2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 1.1 空间向量及其运算 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 1.1 空间向量及其运算 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 114.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-21 16:28:38 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算
一、单项选择题
1.下列命题中正确的是（ ）
A. 的充要条件是A与C重合，B与D重合
B. 若，满足，则
C. 若空间向量，，则
D. 若空间向量，，则
2.在三棱柱中，（ ）
A. B. C. D.
3.若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式的运算结果不一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知空间向量，，不共面，，，，若A，C，D三点共线，则实数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.下列命题是真命题的是（ ）
A. 空间向量就是空间中的一条有向线段
B. 向量的模是一个正实数
C. 任一向量与它的相反向量都不相等
D. 向量与向量的长度相等
6.在四面体中，，，，D为的中点，E为的中点，则可用向量，，表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
7.下列命题中，正确的是（ ）
A. 零向量的方向是任意的
B. 空间中任意两个单位向量必相等
C. 若空间向量，满足，则
D. 在正方体中，必有
8.如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的任意两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A. 单位向量有8个
B. 与相等的向量有3个
C. 的相反向量有4个
D. 模为的向量有4个
9.如图，在长方体中，下列各式的运算结果为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.如图，在正六棱柱中，化简：______.
11.已知O为空间中任意一点，若A，B，D三点共线，，则实数______.
12.在长方体中，设，，则______.
四、解答题
13.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线，上，且，。求证：向量，，共面。
14.如图，在正方体中，点E在上，且，点F在上，且。求证：E，F，B三点共线。
15.在四棱柱中，，，，。证明：E，F，G，H四点共面。
一、单项选择题
1.答案：C
解析：
A错误：向量的充要条件是大小相等且方向相同，与起点、终点位置无关，无需A与C重合、B与D重合。
B错误：向量是“有向线段”，仅能比较模的大小，不能直接比较向量本身的大小。
C正确：向量相等具有传递性，若且，则。
D错误：若为零向量，且，但与可能不平行（零向量与任意向量平行，不传递方向）。
2.答案：C
解析：
利用向量运算法则化简：
由三角形法则，；又三棱柱侧棱相等且平行，，故：
3.答案：A
解析：逐一化简选项：
A：，结果不一定为零向量（如梯形中与不反向等长）。
B：，为零向量。
C：，为零向量。
D：，为零向量。
4.答案：C
解析：
由A、C、D共线，知，存在实数使得。
计算。
已知，由向量共线的系数对应相等：
解得，代入得，故。
5.答案：D
解析：
A错误：空间向量是“自由向量”，有向线段是其几何表示，二者不等同。
B错误：零向量的模为，非正实数。
C错误：零向量的相反向量是其本身（）。
D正确：与是相反向量，模（长度）相等。
6.答案：A
解析：
由中点性质用向量表示：
D为中点，故。
E为中点，故，且。
代入得：
二、多项选择题
7.答案：AD
解析：
A正确：零向量的方向是任意的，这是零向量的基本性质。
B错误：单位向量仅模为，方向不一定相同，故不一定相等。
C错误：仅说明模相等，方向可能不同，故与不一定相等。
D正确：正方体中与方向相同且模相等（面对角线平行且相等），故向量相等。
8.答案：ABC
解析：长方体中，，，：
A正确：单位向量（模为）为侧棱方向：，共个。
B正确：与相等的向量（方向相同、模为）：，共个。
C正确：的相反向量（方向相反、模为）：，共个。
D错误：模为的向量（）：，共个。
9.答案：AB
解析：设，，，则（或用坐标法验证）：
A：，正确。
B：，正确。
C：，错误。
D：，错误。
三、填空题
10.答案：
解析：化简原式：
（相反向量相加为零）；
，（正六棱柱对边相等）；
剩余项：（，侧棱相等）。
11.答案：
解析：由A、B、D共线，设（共线向量系数和为）。
题目条件：，即，整理得：
由系数和为：，解得。
12.答案：
解析：建立坐标系，设，则，，，。
计算向量：，。
模长：。
四、解答题
13.证明：
步骤1：建立空间直角坐标系
设为原点，为轴，为轴，为轴，设，，。
坐标：，，，，。
步骤2：求、坐标
在上，：，故。
在上，：，故。
步骤3：验证线性表示
，，。
设，解得，（系数对应相等）。
存在实数，故、、共面。
14.证明：
步骤1：建立坐标系（正方体棱长为）
坐标：，，，。
步骤2：求、坐标
在上，：。
在上，：，故。
步骤3：验证向量共线
，。
显然，即，且共点，故、、共线。
15.证明：
步骤1：向量表示点坐标
由，得（为任意原点）。
同理：，，。
步骤2：计算关键向量
，，。
步骤3：验证共面
底面中，，故。
可由、线性表示，故、、、共面。
第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算
一、单项选择题
1.下列命题中正确的是（ ）
A. 的充要条件是A与C重合，B与D重合
B. 若，满足，则
C. 若空间向量，，则
D. 若空间向量，，则
2.在三棱柱中，（ ）
A. B. C. D.
3.若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式的运算结果不一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知空间向量，，不共面，，，，若A，C，D三点共线，则实数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.下列命题是真命题的是（ ）
A. 空间向量就是空间中的一条有向线段
B. 向量的模是一个正实数
C. 任一向量与它的相反向量都不相等
D. 向量与向量的长度相等
6.在四面体中，，，，D为的中点，E为的中点，则可用向量，，表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
7.下列命题中，正确的是（ ）
A. 零向量的方向是任意的
B. 空间中任意两个单位向量必相等
C. 若空间向量，满足，则
D. 在正方体中，必有
8.如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的任意两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A. 单位向量有8个
B. 与相等的向量有3个
C. 的相反向量有4个
D. 模为的向量有4个
9.如图，在长方体中，下列各式的运算结果为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.如图，在正六棱柱中，化简：______.
11.已知O为空间中任意一点，若A，B，D三点共线，，则实数______.
12.在长方体中，设，，则______.
四、解答题
13.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线，上，且，。求证：向量，，共面。
14.如图，在正方体中，点E在上，且，点F在上，且。求证：E，F，B三点共线。
15.在四棱柱中，，，，。证明：E，F，G，H四点共面。
一、单项选择题
1.答案：C
解析：
A错误：向量的充要条件是大小相等且方向相同，与起点、终点位置无关，无需A与C重合、B与D重合。
B错误：向量是“有向线段”，仅能比较模的大小，不能直接比较向量本身的大小。
C正确：向量相等具有传递性，若且，则。
D错误：若为零向量，且，但与可能不平行（零向量与任意向量平行，不传递方向）。
2.答案：C
解析：
利用向量运算法则化简：
由三角形法则，；又三棱柱侧棱相等且平行，，故：
3.答案：A
解析：逐一化简选项：
A：，结果不一定为零向量（如梯形中与不反向等长）。
B：，为零向量。
C：，为零向量。
D：，为零向量。
4.答案：C
解析：
由A、C、D共线，知，存在实数使得。
计算。
已知，由向量共线的系数对应相等：
解得，代入得，故。
5.答案：D
解析：
A错误：空间向量是“自由向量”，有向线段是其几何表示，二者不等同。
B错误：零向量的模为，非正实数。
C错误：零向量的相反向量是其本身（）。
D正确：与是相反向量，模（长度）相等。
6.答案：A
解析：
由中点性质用向量表示：
D为中点，故。
E为中点，故，且。
代入得：
二、多项选择题
7.答案：AD
解析：
A正确：零向量的方向是任意的，这是零向量的基本性质。
B错误：单位向量仅模为，方向不一定相同，故不一定相等。
C错误：仅说明模相等，方向可能不同，故与不一定相等。
D正确：正方体中与方向相同且模相等（面对角线平行且相等），故向量相等。
8.答案：ABC
解析：长方体中，，，：
A正确：单位向量（模为）为侧棱方向：，共个。
B正确：与相等的向量（方向相同、模为）：，共个。
C正确：的相反向量（方向相反、模为）：，共个。
D错误：模为的向量（）：，共个。
9.答案：AB
解析：设，，，则（或用坐标法验证）：
A：，正确。
B：，正确。
C：，错误。
D：，错误。
三、填空题
10.答案：
解析：化简原式：
（相反向量相加为零）；
，（正六棱柱对边相等）；
剩余项：（，侧棱相等）。
11.答案：
解析：由A、B、D共线，设（共线向量系数和为）。
题目条件：，即，整理得：
由系数和为：，解得。
12.答案：
解析：建立坐标系，设，则，，，。
计算向量：，。
模长：。
四、解答题
13.证明：
步骤1：建立空间直角坐标系
设为原点，为轴，为轴，为轴，设，，。
坐标：，，，，。
步骤2：求、坐标
在上，：，故。
在上，：，故。
步骤3：验证线性表示
，，。
设，解得，（系数对应相等）。
存在实数，故、、共面。
14.证明：
步骤1：建立坐标系（正方体棱长为）
坐标：，，，。
步骤2：求、坐标
在上，：。
在上，：，故。
步骤3：验证向量共线
，。
显然，即，且共点，故、、共线。
15.证明：
步骤1：向量表示点坐标
由，得（为任意原点）。
同理：，，。
步骤2：计算关键向量
，，。
步骤3：验证共面
底面中，，故。
可由、线性表示，故、、、共面。