13.2 与三角形有关的线段（2课时） 教案 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

13.2　与三角形有关的线段
13.2　与三角形有关的线段（第1课时）
1．知道三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成一个三角形，并能解决实际问题．
2．了解三角形的稳定性，培养应用意识．
知识回顾
1．三角形的相关概念：
组成三角形的 线段 叫作三角形的边．
相邻两边的公共顶点叫作三角形的顶点．
相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角．
例如：如图，线段AB，BC，CA是三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角．
2．三角形的表示方法：
顶点是A，B，C的三角形，记作“_△ABC_”，读作“_三角形ABC_”．
3．三角形按边的相等关系分类：
新课导入
一、探究学习
【问题】任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？
【师生活动】教师展示问题，师生共同完成．
【答案】有两条线路可以选择：
一条线路是由点B到点C；另一条线路是由点B先到点A再到点C．由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的路线长，即BA＋AC＞BC．
【设计意图】通过问题，引出三角形三边关系的新知．
【问题】观察下列动图，试着说出你的发现．
（1）
（2）
【答案】（1）AB＋AC＞BC，即三角形两边的和大于第三边．
（2）AC＞BC－AB，即三角形两边的差小于第三边．
【问题】试着证明你所得到的猜想．
【师生活动】学生独立思考后讨论交流，并尝试阐述．
【新知】对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”可得
AB＋AC＞BC， ①
同理有AC＋BC＞AB， ②
AB＋BC＞AC． ③
即三角形两边的和大于第三边．
由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB．
即三角形两边的差小于第三边．
【设计意图】首先让学生观看动画提出猜想，然后教师带领学生共同完成猜想的验证．
【问题】在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图，屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？
【师生活动】学生独立思考后讨论交流，并尝试阐述．
【新知】如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形.
三角形的稳定性有着广泛性的应用，如图．
【设计意图】体会三角形的稳定性在生活中的应用，提高学习兴趣．
二、典例精讲
【例】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？
【师生活动】学生独立完成，教师巡视．在第（2）小题中引导学生认真审题：“有一边的长”并没有指明这一边是底还是腰，所以要分情况讨论．
【答案】解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则x＋2x＋2x＝18．
解得x＝3.6．
所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．
（2）如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则4＋2x＝18，解得x＝7．
如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则4×2＋y＝18，解得y＝10．
因为4＋4＜10，不符合“三角形两边之和大于第三边”，所以不能围成腰长为4 cm的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形．
【归纳】解决等腰三角形问题的关键：
一分清：分清已知的等腰三角形两边是三角形的腰还是底；
二分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论；
三验证：解题时一定要检验求得的边长是否满足三角形的三边关系．
【设计意图】通过第（1）小题让学生学会根据条件列方程解决问题，并通过“三角形两边之和大于第三边”来判断所得的结果是否合理．通过第（2）小题让学生在解决等腰三角形相关问题时，要注意分情况讨论．
课堂小结
13．2　与三角形有关的线段（第2课时）
1．掌握三角形中高、中线、角平分线以及重心的概念．
2．能画出给定的三角形的高、中线与角平分线．
1．了解三角形的高、中线与角平分线以及重心的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．
2．了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点．
钝角三角形高的画法．
　　三角形的木板、教学课件．
知识回顾
1．三角形的三边关系：
（1） 三角形两边的和大于第三边 ．
（2） 三角形两边的差小于第三边 ．
2．三角形具有 稳定性 ．
新知探究
一、探究学习
【新知】三角形的中线
如图，连接△ABC的 顶点 A和它所对的边BC的 中点 D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线．
【问题】用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？
【师生活动】学生画图并相互交流．
【答案】如图，线段BE，CF即为所求．
【问题】你能画出直角三角形和钝角三角形的三条中线吗？试着说出你的发现．
【答案】
【新知】一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
【设计意图】动手实践中获得直观感受，激发学生的学习热情，让学生对三角形的重心有更加深刻的认识．
【新知】三角形的角平分线
如图，画△ABC的∠A的 平分线 AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线．
【问题】用同样方法，你能画出△ABC的另两个角的角平分线吗？
【师生活动】学生画图并相互交流．
【答案】如图，线段BE，CF即为所求．
【问题】你能画出直角三角形和钝角三角形的三条角平分线吗？试着说出你的发现．
【答案】
　　
【新知】三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部．
【设计意图】从动手实践中获得直观感受，引导学生模拟知识发生、发展的过程，这种体验有利于学生学会学习．
【新知】三角形的高
　　如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画 垂线 ， 垂足 为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线．
【问题】用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
【师生活动】学生动手操作，然后汇报结果．
【答案】如图，线段BE，CF即为所求．
【问题】你能画出直角三角形和钝角三角形的三条高吗？试着说出你的发现．
【师生活动】在画钝角三角形的高时，教师给予学生适当的提醒．
【答案】
　　
【归纳】（1）锐角三角形的三条高都在三角形的内部．
（2）直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边．
（3）钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上．
【设计意图】通过让学生动手操作画三角形的高，加深学生对概念的理解．
二、典例精讲
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE分别是边BC，AC上的高，且AD＝6.5，求BE的长．
【师生活动】学生独立完成后，全班交流．
【答案】解：在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，已知AC＝8，BC＝6，AD＝6.5，根据三角形面积公式，得
，
即，
解得
【归纳】根据三角形面积公式求高：解决与三角形的高和面积有关的问题时，根据三角形面积公式可求得不同边上的高．
【设计意图】通过例1，让学生掌握运用三角形面积公式求高的方法．
【例2】如图，CD是△ABC的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD和△BCD的周长差．
【师生活动】学生独立完成后，全班交流．
【分析】根据CD是△ABC的中线，可得BD＝AD，在△ACD和△BCD中，CD是公共边，所以△ACD和△BCD的周长差就是AC和BC的差．
【答案】解：因为CD是△ABC的中线，所以BD＝AD，所以△ACD和△BCD的周长差为(AC＋CD＋AD)－(BC＋CD＋BD)＝AC－BC＝9－3＝6（cm）．
即△ACD和△BCD的周长差为6 cm．
【归纳】三角形中线常见的两个应用：
（1）根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角形的周长有关的问题；
（2）根据中线分三角形得面积相等的两部分，用于求解与面积有关的问题．
【设计意图】通过例2，让学生掌握运用三角形中线的相关知识解决三角形周长的问题．
【例3】如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
（1）AD是△_______和△_______的角平分线；
（2）试判断∠EAF与∠BAC的关系．
【师生活动】学生独立完成，然后教师讲解．
【分析】（1）根据∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4，所以AD是△AEF和△ABC的角平分线；
（2）根据∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可得∠2＋∠3＝∠1＋∠4，所以∠EAF＝∠BAC．
【答案】解：（1）AEF　　ABC
（2）因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
所以∠2＋∠3＝(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)，
即∠EAF＝∠BAC．
【归纳】三角形中边角的等量变换——沟通已知与未知的纽带：在判断角之间或线段之间的数量关系时，往往根据已知或隐含的相等关系进行等量变换，从而沟通已知与未知，这也体现了数学中的转化思想．
【设计意图】通过例3，让学生学会运用转化思想解决问题．
课堂小结