b∈R＝A∪B，所以，a+b∈A或a+b∈B．
若a+b∈A，则由A为闭集合，a＝（a+b）﹣b∈A，与a A矛盾．
若a+b∈B，则由B为闭集合，b＝（a+b）﹣a∈B，与b B矛盾．
综上，存在c∈R，使得c （A∪B）． （10分）
【点评】本题是集合中的一道综合性问题，考查运用新定义分析问题、解决问题的能力，属于中档题目．
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