第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
稳基础
知识点一 二元一次方程(组)的概念
1(3分)下列方程是二元一次方程的是 (B)
A.x+2y
B.x-3y=2
C.+y=0
D.x2+2y=1
2(3分)下列方程组是二元一次方程组的有(B)
① ② ③
④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点判断二元一次方程时,未将等式化成一般形式致错
3(3分·易错题)下列方程:①5x-y+3;②x-=3;③2x+3y=4+2x;④xy+y=8;⑤x2+x=2x2-(x2+y)中是二元一次方程的是 ⑤ (只填序号).
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含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组.
4(6分)判断下列方程组是否为二元一次方程组,并说明理由.
(1);(2);
(3);(4).
【解析】(1)中含有3个未知数,所以它不是二元一次方程组;
(2)中含有2个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,该方程组符合二元一次方程组的定义,故它是二元一次方程组;
(3)中一个方程含有未知数的项的最高次数是2,所以它不是二元一次方程组;
(4)中的一个方程不是整式方程,所以它不是二元一次方程组.
知识点二 二元一次方程(组)的解的概念
5(3分)若是方程x+ky=5的一组解,则k的值为 (C)
A.0 B.1
C.2 D.3
6(3分)按如图的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是 (D)
A.x=5,y=-2 B.x=3,y=-3
C.x=-4,y=2 D.x=-3,y=-9
7(3分·2025·本溪平山区质检)如果是方程组的解,那么a= -3 ;b= 10 .
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使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个解.
8(6分)如果方程组和是方程4x-y+7=0的解,求a,b的值.
【解析】把和分别代入方程4x-y+7=0得,
8-a+7=0,4b-7+7=0,
解得a=15,b=0.
巧提升
9(3分)定义运算:m☆n=mn2-n+1,例如:4☆2=4×22-2+1=15,所以方程(x+y)☆1=1的解的情况是 (B)
A.有且只有一组解 B.有无数组解
C.无解 D.有且只有两组解
10(3分·2025·丹东元宝区质检)如果表中给出的每一对x,y的值都是二元一次方程ax-by=3的解,则表中m的值为 (A)
x 0 1 2 5
y 3 1 -1 m
A.-7 B.-3 C.0 D.7
11(3分)已知是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-2 025的值为 -2 019 .
12(3分)二元一次方程4x+y=10共有 2 组正整数解.
13(8分)已知关于x,y的二元一次方程kx+y=3-k,k是不为零的常数.
(1)如果是该方程的一个解,求k的值;
(2)当k每取一个不为零的值时,都可得到一个方程,而这些方程都有一组公共的解,试求出这个公共解.
【解析】(1)把代入二元一次方程kx+y=3-k中,
得2k-3=3-k,解得k=2;
(2)原方程可化为k(x+1)+y=3,
当x+1=0时,无论k取任何一个不为零的值时,都有y=3,此时x=-1,
即这个公共解是.
培素养
14(10分·推理能力、创新意识)若关于x,y的二元一次方程变形为y=ax+b的形式(a,b是常数,a≠0),则其中一对常数a,b称为该二元一次方程的“相伴系数对”,记为(a,b).例如,二元一次方程3x-2y=1变形为y=x-,则二元一次方程3x-2y=1的“相伴系数对”为(,-).
(1)二元一次方程x+3y=0的“相伴系数对”为________ ;
(2)已知是关于x,y的二元一次方程的一个解,且该方程的“相伴系数对”为(2k,k+3),写出这个二元一次方程;
(3)关于x,y的二元一次方程(m2+n2)x-2y+2mn=0,已知该方程的“相伴系数对”之和为2,求m+n的值.
【解析】(1)因为x+3y=0,所以3y=-x,
所以y=-x,
所以二元一次方程x+3y=0的“相伴系数对”为(-,0).
答案: (-,0)
(2)因为方程的“相伴系数对”为(2k,k+3),
所以该方程为y=2kx+k+3,
因为是该方程的一个解,
所以6k+k+3=-11,
解得k=-2,
所以y=-4x+1,
即4x+y=1.
(3)将关于x,y的二元一次方程(m2+n2)x-2y+2mn=0变形为y=x+mn,
所以“相伴系数对”为(,mn),
因为该方程的“相伴系数对”之和为2,
所以+mn=2,
所以m2+n2+2mn=4,
所以(m+n)2=4,
所以m+n=±2.第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
稳基础
知识点一 二元一次方程(组)的概念
1(3分)下列方程是二元一次方程的是 ( )
A.x+2y
B.x-3y=2
C.+y=0
D.x2+2y=1
2(3分)下列方程组是二元一次方程组的有( )
① ② ③
④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点判断二元一次方程时,未将等式化成一般形式致错
3(3分·易错题)下列方程:①5x-y+3;②x-=3;③2x+3y=4+2x;④xy+y=8;⑤x2+x=2x2-(x2+y)中是二元一次方程的是 (只填序号).
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含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组.
4(6分)判断下列方程组是否为二元一次方程组,并说明理由.
(1);(2);
(3);(4).
知识点二 二元一次方程(组)的解的概念
5(3分)若是方程x+ky=5的一组解,则k的值为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
6(3分)按如图的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是 ( )
A.x=5,y=-2 B.x=3,y=-3
C.x=-4,y=2 D.x=-3,y=-9
7(3分·2025·本溪平山区质检)如果是方程组的解,那么a= ;b= .
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使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个解.
8(6分)如果方程组和是方程4x-y+7=0的解,求a,b的值.
巧提升
9(3分)定义运算:m☆n=mn2-n+1,例如:4☆2=4×22-2+1=15,所以方程(x+y)☆1=1的解的情况是 ( )
A.有且只有一组解 B.有无数组解
C.无解 D.有且只有两组解
10(3分·2025·丹东元宝区质检)如果表中给出的每一对x,y的值都是二元一次方程ax-by=3的解,则表中m的值为 ( )
x 0 1 2 5
y 3 1 -1 m
A.-7 B.-3 C.0 D.7
11(3分)已知是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-2 025的值为 .
12(3分)二元一次方程4x+y=10共有 组正整数解.
13(8分)已知关于x,y的二元一次方程kx+y=3-k,k是不为零的常数.
(1)如果是该方程的一个解,求k的值;
(2)当k每取一个不为零的值时,都可得到一个方程,而这些方程都有一组公共的解,试求出这个公共解.
培素养
14(10分·推理能力、创新意识)若关于x,y的二元一次方程变形为y=ax+b的形式(a,b是常数,a≠0),则其中一对常数a,b称为该二元一次方程的“相伴系数对”,记为(a,b).例如,二元一次方程3x-2y=1变形为y=x-,则二元一次方程3x-2y=1的“相伴系数对”为(,-).
(1)二元一次方程x+3y=0的“相伴系数对”为________ ;
(2)已知是关于x,y的二元一次方程的一个解,且该方程的“相伴系数对”为(2k,k+3),写出这个二元一次方程;
(3)关于x,y的二元一次方程(m2+n2)x-2y+2mn=0,已知该方程的“相伴系数对”之和为2,求m+n的值.
