2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入消元法
稳基础
知识点一 直接用代入消元法解二元一次方程组
1(3分)关于x,y的二元一次方程组,用代入消元法消去y后所得到的方程,正确的是 (A)
A.3x-x-5=8 B.3x+x-5=8
C.3x+x+5=8 D.3x-x+5=8
2(3分)二元一次方程组的解是(B)
A. B.
C. D.
3(3分·教材再开发·P115例1变式)方程组的解为 .
4(6分)解方程组:
(1); (2).
【解析】(1),
把②代入①得,2x+(4x-1)=2,
x=,把x=代入②得,y=1,
所以原方程组的解为.
(2),
将①代入②,得2y+2+y=8,即3y=6,
解得y=2,将y=2代入①,得x=2+1=3,
则原方程组的解为.
知识链接
将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法.
知识点二 变形后用代入消元法解二元一次方程组
5(3分)已知3x+y=4,用含x的代数式表示y可得 (C)
A.x= B.x=
C.y=-3x+4 D.y=3x+4
6(3分·2025·大连中山区质检)用代入法解方程组,下列变形中,化简较容易的是 (D)
A.由①,得x=
B.由①,得y=
C.由②,得x=
D.由②,得y=5x-9
7(3分)二元一次方程组的解是 .
易错点变形时,符号容易出错;代入另一等式时,容易忘加括号
8(3分·易错题)二元一次方程组用代入消元法消去未知数x,得到关于y的一元一次方程可以是 5(10-8y)+7y=9 .
9(6分)解方程组:
【解析】
由①得:y=2x-3③,将③代入②,
得:3x-(2x-3)=8,
解得:x=5.
将x=5代入①得:10-y=3,
所以y=7,
所以该方程组的解为
巧提升
10(3分)数学老师设计了一个解方程组的接力游戏,学习小组4名同学每人完成一步.如图,这是4个人合作完成解方程组的过程,合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是 (B)
A.甲、乙、丙 B.甲、乙、丁
C.甲、丙、丁 D.乙、丙、丁
11(3分)已知方程组与有相同的解,则a,b的值为 (D)
A. B. C. D.
12(3分·2025·大连西岗区质检)若2(x-1)2+|x+2y+1|=0,则x2 024y的值是 - .
13(3分)如果方程组的解也是方程3x+my-8=0的一个解,则m的值为 2 .
14(6分)小鑫、小童两人同时解方程组时,小鑫看错了方程②中的a,解得,小童看错了①中的b,解得.
(1)求正确的a,b的值;
(2)求原方程组的正确解.
【解析】(1)根据题意,可得,
整理得,
解得;
(2)将a,b代入原方程组,得,
由②可得y=2x-17③,
将③代入①,可得x-3(2x-17)=1,
解得x=10,
把x=10代入③,解得y=3.
故原方程组的正确解是.
培素养
15(9分·推理能力、创新意识)阅读与思考:如果一对数m,n,满足+=,我们称这一对数m,n为“相随数对”,记为(m,n).
(1)若(2,n)是“相随数对”,则n=_____;
(2)若(m,n)是“相随数对”,
①用含n的代数式表示m;
②若25m+n=6,求m,n的值.
【解析】(1)因为(2,n)是“相随数对”,
所以+=,解得n=-,
答案:-
(2)①因为(m,n)是“相随数对”,所以+=,所以35m+14n=10(m+n),解得m=-n;
②因为25m+n=6,m=-n,
所以-4n+n=6,解得n=-2,所以m=-n=,
所以m的值为,n的值为-2.第2课时 加减消元法
稳基础
知识点一 直接用加减消元法解二元一次方程组
1(3分)用加减消元法解方程组,由②-①消去未知数y,所得到的一元一次方程是 (A)
A.2x=9 B.2x=3 C.4x=9 D.4x=3
2(3分·教材再开发·P118随堂练习T1变式)二元一次方程组的解是 (B)
A. B. C. D.
3(3分·2025·阜新太平区质检)若+|2x-y+3|=0,则x-2y的值为 -3 .
知识链接
通过两式相加(或相减)消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法.
4(6分·2024·广西中考)解方程组:
【解析】,
①+②,得2x=4,解得x=2,
①-②,得4y=2,解得y=,
所以方程组的解为.
知识点二 变形后用加减消元法解二元一次方程组
5(3分)用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是(D)
A.①×2-② B.②×(-3)-①
C.①×(-2)+② D.①-②×3
6(3分·2025·营口西市区质检)利用加减消元法解方程组,下列做法错误的是 (D)
A.要消去x,①×2-②
B.要消去x,①-②×
C.要消去y,①+②×3
D.要消去y,①-②×3
易错点两式相减时,容易出现符号错误
7(3分·易错题)用加减消元法解得方程组的解为 .
8(6分·2024·浙江中考)解方程组:
.
【解析】,
①×3+②得:10x=5,解得x=,
把x=代入①得:2×-y=5,解得y=-4,
所以方程组的解是.
巧提升
9(3分)若方程mx+ny=6的两个解是则m,n的值为 (A)
A.4,2 B.2,4
C.-4,-2 D.-2,-4
10(3分·2025·锦州凌河区质检)若(3x-2y-6)2+=0,则2y-x-7的值为 -3 .
11(3分·2024·宿迁中考)若关于x,y的二元一次方程组的解是,则关于x,y的方程组的解是 .
12(3分)已知关于x,y的方程的解满足x+y=-3,则a的值为 5 .
13(3分)甲、乙两人都解方程组,甲看错a解得,乙看错b解得,则方程组正确的解是 .
14(6分)在等式y=kx+b中,当x=4时,y=-20;当x=-2时,y=16.
(1)求k,b的值;
(2)当y=-8时,求x的值.
【解析】(1)把x=4时,y=-20;x=-2时,y=16代入y=kx+b中可得,
解得;
(2)由(1)可知y=-6x+4,
当y=-8时,-8=-6x+4,
解得x=2.
培素养
15(9分·推理能力、模型观念)三个同学对问题“若方程组的解是,求方程组的解”提出各自的想法.甲说:“这个题目好像条件不够,不能求解.”乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试.”丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替代的方法来解决.”参考他们的讨论,请你解答这个题目.
【解析】所求方程组可变形为
,两方程相加得
(a1+a2)x+(b1+b2)y=c1+c2,①
根据第一组方程的解可得,两方程相加得8(a1+a2)+9(b1+b2)=c1+c2,②
由①②得,解得.
所以原方程组的解为.2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入消元法
稳基础
知识点一 直接用代入消元法解二元一次方程组
1(3分)关于x,y的二元一次方程组,用代入消元法消去y后所得到的方程,正确的是 ( )
A.3x-x-5=8 B.3x+x-5=8
C.3x+x+5=8 D.3x-x+5=8
2(3分)二元一次方程组的解是( )
A. B.
C. D.
3(3分·教材再开发·P115例1变式)方程组的解为 .
4(6分)解方程组:
(1); (2).
知识链接
将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法.
知识点二 变形后用代入消元法解二元一次方程组
5(3分)已知3x+y=4,用含x的代数式表示y可得 ( )
A.x= B.x=
C.y=-3x+4 D.y=3x+4
6(3分·2025·大连中山区质检)用代入法解方程组,下列变形中,化简较容易的是 ( )
A.由①,得x=
B.由①,得y=
C.由②,得x=
D.由②,得y=5x-9
7(3分)二元一次方程组的解是 .
易错点变形时,符号容易出错;代入另一等式时,容易忘加括号
8(3分·易错题)二元一次方程组用代入消元法消去未知数x,得到关于y的一元一次方程可以是 .
9(6分)解方程组:
巧提升
10(3分)数学老师设计了一个解方程组的接力游戏,学习小组4名同学每人完成一步.如图,这是4个人合作完成解方程组的过程,合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是 ( )
A.甲、乙、丙 B.甲、乙、丁
C.甲、丙、丁 D.乙、丙、丁
11(3分)已知方程组与有相同的解,则a,b的值为 ( )
A. B. C. D.
12(3分·2025·大连西岗区质检)若2(x-1)2+|x+2y+1|=0,则x2 024y的值是 .
13(3分)如果方程组的解也是方程3x+my-8=0的一个解,则m的值为 .
14(6分)小鑫、小童两人同时解方程组时,小鑫看错了方程②中的a,解得,小童看错了①中的b,解得.
(1)求正确的a,b的值;
(2)求原方程组的正确解.
培素养
15(9分·推理能力、创新意识)阅读与思考:如果一对数m,n,满足+=,我们称这一对数m,n为“相随数对”,记为(m,n).
(1)若(2,n)是“相随数对”,则n=_____;
(2)若(m,n)是“相随数对”,
①用含n的代数式表示m;
②若25m+n=6,求m,n的值.第2课时 加减消元法
稳基础
知识点一 直接用加减消元法解二元一次方程组
1(3分)用加减消元法解方程组,由②-①消去未知数y,所得到的一元一次方程是 ( )
A.2x=9 B.2x=3 C.4x=9 D.4x=3
2(3分·教材再开发·P118随堂练习T1变式)二元一次方程组的解是 ( )
A. B. C. D.
3(3分·2025·阜新太平区质检)若+|2x-y+3|=0,则x-2y的值为 .
知识链接
通过两式相加(或相减)消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法.
4(6分·2024·广西中考)解方程组:
知识点二 变形后用加减消元法解二元一次方程组
5(3分)用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是( )
A.①×2-② B.②×(-3)-①
C.①×(-2)+② D.①-②×3
6(3分·2025·营口西市区质检)利用加减消元法解方程组,下列做法错误的是 ( )
A.要消去x,①×2-②
B.要消去x,①-②×
C.要消去y,①+②×3
D.要消去y,①-②×3
易错点两式相减时,容易出现符号错误
7(3分·易错题)用加减消元法解得方程组的解为 .
8(6分·2024·浙江中考)解方程组:
.
巧提升
9(3分)若方程mx+ny=6的两个解是则m,n的值为 ( )
A.4,2 B.2,4
C.-4,-2 D.-2,-4
10(3分·2025·锦州凌河区质检)若(3x-2y-6)2+=0,则2y-x-7的值为 .
11(3分·2024·宿迁中考)若关于x,y的二元一次方程组的解是,则关于x,y的方程组的解是 .
12(3分)已知关于x,y的方程的解满足x+y=-3,则a的值为 .
13(3分)甲、乙两人都解方程组,甲看错a解得,乙看错b解得,则方程组正确的解是 .
14(6分)在等式y=kx+b中,当x=4时,y=-20;当x=-2时,y=16.
(1)求k,b的值;
(2)当y=-8时,求x的值.
培素养
15(9分·推理能力、模型观念)三个同学对问题“若方程组的解是,求方程组的解”提出各自的想法.甲说:“这个题目好像条件不够,不能求解.”乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试.”丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替代的方法来解决.”参考他们的讨论,请你解答这个题目.
