23.2相似图形
1.形状相同、大小不一定相同的图形叫做______，它们的对应角______，对应边______。
2.相似多边形对应边的比叫做_____，通常用字母______表示；若两个相似图形的相似比为 1，则这两个图形______。
1.下列图中，大小图形非相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个菱形
C．两个矩形 D．两个等边三角形
3. 两个下列图形必定互为相似形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形
4. 如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折．如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸片叫做“标准纸”，“标准纸”的宽和长的比值为_______．
5. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是_____．
6. 如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是___________．
7. 【易错题】下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似
A.1 B.3 C.2 D.4
8.已知矩形ABCD与矩形相似，它们的一组对应边的长分别为，那么矩形ABCD与矩形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为__________．
10. 下列命题：
①所有的等腰三角形都相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
③四个角对应相等的两个梯形相似；④所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
11. （1）用配方法解方程：；
（2）如图，已知四边形四边形，求，和的值．
12. 如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
13. 【推理能力】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．
14. 如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
15.【综合素质】如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
方法点拨：通过证全等及结合菱形、相似、勾股定理求GD。23.2 相似图形
答案解析
知识梳理
1. 答案：相似图形；相等；成比例
解析：相似图形的核心定义为 “形状相同、大小不一定相同”，其本质属性是对应角相等、对应边成比例，这是判断图形相似的基本依据。
2. 答案：相似比；k；全等
解析：相似比是相似多边形对应边的比值，常用字母 k 表示；当相似比为 1 时，对应边长度相等且对应角相等，图形完全重合，即全等，全等是相似的特殊形式。
A 基础达标
题目（大小图形非相似图形判断）
答案：（需结合具体图形，通常为形状差异显著的选项，如一组图形边的比例紊乱、内角不匹配或基本轮廓不同）
解析：相似图形需满足 “形状相同”，即对应角相等且对应边成比例。若选项中图形存在边无固定比例关系、内角度数不对应或图形类型不同（如直线图形与曲线图形），则为非相似图形。
题目（下列各组图形一定相似的是）
答案：D
解析：
A. 两个直角三角形仅直角相等，锐角可能不同（如 30°-60°-90° 与 45°-45°-90°），对应角不全等，对应边也未必成比例，故不一定相似；
B. 两个菱形四条边对应成比例，但内角可变化（如一个内角 60°，一个内角 90°），对应角不相等，故不一定相似；
C. 两个矩形四个角均为直角（对应角相等），但长和宽的比例可能不同（如长 4 宽 2 与长 3 宽 1），对应边不成比例，故不一定相似；
D. 两个等边三角形三个角均为 60°（对应角相等），三条边均相等（对应边成比例，比例为任意正数），满足相似图形的定义，故一定相似。
题目（两个下列图形必定互为相似形的是）
答案：C
解析：
A. 等腰三角形顶角可能不同（如顶角 30° 和顶角 120°），底角随之不同，对应角不相等，且对应边不一定成比例，故不一定相似；
B. 平行四边形内角可变化（如一个为矩形，一个为普通平行四边形），且邻边比例可不同，对应角和对应边均不一定满足相似条件，故不一定相似；
C. 正方形四个角均为 90°（对应角相等），四条边均相等（对应边成比例），任意两个正方形均满足相似条件，故必定相似；
D. 等腰梯形的腰长和上下底的比例可能不同（如一个上底 2 下底 4 腰 3，一个上底 1 下底 2 腰 2），对应边不成比例，故不一定相似。
题目（“标准纸” 的宽和长的比值为）
答案：
解析：设原矩形的长为a，宽为b。沿较长边的中点对折后，新矩形的长为b，宽为。由于两个矩形相似，对应边成比例，即。交叉相乘整理得，两边开方（边长为正数，取正根），可得。
题目（两个四边形相似，则 α 的度数是）
答案：70°
解析：相似四边形的对应角相等，且四边形内角和为 360°。已知其中三个对应角分别为 140°、80°、80°，则 α=360°-140°-80°-80°=60°？（此处需结合图形中角的对应关系调整，核心逻辑为 “相似→对应角相等 + 四边形内角和 360°”，若图中已知角含 70°，则按对应角计算）。
题目（两个形状相同的举重图案，则 x 的值是）
答案：8
解析：形状相同即图形相似，相似图形对应边成比例。由图可知 16cm 与 20cm、10cm 与xcm 为对应边，因此。交叉相乘得 16x=200，解得x=8。
题目（正确命题的个数为）
答案：A
解析：
①所有的正方形：四个角均为 90°，四条边对应成比例，满足相似条件，正确；
②所有的菱形：四条边成比例，但内角可能不同（如一个内角 60°，一个内角 120°），对应角不相等，不满足相似条件，错误；
③边长相等的两个菱形：边长相等则边成比例，但内角可能不同，对应角不相等，不满足相似条件，错误；
④对角线相等的两个矩形：对角线相等的矩形仅满足邻边平方和相等，但邻边比例可能不同（如长 6 宽 8 与长 5 宽），对应边不成比例，不满足相似条件，错误。
综上，仅 1 个正确命题，故选 A。
B 能力进阶
题目（矩形 ABCD 与矩形 A B C D 的相似比为）
答案：（需结合题目中明确的对应边长度计算，如对应边为 2 和 4，则相似比为 1:2；若对应边为 3 和 6，则相似比为 1:2 等，以题目给定的具体数值为准）
解析：相似比是相似图形对应边的比值，需先明确题目中指定的 “一组对应边”，再直接代入边长计算，注意比值顺序与两个矩形的对应关系保持一致。
题目（AD 的长为）
答案：
解析：设 AD 的长为x，因为剪去正方形 ABEF，AB=1，所以 FD=x-1，CD=AB=1。由于矩形 ECDF 与矩形 ABCD 相似，分两种对应情况讨论：
1. 当时（FD 对应 AB，CD 对应 AD）：代入得，整理得，解得（负根舍去）；
2. 当时：代入得，化简得，此方程无解。
因此，AD 的长为。
题目（正确命题的个数为）
答案：C
解析：
①所有的等腰三角形：顶角不同则底角不同，对应角不相等，不满足相似条件，错误；
②有一对锐角相等的两个直角三角形：直角相等，加上一对锐角相等，三个角均对应相等，满足相似条件，正确；
③四个角对应相等的两个梯形：仅角相等，对应边的比例未必相同（如上下底比 1:2 与 1:3），不满足相似条件，错误；
④所有的正方形：四个角均为 90°，四条边对应成比例，满足相似条件，正确。
综上，共 2 个正确命题，故选 C。
题目
（1）用配方法解方程
答案：
解析：
第一步，移项：将常数项移到等号右边，得；
第二步，配方：在等号两边同时加上一次项系数一半的平方（即），得；
第三步，化简：左边化为完全平方式，右边合并同类项，得；
第四步，开方：两边同时开平方，得；
第五步，求解：移项得。
（2）已知四边形 ABCD∽四边形 A B C D ，求 x、未知角度和未知边长的值
答案：（需结合图形中给出的对应角、对应边数据计算，例如 x = 某数值，未知角度 = 某度数，未知边长 = 某长度）
解析：相似四边形的性质为对应角相等、对应边成比例。首先，根据四边形内角和为 360°，结合已知对应角的度数，计算未知角的度数；其次，根据题目中给出的已知对应边的长度，列出比例式，求解 x 及未知边长。
题目（当 x 为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似）
答案：1.875
解析：广场外围的外矩形长为 100m，宽为 80m。两条纵向小路宽均为 1.5m，因此内矩形的宽为 80 - 2×1.5 = 77m；两条横向小路宽均为x，因此内矩形的长为 100 - 2x。由于两个矩形相似，对应边成比例，即。交叉相乘得 100×77 = 80×(100 - 2x)，化简得 7700 = 8000 - 160x，移项得 160x = 300，解得x=1.875。
题目（判断当 P、Q 运动多长时间能使矩形 CFNM 与矩形 AEFD 相似）
答案：2s 或s
解析：设运动时间为ts，由题意知，两动点速度均为 2cm/s，则 CM=2t，FN=2t。已知 AB=12，BC=16，结合图形可知 AE=CF=4（根据图中 E、F 为 AB、CD 上的定点位置），则 EF=BC=16，FD=CD - CF=12 - 4=8。矩形 CFNM 与矩形 AEFD 相似分两种对应情况：
1. 当时（CF 对应 AE，CM 对应 EF）：代入数据得，解得t=2；
2. 当时（CF 对应 EF，CM 对应 AE）：代入数据得，解得t=。
因此，当运动时间为 2s 或s 时，两个矩形相似。
题目
（1）求证：BF 平分∠ABC
解析：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD。
又∵EF∥AB，∴EF∥CD，且 EF∥AB，AD∥BC，因此四边形 ABEF 是平行四边形。
∵AE 平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE。
∵AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE（等角对等边）。
∵四边形 ABEF 是平行四边形且 AB=BE，∴四边形 ABEF 是菱形。
∵菱形的对角线平分一组对角，BF 是菱形 ABEF 的对角线，∴BF 平分∠ABC。
（2）若 AB＝6，且四边形 ABCD 与 CEFD 相似，求 BC 长
答案：3+3
解析：设 BC 的长为x，∵AB=6，且四边形 ABEF 是菱形，∴BE=AB=6，因此 CE=BC - BE=x - 6。
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=6，AD=BC=x。
∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF=AB=6，且四边形 CEFD 是平行四边形，故 CEFD 的边长为 CE=x-6，EF=6，FD=AD - AF=AD - AB=x-6，CD=6。
∵四边形 ABCD 与 CEFD 相似，对应边成比例，即。
代入数据得，整理得。
求解一元二次方程，得。
由于边长为正数，舍去负根，故 BC=3+3。
C 素养提升
题目
（1）求证：EB＝GD
解析：
∵菱形 AEFG∽菱形 ABCD，∴∠EAG=∠BAD，AE=AG，AB=AD（相似多边形对应角相等，对应边成比例，菱形四条边相等）。
∵∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB（等式的性质），∴∠EAB=∠GAD。
在△EAB 和△GAD 中，，∴△EAB≌△GAD（SAS 全等判定定理）。
∴EB=GD（全等三角形对应边相等）。
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求 GD 的长
答案：
解析：
连接 BD，交 AC 于点 O。∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，AB=2，∴AB=AD=2，△ABD 是等边三角形，AC 平分∠DAB，BD⊥AC。
∴BD=AB=2，BO=BD=1，∠BAO=30°。
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得 AO=。
∵菱形 AEFG 与菱形 ABCD 的相似比是:2，AB=2，∴，即 AE=。
∵点 E 在 CA 的延长线上，∴OE=OA + AE=。
在 Rt△BOE 中，由勾股定理得 EB=。
由（1）知 EB=GD，故 GD=。
