第2课时 平行线的性质
稳基础
知识点一 平行线的性质
1(3分)已知,如图,AB∥CD,∠A=70°,则∠ACD=(B)
A.55° B.70° C.40° D.110°
2(3分·2025·鞍山铁西区模拟)如图所示,AB∥CD,BF交CD于点E,AE⊥BF,∠CEF=34°,则∠A的度数是(C)
A.34° B.66° C.56° D.46°
3(3分·教材再开发·P192例变式)如图,∠B=∠C,∠C+∠COF=180°,则图中平行的直线有 AB∥CD∥EF .
4(3分·2025·沈阳大东区模拟)如图所示,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=50°,则∠CDB的度数是 80° .
5(8分)如图,直线AB,CD被两条直线所截,已知∠1+∠2=180°.求证:∠3=∠4.
【证明】∵∠1+∠2=180°,∠1=∠BAC,
∴∠BAC+∠2=180°,
∴AB∥CD,
∴∠3=∠4.
知识链接
两直线平行,内错角相等;
∵a∥b,∴∠1=∠2.
两直线平行,同位角相等;
∵a∥b,∴∠1=∠3.
两直线平行,同旁内角互补.
∵a∥b,∴∠1+∠4=180°.
知识点二 平行线性质的综合应用
6(3分)把一副三角板放在水平桌面上,摆放成如图所示形状,若DE∥AB,则∠1的度数为(A)
A.105° B.115° C.120° D.135°
7(3分)如图,含有30°角的直角三角板的两个顶点E,F放在一个长方形的对边上,点E为直角顶点,∠EFG=30°,延长EG交CD于点P,如果∠1=65°,那么∠2的度数是 115° .
8(10分)填写下列证明过程及推理依据.
已知:如图所示,AC,BD交于点O,DF平分∠CDO与AC相交于点F,BE平分∠ABO与AC相交于点E,∠A=∠C.
求证:∠CDF=∠ABE.
证明:∵∠A=∠C(已知),
∴AB∥CD( 内错角相等,两直线平行 ),
∴∠ABO=∠CDO( 两直线平行,内错角相等 ),
∵DF平分∠CDO,BE平分∠ABO(已知),
∴∠CDF= ∠CDO ,∠ABE= ∠ABO (角平分线定义).
∴∠CDF=∠ABE( 等量代换 ).
巧提升
9(3分·2025·本溪明山区模拟)如图,∠1=∠2=∠4,则下列结论不一定成立的是(D)
A.∠3=∠5 B.∠4=∠6
C.AD∥BC D.AB∥CD
易错点找错同位角、内错角、同旁内角致错
10(3分·易错题)如图,GA∥FD,一副三角板如图摆放,∠EDF=60°,∠BAC=45°,若BC∥DE,下列结论:①EF∥AB;②∠GAB=30°;③EC平分∠FED;④∠AED=135°.
其中正确的个数是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
11(3分)如图,BC∥DE,∠E+∠B=180°,则AB和EG的位置关系为 AB∥EG .
12(3分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,适当的长度为半径画弧分别交BA,BC边于点P,Q,再分别以点P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径画弧,两弧交于点M,连接BM交AC于点E,过点E作ED∥BC交AB于点D,若AB=7,AE=3,则△ADE的周长为 10 .
培素养
13(12分·推理能力、创新意识)(1)【感知】如图①,若AB∥CD,AM平分∠BAC,求证:∠CAM=∠CMA.
请将下列证明过程补充完整:
证明:∵AM平分∠BAC,(已知),
∴∠CAM=________(角平分线的定义).
∵AB∥CD(已知),
∴∠CMA=________(两直线平行,内错角相等).
∴∠CAM=∠CMA(等量代换).
(2)【探索】如图②,AM平分∠BAC,∠CAM=∠CMA,点E在射线AB上,点F在线段CM上,若∠AEF=∠C,求证:EF∥AC.
(3)【拓展】如图③,将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上,其他条件不变,若∠CAM=3∠MEF=57°,请直接写出∠AME的度数.
【解析】(1)∵AM平分∠BAC(已知),
∴∠CAM=∠BAM(角平分线的定义).
∵AB∥CD(已知),
∴∠CMA=∠BAM(两直线平行,内错角相等).
∴∠CAM=∠CMA(等量代换).
答案:∠BAM ∠BAM
(2)∵AM平分∠BAC,
∴∠CAM=∠BAM.
又∠CAM=∠CMA,
∴∠CMA=∠BAM.
∴AB∥CD.
∴∠AEF=∠EFD.
又∠AEF=∠C,
∴∠EFD=∠C.
∴EF∥AC.
(3)由(2)知EF∥AC,过M作MG∥AC(图略),
∴EF∥MG.
∴∠GME=∠FEM.
又MG∥AC,
∴∠CAM=∠AMG.
∴∠CAM+∠FEM=∠GME+∠AMG=∠AME.
∵∠CAM=3∠MEF=57°,
∴∠MEF=19°.
∴∠AME=∠CAM+∠FEM=57°+19°=76°.第2课时 平行线的性质
稳基础
知识点一 平行线的性质
1(3分)已知,如图,AB∥CD,∠A=70°,则∠ACD=( )
A.55° B.70° C.40° D.110°
2(3分·2025·鞍山铁西区模拟)如图所示,AB∥CD,BF交CD于点E,AE⊥BF,∠CEF=34°,则∠A的度数是( )
A.34° B.66° C.56° D.46°
3(3分·教材再开发·P192例变式)如图,∠B=∠C,∠C+∠COF=180°,则图中平行的直线有 .
4(3分·2025·沈阳大东区模拟)如图所示,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=50°,则∠CDB的度数是 .
5(8分)如图,直线AB,CD被两条直线所截,已知∠1+∠2=180°.求证:∠3=∠4.
知识链接
两直线平行,内错角相等;
∵a∥b,∴∠1=∠2.
两直线平行,同位角相等;
∵a∥b,∴∠1=∠3.
两直线平行,同旁内角互补.
∵a∥b,∴∠1+∠4=180°.
知识点二 平行线性质的综合应用
6(3分)把一副三角板放在水平桌面上,摆放成如图所示形状,若DE∥AB,则∠1的度数为( )
A.105° B.115° C.120° D.135°
7(3分)如图,含有30°角的直角三角板的两个顶点E,F放在一个长方形的对边上,点E为直角顶点,∠EFG=30°,延长EG交CD于点P,如果∠1=65°,那么∠2的度数是 .
8(10分)填写下列证明过程及推理依据.
已知:如图所示,AC,BD交于点O,DF平分∠CDO与AC相交于点F,BE平分∠ABO与AC相交于点E,∠A=∠C.
求证:∠CDF=∠ABE.
证明:∵∠A=∠C(已知),
∴AB∥CD( ),
∴∠ABO=∠CDO( ),
∵DF平分∠CDO,BE平分∠ABO(已知),
∴∠CDF= ,∠ABE= (角平分线定义).
∴∠CDF=∠ABE( ).
巧提升
9(3分·2025·本溪明山区模拟)如图,∠1=∠2=∠4,则下列结论不一定成立的是( )
A.∠3=∠5 B.∠4=∠6
C.AD∥BC D.AB∥CD
易错点找错同位角、内错角、同旁内角致错
10(3分·易错题)如图,GA∥FD,一副三角板如图摆放,∠EDF=60°,∠BAC=45°,若BC∥DE,下列结论:①EF∥AB;②∠GAB=30°;③EC平分∠FED;④∠AED=135°.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11(3分)如图,BC∥DE,∠E+∠B=180°,则AB和EG的位置关系为 .
12(3分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,适当的长度为半径画弧分别交BA,BC边于点P,Q,再分别以点P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径画弧,两弧交于点M,连接BM交AC于点E,过点E作ED∥BC交AB于点D,若AB=7,AE=3,则△ADE的周长为 .
培素养
13(12分·推理能力、创新意识)(1)【感知】如图①,若AB∥CD,AM平分∠BAC,求证:∠CAM=∠CMA.
请将下列证明过程补充完整:
证明:∵AM平分∠BAC,(已知),
∴∠CAM=________(角平分线的定义).
∵AB∥CD(已知),
∴∠CMA=________(两直线平行,内错角相等).
∴∠CAM=∠CMA(等量代换).
(2)【探索】如图②,AM平分∠BAC,∠CAM=∠CMA,点E在射线AB上,点F在线段CM上,若∠AEF=∠C,求证:EF∥AC.
(3)【拓展】如图③,将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上,其他条件不变,若∠CAM=3∠MEF=57°,请直接写出∠AME的度数.3 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
稳基础
知识点一 平行线的判定
1(3分·新趋势·过程性学习·2025·营口西市区模拟)老师在黑板上画出如图所示的图形,要求添加一个条件使得m∥n,以下四位同学的答案不正确的是(D)
A.小舍:∠2=∠5
B.小年:∠2+∠6=180°
C.小达:∠1=∠6
D.小吉:∠4+∠5=180°
知识链接
内错角相等,两直线平行;
∵∠1=∠2,∴a∥b.
同旁内角互补,两直线平行;
∵∠1+∠3=180°,∴a∥b.
同位角相等,两直线平行.
∵∠1=∠4,∴a∥b.
2(3分·教材再开发·P190随堂练习T1变式)如图,已知∠B=∠D,要使BE∥DF,还需添加一个条件,你想添加的条件是 ∠B=∠COE(答案不唯一) .
3(6分)如图,D是AB边上一点,DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE,求证:FC∥AB.
【证明】在△ADE和△CFE中,
∵∠AED=∠CEF,DE=FE,AE=CE,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴∠A=∠FCE,
∴FC∥AB.
知识点二 平行线判定的综合应用
4(3分)如图,已知∠1=40°,∠C=130°,且AF⊥AB,则下列关系式中不正确的是(D)
A.AF⊥CD B.AB∥CD
C.∠2+∠C=180° D.∠1+∠2=∠C
5(3分)如图,O是直线AB上一点,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,添加一个条件,仍不能判定AB∥CD,添加的条件可能是(C)
A.∠BOE=55°
B.∠DOF=35°
C.∠BOE+∠AOF=90°
D.∠AOF=35°
6(9分)如图,点E,F分别在AB,CD上,AF⊥CE于点O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°,求证:AB∥CD.请填空.
证明:∵AF⊥CE(已知),
∴∠AOE=90°( 垂直的定义 ).
又∵∠1=∠B( 已知 ),
∴ CE∥BF ( 同位角相等,两直线平行 ),
∴∠AFB=∠AOE( 两直线平行,同位角相等 ),
∴∠AFB=90°( 等量代换 ).
又∵∠AFC+∠AFB+∠2= 180° (平角的定义),
∴∠AFC+∠2=( 90 )°.
又∵∠A+∠2=90°(已知),
∴∠A=∠AFC( 同角的余角相等 ),
∴ AB∥CD (内错角相等,两直线平行).
巧提升
7(3分)如图,下列条件中,不能判定AB∥DF的是(D)
A.∠A=∠3 B.∠A+∠2=180°
C.∠1=∠4 D.∠A=∠1
8(3分·2025·阜新太平区模拟)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的图形为(B)
9(3分)如图是一款教室的日光灯管AB,用两根线AC,BD吊在天花板EF上,为了保护眼睛,使空间内光线更匀称,不易反光,需使灯管AB与天花板EF平行,已知∠ACD=90°,请你添加一个条件: ∠BAC=90°(答案不唯一) ,使灯管与天花板平行.
10(3分·2025·辽阳文圣区模拟)如图①是公园的一个健身器材,如图②是该器材的正面示意图,若该器材的标准为AB∥CD,则在以下三组数据中:①∠ABC=100°,∠BCD=80°;②∠ABC=∠BAD=100°;③∠BAD=100°,∠ADC=80°.满足要求的是 ①③ .(请填写序号)
11(8分)完成下面的证明.
如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:AB∥CD.
完成推理过程:
BE平分∠ABD(已知),
∴∠ABD=2∠α( 角平分线的定义 ).
∵DE平分∠BDC(已知),
∴∠BDC=2∠β( 角平分线的定义 ),
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)( 等量代换 ),
∵∠α+∠β=90°(已知),
∴∠ABD+∠BDC=180°( 等量代换 ).
∴AB∥CD( 同旁内角互补,两直线平行 ).
培素养
12(13分·推理能力、创新意识)如图1,点A(a,6)在第一象限,点B(0,b)在y轴负半轴上,且a,b满足:(a-2)2+|b+4|=0.
(1)求△AOB的面积.
(2)若线段AB与x轴相交于点C,在点C的右侧x轴上是否存在点D,使S△ACD=S△BOC 若存在,求出D点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,若∠AOx=60°,射线OA绕O点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA',射线OB绕B点以每秒10°的速度顺时针旋转到O'B,当OB转动一周时两者都停止运动.若两射线同时开始运动,在旋转过程中,经过多长时间,OA'∥O'B
【解析】(1)∵(a-2)2+|b+4|=0.
∴a-2=0,b+4=0,
解得a=2,b=-4,
∴A(2,6),B(0,-4),
△AOB的面积为×4×2=4;
(2)存在.设直线AB的关系式为y=mx+n,
∵直线过A(2,6),B(0,-4)两点,
∴,
解得,
∴直线AB的关系式为y=x-4,
当y=0时,x=,
∴C(,0),
设D(t,0),
∵S△ACD=S△BOC,
∴×6×(t-)=×4×,
解得t=,
∴D点坐标为(,0);
(3)设x秒后OA'∥O'B,由题意得:
①当∠1=∠2时,(90-60)+4x=10x,
解得x=5;
②当∠3=∠4时,180-(30+4x)=360-10x,
解得x=35.
答:在旋转过程中,经过5或35秒,OA'∥O'B.
.3 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
稳基础
知识点一 平行线的判定
1(3分·新趋势·过程性学习·2025·营口西市区模拟)老师在黑板上画出如图所示的图形,要求添加一个条件使得m∥n,以下四位同学的答案不正确的是( )
A.小舍:∠2=∠5
B.小年:∠2+∠6=180°
C.小达:∠1=∠6
D.小吉:∠4+∠5=180°
知识链接
内错角相等,两直线平行;
∵∠1=∠2,∴a∥b.
同旁内角互补,两直线平行;
∵∠1+∠3=180°,∴a∥b.
同位角相等,两直线平行.
∵∠1=∠4,∴a∥b.
2(3分·教材再开发·P190随堂练习T1变式)如图,已知∠B=∠D,要使BE∥DF,还需添加一个条件,你想添加的条件是 .
3(6分)如图,D是AB边上一点,DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE,求证:FC∥AB.
知识点二 平行线判定的综合应用
4(3分)如图,已知∠1=40°,∠C=130°,且AF⊥AB,则下列关系式中不正确的是( )
A.AF⊥CD B.AB∥CD
C.∠2+∠C=180° D.∠1+∠2=∠C
5(3分)如图,O是直线AB上一点,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,添加一个条件,仍不能判定AB∥CD,添加的条件可能是( )
A.∠BOE=55°
B.∠DOF=35°
C.∠BOE+∠AOF=90°
D.∠AOF=35°
6(9分)如图,点E,F分别在AB,CD上,AF⊥CE于点O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°,求证:AB∥CD.请填空.
证明:∵AF⊥CE(已知),
∴∠AOE=90°( ).
又∵∠1=∠B( ),
∴ ( ),
∴∠AFB=∠AOE( ),
∴∠AFB=90°( ).
又∵∠AFC+∠AFB+∠2= (平角的定义),
∴∠AFC+∠2=( )°.
又∵∠A+∠2=90°(已知),
∴∠A=∠AFC( ),
∴ (内错角相等,两直线平行).
巧提升
7(3分)如图,下列条件中,不能判定AB∥DF的是( )
A.∠A=∠3 B.∠A+∠2=180°
C.∠1=∠4 D.∠A=∠1
8(3分·2025·阜新太平区模拟)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的图形为( )
9(3分)如图是一款教室的日光灯管AB,用两根线AC,BD吊在天花板EF上,为了保护眼睛,使空间内光线更匀称,不易反光,需使灯管AB与天花板EF平行,已知∠ACD=90°,请你添加一个条件: ,使灯管与天花板平行.
10(3分·2025·辽阳文圣区模拟)如图①是公园的一个健身器材,如图②是该器材的正面示意图,若该器材的标准为AB∥CD,则在以下三组数据中:①∠ABC=100°,∠BCD=80°;②∠ABC=∠BAD=100°;③∠BAD=100°,∠ADC=80°.满足要求的是 .(请填写序号)
11(8分)完成下面的证明.
如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:AB∥CD.
完成推理过程:
BE平分∠ABD(已知),
∴∠ABD=2∠α( ).
∵DE平分∠BDC(已知),
∴∠BDC=2∠β( ),
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)( ),
∵∠α+∠β=90°(已知),
∴∠ABD+∠BDC=180°( ).
∴AB∥CD( ).
培素养
12(13分·推理能力、创新意识)如图1,点A(a,6)在第一象限,点B(0,b)在y轴负半轴上,且a,b满足:(a-2)2+|b+4|=0.
(1)求△AOB的面积.
(2)若线段AB与x轴相交于点C,在点C的右侧x轴上是否存在点D,使S△ACD=S△BOC 若存在,求出D点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,若∠AOx=60°,射线OA绕O点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA',射线OB绕B点以每秒10°的速度顺时针旋转到O'B,当OB转动一周时两者都停止运动.若两射线同时开始运动,在旋转过程中,经过多长时间,OA'∥O'B
