23.3方差
一.知识目标:
1、方差:设把n个数据x1,x2,…,xn的平均数为,各个数据与平均数偏差的平方分别是(-)2,(-)2,…,(-)2。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差;
2、方差计算公式:S2 =[(-)2+(-)2+…+(-)2];
3、方差代表数据的波动性大小。在样本容量相同时,方差越大,数据的波动性越大;方差越小,数据的波动性就越小。21教育网
二.能力目标1:利用方差的计算公式计算一组数据的方差。
☆目标1突破:
1、典例分析:求下列各组数据的方差。
①5,3,7,8,2;
②71,69,72,74,66,65,70,73。(讨论:每个数先减去70,然后算一算看)
2、跟踪反馈:
(1)、数据15,23,17,18,22的方差是________;
(2)、某同学8次总成绩分别为422,421,412,418,416,425,427,411,则该同学8次总得分的方差为 。21cnjy.com
3、归纳总结:
(1)计算方差的步骤可概括为“先平均,后求差,平方后,再平均”;
(2)对于较大的数在计算方差时,可以先减去一个数,然后再计算方差,可以简便计算。注意:这样计算方差时,方差的值不变,但是平均数变了,新的平均数加上减去的数等于原平均数。【来源:21·世纪·教育·网】
三.能力目标2:在平均数相等或接近时,方差大波动大,方差小波动小。会根据实际问题合理选择方差的大小进行决策。21·世纪*教育网
☆目标2突破:
1、典例分析:
(1)甲、乙两人5次射击命中的环数如下:
甲:7 9 8 7 9 乙:7 8 9 8 8
计算得知甲、乙两人5次射击命中环数的平均数都是8环,甲命中环数的方差为0. 8,由此可知( )
A.甲比乙的成绩稳定 B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人成绩一样稳定 D.无法确定谁的成绩更稳定
(2)工厂欲招收一名技工,下表是对两名应聘者加工相同数量同一种零件的数据进行分析所得的结果,你认为录用哪位较好?( ) www.21-cn-jy.com
A.录用甲 B.录用乙 C.录用甲、乙都一样 D.无法判断录用甲、乙
2、同步练习:甲乙两个班举行电脑汉字输入比赛,参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表:
某同学分析上表后得出如下结论:①甲乙两班学生成绩平均水平相同;
②乙班优秀人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀);
③甲班的成绩的波动比乙班大,乙班成绩较稳定。
上述结论正确的是( )
A 1、2、3 B 1、2 C 1、3 D 2、3
四.拓展提升:
(1)一次数学测试,某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖):
那么被遮盖的两个数据依次是( )
A 80,2 B 80, C 78,2 D 78,
(2)已知一组数据x1,x2,…xn的方差是s2,则新的一组数据ax1+1,ax2+1,…axn+1(a为常数,a≠0)的方差是________ (用含a,s2的代数式表示).21·cn·jy·com
答案:
目标1突破
1、解:①因为:,所以:
②因为:,所以:
。
讨论:减去70后的新数是:1,,2,4,,,0,3,此时:
,再计算方差:
。与原来计算的结果相同。
2、(1)因为:,所以:
(2)因为:,所以:
每个数都减去420,后的新数为: 2, 1,,,, 5, 7,,
,
∴
目标2突破
1、(1)B;解析:由题意可计算乙的方差:
<
又∵ ,∴乙比甲的成绩稳定。故选B。
(2)B;解析:甲乙两人的平均成绩相同。甲的方差远大于乙的方差,说明乙比较稳定,应该录用乙。故选B。21世纪教育网版权所有
2、A;解析:由统计表可知:两班的平均字数相同,都是135字,因此①是正确的;
甲班的中位数是149,说明甲班最多有27名同学符合优秀的标准,乙班的中位数是151,则说明乙班至少有28名同学达到优秀标准,因此②是正确的;
甲班的方差是191,乙班的方差是110。191>110,因此乙班的成绩更稳定,③正确;故选A。2·1·c·n·j·y
拓展提升
23.3方差同步练习
1、(2015年湖南常德)某村引进甲乙两种水稻良种,各选6块条件相同的实验田,同时播种并核定亩产,结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩,方差分别为,,则产量稳定,适合推广的品种为 ( )
A 甲、乙均可 B 甲 C 乙 D 无法确定
2、(2016年云南)某校随机抽查了10名参加2016年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩,得到的结果如表:下列说法正确的是 ( )
成绩(分)
46
47
48
49
50
人数(人)
1
2
1
2
4
A 这10名同学的体育成绩的众数为50 B 这10名同学的体育成绩的中位数为48
C 这10名同学的体育成绩的方差为50 D 这10名同学的体育成绩的平均数为48
3、2016年四川广安)初三体育素质测试,某小组5名同学成绩如下所示,有两个数据被遮盖,如图:那么被遮盖的两个数据依次是 ( )
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
A 35,2 B 36,4 C 35,3 D 36,3
4、(2016年山东聊城)某体校要从四名射击选手中选拔一名参加省体育运动会,选拔赛中每名选手连续射靶10次,他们各自的平均成绩及其方差S2如表所示:
甲
乙
丙
丁
(环)
8.4
8.6
8.6
7.6
S2
0.74
0.56
0.94
1.92
如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛,则应选择的选手是 ( )
A 甲 B 乙 C 丙 D 丁21世纪教育网版权所有
5、(2016年江苏泰州)对于一组数据﹣1,﹣1,4,2,下列结论不正确的是 ( )
A 平均数是1 B 众数是﹣1 C 中位数是0.5 D 方差是3.5
6、一组数据8,9,10,11,12的方差是 。
7、(2016年湖北黄冈)需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测,其中质量超过标准的克数记为正数,不是标准的克数记为负数。现取8个排球,通过检测所得数据如下(单位:克):+1,-2,+1,0,+2,-3,0,+1,则这组数据的方差是 。
8、(2016年四川乐山)甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛,两人在相同条件下各射击10次,射击的成绩如图10所示.: 根据图中信息,回答下列问题:21教育网
(1)甲的平均数是 ,乙的中位数是 ;
(2)分别计算甲、乙成绩的方差,从计算结果分析,你认为哪位运动员的成绩更稳定?
答案:
1、B;解析:平均数相同时,方差越小越稳定。甲的方差小于乙的方差,说明甲的产量更稳定。故选B。
2、A;解析:10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多,众数为50;
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数,中位数为: ;
平均数:=48.6,
方差:[(46﹣48.6)2+2×(47﹣48.6)2+(48﹣48.6)2+2×(49﹣48.6)2+4×(50﹣48.6)2]
∴选项A正确,B、C、D错误。 故选:A.
3、B;解:∵这组数据的平均数是37,∴ 编号3的得分是:37×5﹣(38+34+37+40)=36;
被遮盖的方差是: [(38﹣37)2+(34﹣37)2+(36﹣37)2+(37﹣37)2+(40﹣37)2];
故选B.
4、B;解析:根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好,根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定,
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛,因此应选择乙参赛。故选:B
5、D;解析:这组数据的平均数是:(﹣1﹣1+4+2)=1;
﹣1出现了2次,出现的次数最多,则众数是﹣1;
把这组数据从小到大排列为:﹣1,﹣1,2,4,最中间的数是第2、3个数的平均数,则中位数是;这组数据的方差是: [(﹣1﹣1)2+(﹣1﹣1)2+(4﹣1)2+(2﹣1)2]=4.5;
则所给结论不正确的是D;故选D。
6、2;解析:,
∴。
7、2.5;解析:数据:+1,-2,+1,0,+2,-3,0,+1的平均数:,
∴。故答案为:2.5。
8、解:(1)8,7.5 ;解析:;
乙的10次成绩按大小排列为:7 、7、 7、 7、 7、 8、 9、 9、 9、 10。
∴中位数是:。
(2);
=
,∴乙运动员的射击成绩更稳定。