11.3 第1课时 两数和乘以这两数的差 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
11.3　乘法公式
第1课时　两数和乘以这两数的差
第11章　整式的乘除
1.掌握两数和乘以这两数的差的公式，会推导这个公式.
2.了解两数和乘以这两数的差的公式的几何背景.
3.知道两数和乘以这两数的差的公式的特征，并能运用公式进行简单的计算.
学习目标
复习回顾
复习1：在此之前，本章我们已经学习了整式乘法的哪些知识？
复习2：你还记得多项式乘多项式的运算法则吗？
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.
知识点　平方差公式
情景引入
1.观察图1，用等式表示图2中图形面积的运算：
图1
　 　　　=　　　 - .
图2
(a+b)(a-b)
a2
b2
此类用平面图形的面积验证代数恒等式的问题，关键是运用不同方法表示阴影部分的面积.
讲授新课
2.用多项式乘法法则计算：
(a+b)(a-b)=　　　　　　　　=　　　　　.
a2-ab+ab-b2
a2-b2
知识归纳
两数和与这两数差的乘法公式(平方差公式)：
(1)符号语言：(a+b)(a-b)=　　　　-　　　　.
(2)文字语言：两数和与这两数差的积，等于这两数的　　　 .
例：
a2
b2
平方差
知识归纳
平方差公式的结构特征：
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
(1)等号左边：①两个二项式的积；
②两个二项式中有相同项和互为相反数的项.
(2)等号右边：①二项式；
②相同项的平方-互为相反数的项的平方.
注意：公式中的字母既可以是单项式，又可以是多项式.
应用一　利用平方差公式进行计算
典例精析
例1.计算：
(1)(a+2)(a-2)； (2)(3a+b)(3a-b)；
(3)(-a-b)(a-b)； (4)(3x-y)(-y-3x).
解：(1)(a+2)(a-2)=a2-4.
(2)(3a+b)(3a-b)=9a2-b2.
(3)(-a-b)(a-b)=b2-a2.
(4)(3x-y)(-y-3x)=y2-9x2.
解题前应该先从整体上观察是否符合公式的结构特征，不可盲目套用公式.
典例精析
例2.计算：
(1)101×99； (2)1122-113×111.
解：(1)101×99=(100+1)×(100-1)=1002-1=9999.
(2)原式=1122-(112+1)×(112-1)=1122-(1122-1)=1122-1122+1=1.
运用平方差公式进行简便运算的关键是找出“中间数”，
“中间数”是求这两个数的平均数.例如199×201的“中间数”
是=200，所以199×201=(200-1)×(200+1).
应用二　平方差公式的几何意义
典例精析
例3.如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在下面给出的4幅拼法中，能够验证平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的有(　　)
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②④
C
应用三　利用平方差公式解决实际问题
典例精析
例4.如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的两个梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x m，下底都是y m，高都是(y-x)m.
(1)这块菜地的面积是多少平方米
(2)当x=20，y=30时，菜地的面积是多少平方米
解：(1)由题意，得菜地的面积是2×(x+y)(y-x)=(y2-x2)m2.
(2)当x=20，y=30时，y2-x2=302-202=900-400=500.
故当x=20，y=30时，菜地的面积是500 m2.
归纳小结
在运用平方差公式解决实际问题时，要认真分析题意，把实际问题转化为数学问题来解决.
D
当堂检测
1.下列算式能用平方差公式计算的是(　　)
A.(3a+b)(3b-a) B.(6x+1)(-6x-1)
C.(2x-y)(-2x+y) D.(-m+n)(-m-n)
2.下列各式，计算正确的是(　C)
A.(a＋4)(a－4)＝a2－4
B.(2a＋3)(2a－3)＝2a2－9
C.(5ab＋1)(5ab－1)＝25a2b2－1
D.(a＋2)(a－4)＝a2－8
3.(2x＋y)(2x－y)＝　 　.
4x2－y2　
C
当堂检测
4.计算：.
方法归纳交流：如果平方差等式中有一个式子排列顺序不一样，
应该把两式中　和　的式子颠倒顺序.
解：原式＝＝(4x2)2－2＝16x4－.
和　
当堂检测
5.计算：99.8×100.2.
解：原式＝(100－0.2)(100＋0.2)
＝1002－0.22
＝10000－0.04
＝9999.96.
当堂检测
6.已知x＝998，求x2＋1的值.
方法归纳交流　由题意可知，x2为　9982　.
可逆用平方差公式进行计算.
解：x2＋1
＝9982＋1
＝9982－22＋22＋1
＝(998＋2)(998－2)＋5
＝1000×996＋5＝996005.
9982　
当堂检测
7.计算：(1)(2a＋1)2－(2a－1)2；
(2)(3a－b)(9a2＋b2)(3a＋b).
解：(1)(2a＋1)2－(2a－1)2
＝[(2a＋1)＋(2a－1)][(2a＋1)－(2a－1)]＝4a×2＝8a.
(2)(3a－b)(9a2＋b2)(3a＋b)＝(3a＋b)(3a－b)(9a2＋b2)
＝(9a2－b2)(9a2＋b2)＝81a4－b4.
当堂检测
8.计算：
(1)(2m+3)(2m-3)；　(2)(-4a-1)(-4a+1)；
(3)(4+x)(-4+x)； 　(4)(2a-3b)(-3b-2a).
解：(1)原式=(2m)2-32=4m2-9.
(2)原式=(-4a)2-12=16a2-1.
(3)原式=(x)2-42=x2-16.
(4)原式=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2.
课堂小结
(a+b)(a-b)=a2-b2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，
有时也简称为平方差公式.
再见！