11.5 因式分解(2) 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
11.5　因式分解(2)
第11章　整式的乘除
认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分解因式.(重点)(难点)
学习目标
大家一起来回顾整式乘法中乘法公式：
平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b .
完全平方公式：(a+b) =a +b +2ab；
(a-b) =a +b -2ab.
回顾引入
将多项式 进行因式分解：
因式分解
整式乘法
根据因式分解与整式乘法的关系，将乘法公式反过来用，
来进行因式分解的，这种因式分解的方法称为公式法.
讲授新课
知识点一　用平方差公式分解因式
(1)公式左边：
(是一个将要被因式分解的多项式)
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成( )2－( )2的形式.
(2)公式右边：
(是因式分解的结果)
★分解的结果是两个底数的和乘两个底数的差的形式.
).
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
▲
▲
▲
归纳总结
例1.把25-16x 分解因式：
解：原式=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x).
典例精析
例2.把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2)2x3－8x.
解：(1)9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)；
(2)2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x2－22)＝2x(x＋2)(x－2).
a2
－
b2
＝
(a＋b)
(a－b).
典例精析
1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式.
2.公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3.公式中的a、b可以代表多项式，此时我们将多项式看成整体套用公式，改写平方形式时不要漏掉系数；
4.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式.
5.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
归纳总结
1.判断正误：
√
×
×
×
(1)x +y =(x+y)(x-y)；
(2)x -y =(x+y)(x-y)；
(3)-x +y =(-x+y)(-x-y)；
(4)-x -y =(x+y)(x-y).
(　　)
(　　)
(　　)
(　　)
小牛试刀
将完全平方公式倒过来看，得到：
因式分解的完全平方公式：
语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
注意：公式中的既可以是单项式，也可以是多项式.
讲授新课
知识点二　用完全平方公式分解因式
；
.
例3.因式分解：
(1)x2+14x+49； (2)(m+n)2-6(m+n)+9.
解：(1)x2＋14x＋49＝x2＋2×7x＋72＝(x＋7)2；
a2
＋
2ab
＋
b2
＝
(a+b)2.
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝(m＋n)2－2·(m＋n)·32＋32＝(m＋n－3)2.
a2
－
＋
b2
＝
(a-b)2.
2ab
典例精析
2.把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为(　　)
A.(3a－b)2 B.(3b＋a)2
C.(3b－a)2 D.(3a＋b)2
C
3.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是(　　)
A.4xy(x－y)－x3 B.－x(x－2y)2
C.x(4xy－4y2－x2) D.－x(－4xy＋4y2＋x2)
B
小牛试刀
平方差公式 完全平方公式
比较一下：会选择合适的公式进行因式分解.
1.有两项.
1.有三项.
2.两项可写成数或式的平方形式，且符号相同.
2.两项可写成数或式的平方形式，且符号相反.
3.一项是两数乘积的两倍.
讲授新课
知识点三　综合应用提公因式法和公式法分解因式
因式分解的一般步骤：
遵循“一提、二套、三检查”的原则.
归纳总结
1.如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
2.如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解(即平方差公式和完全平方公式)；
3.如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后分解；
4.因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
例4.把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；
a2
＋
2ab
＋
b2
＝
(a+b)2.
(2)－x2－4y2＋4xy＝－(x2＋4y2－4xy)
＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.
a2
－
＋
b2
＝
(a-b)2.
2ab
典例精析
1.多项式x2-4因式分解的结果是(　　)
A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2
C.(x+4)(x-4) D.x(x-4)
A
2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　)
A.-a2-b2 B.-a2+81
C.p2-(-q2) D.a2-b3
B
当堂检测
3.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A.x2＋x＋1 B.x2＋2x－1
C.x2－1 D.x2－6x＋9
D
4.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　)
A.64 B.48
C.32 D.16
A
当堂检测
5.下列因式分解中，结果正确的是(　　)
A.x2-25=(x+5)(x-5) B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3)
C.4m2-n2=(2m+n)(m-n) D.x2-4=(x-2)2
A
6.下列因式分解中，结果正确的是(　　)
A.2m -2m=2m(m -1)
B.x -4x=x(x+2)(x-2)
C.4x -16y =(2x+4y)(2x-4y)
D.8a b-2b =2b(2a+b)(2a-b)
D
当堂检测
7.若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝____.
±10
8.若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________.
x2＋x
9.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________.
1
10.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________.
±4
当堂检测
11.分解因式：
(1)x2－12x+36； (2)-x2+4xy-4y2；
(3)4(2a+b)2-4(2a+b)+1； (4)y2+2y+1－x2.
解：(1)原式=x2－2·x·6+(6)2=(x－6)2；
(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2；
(3)原式=[2(2a+b)] －2·2(2a+b)·1+(1) =(4a+2b－1)2；
(4)原式=(y+1) －x =(y+1+x)(y+1－x).
当堂检测
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)(特点).
步骤
平方差公式的特点：(1)①两项；②符号相反；③能化成平方形式.(2)升级版：系数能平方，指数要成双，减号在中央.
(1)改写成平方形式(系数也要改写)；
(2)套用公式.
课堂小结
a2±2ab+b2=(a±b)2.
特点：(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
再见！