23.3 相似三角形的判定 答案解析
知识梳理
1. 答案：相似；预备
解析：为相似三角形判定预备定理，平行线截三角形两边形成的新三角形与原三角形相似。
2. 答案：对应相等；AA
解析：两组角对应相等则第三角必等，满足相似定义，即 “AA” 定理。
3. 答案：夹角；SAS
解析：两边成比例且夹角相等可判定相似，即 “SAS” 定理，强调 “夹角” 是关键。
4. 答案：成比例；SSS
解析：三边对应成比例的三角形形状相同，即 “SSS” 定理。
5. 答案：夹角
解析：“SAS” 定理中相等的角必须是成比例两边的夹角，否则不成立。
A基础达标
1. 答案：（根据△ABC 三边比例，选比例一致的选项）
解析：用勾股定理算各三角形三边比例，依 “SSS” 定理判断。
2. 答案：B
解析：①满足 “SAS” 相似；②③不满足判定条件，仅 1 个符合。
3. 答案：B（△BDC）
解析：等边三角形得角相等，加公共角，依 “AA” 定理判定相似。
4. 答案：（或、）
解析：结合对顶角，加角相等或边成比例可依 “AA” 或 “SAS” 判定。
5. 证明：
∵、，得；，得，依 “AA” 证相似。
6. 答案：B（①②④）
解析：①④依 “AA”、②依 “SSS” 相似，③不满足判定条件。
7. 答案：（选与△ABC 角或边比例匹配的选项）
解析：依 “AA” “SAS” 或 “SSS” 定理，结合已知边角判断。
8. 答案：30
解析：证△ABC∽△DEC（SAS），由相似比得结果。
9. 证明：
(1) 由△ABD∽△ACE 得，加公共角得；
(2) 得，加夹角相等，依 “SAS” 证△DAE∽△BAC。
10. 证明：
设边长得，加，依 “SAS” 证△ADQ∽△QCP。
11. 答案：（算网格中三角形三边比例，选比例一致的选项）
解析：用勾股定理算边长比，依 “SSS” 定理判断。
12. 答案：B
解析：算甲乙三角形三边比例，不相等，故不相似。
13. （1）答案：
（2）证明：（依完整条件）若加公共角，依 “SAS” 证相似。
14. 答案：40°
解析：由相似得角相等，结合已知角度计算。
15. （1）答案：（标网格中使三边比例匹配的 D 点）
（2）证明：算△ABC 与△ABD 三边比例，依 “SSS” 证相似。
B能力进阶
16. 答案：5
解析：证△ABE∽△ADC（AA），列比例式求解 AE。
17. 答案：
解析：证△AEF∽△CDF（AA），由相似比得 AF=AC。
18. 答案：或 3
解析：分△BFC∽△ABC 和△BFC∽△BAC 两种情况，列比例式求解。
19. 答案：或
解析：分△AMN∽△ABC 和△AMN∽△ACB 两种情况，依相似比求 MN。
20. 证明：
设边长得，加，依 “SAS” 证相似。
21. 证明：
算各边长度得，依 “SSS” 证相似。
C素养提升
22. （1）答案：，
（2）答案：
解析：分△ODE∽△AEF 和△ODE∽△AFE，列比例式，结合 t≤4 舍无效解。23.3相似三角形的判定（综合） 九 ·HS·上
23.3相似三角形的判定
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形______，这是相似三角形判定的______定理。
两角分别______的两个三角形相似，简称为 “______” 定理。
两边对应成比例且______相等的两个三角形相似，简称为 “______” 定理。
三边对应______的两个三角形相似，简称为 “______” 定理。
在运用 “SAS” 定理判定相似时，必须注意相等的角是成比例两边的______，而非对角。
知识点一 相似三角形的判定
1. 如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
对点训练
【易错题】2. 下列条件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定与相似的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知识点二 相似三角形的判定定理1
3. 如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________．
对点训练
5. 已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA
6. 如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
知识点三 相似三角形的判定定理2
7. [教材P67探索变式]如图，下列四个三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
8. 【北京石景山区二模】如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且．若测得的长为，则的长为____________m．
对点训练
9.已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：
（1）∠DAE=∠BAC；
（2）△DAE∽△BAC．
10. 如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：．
知识点四 相似三角形的判定定理3
11. 如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．无法确定
12. 有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断
对点训练
13. （1）计算：．
（2）如图，是的边上的一点，连接，已知．求证：．
14. 如图，已知，则的度数为_________．
15. 【福建泉州南安模拟】如图，A，B，C三点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上．
(1)请在图中标出点D，连接，，使得与相似；
(2)试证明上述结论．
16. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________.
17.如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，求的长．
18.将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则________．
19.如图，已知在ABC中，AB=，AC=2，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMIN与△ABC相似，求线段MN的长．
20. 如图，已知在正方形中，是上的一点，且，是的中点．求证：．
21.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：．
22.如图，在平面直角坐标系中，，过点B作x轴的垂线，垂足为A，过点B作y轴的垂线，垂足为C．点D从点O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；点E从点O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度的速度运动；点F从点B出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动．当点E运动到点A时，其余三点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标；
(2)若与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值．
方法点拨：结合坐标确定点的位置，利用相似三角形判定定理，分情况讨论求解。
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