安徽省六安市独山中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 安徽省六安市独山中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 755.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-21 22:00:16 | ||
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文档简介
安徽省六安市独山中学2025-2026学年高二上学期开学考试
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.下面命题中，正确的是（ ）
.若，则 .若，则
.若，则 .若，则
3.函数的定义域为（ ）
. . . .
4.设，则（ ）
. . . .
5.不等式的解集是（ ）
. . . .
6.设，，，则的大小关系为（ ）
. . . .
7.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ③若，，则
其中正确命题的序号是（ ）
.①② .②③ .③④ .①④
8.设在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
.锐角三角形 .直角三角形 .钝角三角形 .不确定
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（ ）
. .
.是实数 .在复平面上对应的点在第二象限
10.下列叙述中，正确的有（ ）
.正弦定理的变式：
.余弦定理：
.球体体积公式为：
.棱台的体积公式为：
11.已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）
. .
. .在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 .
13.已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若垂直于内两条相交直线，则；
②若平行于，则平行于内所有的直线；
③若，且，则；
④若且，则；
⑤若，且，则.
其中正确命题的序号是 .
14.设函数，若，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数的图象过点.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明.
16.（15分）已知是正实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围.
17.（15分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值的大小.
18.（17分）在中，内角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
19.（17分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及最值；
（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由.
答案解析
一、选择题
1.D 解析：∵，∴.
2.D 解析：对于A，，但不一定同向，∴不一定相等，故A错误；
对于B，向量不能比较大小，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则长度相等，且方向相同，∴，故D正确.
3.C 解析：由，得，∴函数的定义域为.
4.D 解析：∵，
∴，∴.
5.C 解析：，即，即，故，
故解集为.
6.D 解析：∵在上递增，且，∴，
即，∵在上递增，且，
∴，即，∴.
7.B 解析：对于①，，，成立，可能平行，异面或者相交，故①错误；
对于②，由，，得，又，则，故②正确；
对于③，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则，
而，于是，，故③正确；
对于④，若，，可能平行，也可能相交，故④错误.
8.B 解析：∵，
∴由正弦定理可得，即，
∴，∴，，∴的形状为直角三角形.
二、选择题
9.ABC 解析：，∴，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
在复平面上对应的点在第四象限，故D错误.
10.ABC 解析：，则正弦定理的变式：，故A正确；
余弦定理：，故B正确；
球体体积公式为：，故C正确；
棱台的体积公式为：，故D错误.
11.BC 解析：对于A，∵，即不存在实数使，∴与不共线，故A不正确；
对于B，，，∴，故B正确；
对于C，∵，，∴，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D不正确.
三、填空题
12. 解析：设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得.
13.①④ 解析：对于①，由线面垂直的判断定理可知，若垂直于内的两条相交直线，则，故①正确；
对于②，若，如图1，
可知，与是异面关系，故②不正确；
对于③，若，且，无法得到，故无法得到，故③不正确；
对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若且，则，故④正确；
对于⑤，如图②，满足，且，则异面.
故⑤不正确；
故正确命题的序号是①④.
14. 解析：当时，，∴不满足题意；
当时，，解得，满足题意，∴.
四、解答题
15.解：（1）∵函数的图象过点，∴，∴.
（2）证明：∵函数的定义域为，
又，∴函数是奇函数.
16.解：①函数在区间上只有一个零点，
此时或，
解得或（舍）
②函数在在区间上有两个零点，此时，
解得或（舍）.
综上所述，如果函数在区间上有零点，那么实数的取值范围为.
17.解：（1）∵平面，平面，∴，
∵，，底面是矩形，
∴由勾股定理得，
∴底面是正方形，∴，
又，∴平面.
（2）∵平面，平面，∴，
又，，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，∴是平面和平面的夹角，
由于，，∴，∴，
∴平面和平面夹角的余弦值为.
18.解：（1）由，得，
∵在中，，∴，∵在中，，∴.
（2），∴，
由余弦定理得，
∴，∴，∴的周长为.
19.解：（1），
故，
当，即，函数有最大值为2；
当，即，函数有最小值为.
（2），
，∴函数为偶函数.
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.下面命题中，正确的是（ ）
.若，则 .若，则
.若，则 .若，则
3.函数的定义域为（ ）
. . . .
4.设，则（ ）
. . . .
5.不等式的解集是（ ）
. . . .
6.设，，，则的大小关系为（ ）
. . . .
7.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ③若，，则
其中正确命题的序号是（ ）
.①② .②③ .③④ .①④
8.设在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
.锐角三角形 .直角三角形 .钝角三角形 .不确定
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（ ）
. .
.是实数 .在复平面上对应的点在第二象限
10.下列叙述中，正确的有（ ）
.正弦定理的变式：
.余弦定理：
.球体体积公式为：
.棱台的体积公式为：
11.已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）
. .
. .在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 .
13.已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若垂直于内两条相交直线，则；
②若平行于，则平行于内所有的直线；
③若，且，则；
④若且，则；
⑤若，且，则.
其中正确命题的序号是 .
14.设函数，若，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数的图象过点.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明.
16.（15分）已知是正实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围.
17.（15分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值的大小.
18.（17分）在中，内角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
19.（17分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及最值；
（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由.
答案解析
一、选择题
1.D 解析：∵，∴.
2.D 解析：对于A，，但不一定同向，∴不一定相等，故A错误；
对于B，向量不能比较大小，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则长度相等，且方向相同，∴，故D正确.
3.C 解析：由，得，∴函数的定义域为.
4.D 解析：∵，
∴，∴.
5.C 解析：，即，即，故，
故解集为.
6.D 解析：∵在上递增，且，∴，
即，∵在上递增，且，
∴，即，∴.
7.B 解析：对于①，，，成立，可能平行，异面或者相交，故①错误；
对于②，由，，得，又，则，故②正确；
对于③，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则，
而，于是，，故③正确；
对于④，若，，可能平行，也可能相交，故④错误.
8.B 解析：∵，
∴由正弦定理可得，即，
∴，∴，，∴的形状为直角三角形.
二、选择题
9.ABC 解析：，∴，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
在复平面上对应的点在第四象限，故D错误.
10.ABC 解析：，则正弦定理的变式：，故A正确；
余弦定理：，故B正确；
球体体积公式为：，故C正确；
棱台的体积公式为：，故D错误.
11.BC 解析：对于A，∵，即不存在实数使，∴与不共线，故A不正确；
对于B，，，∴，故B正确；
对于C，∵，，∴，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D不正确.
三、填空题
12. 解析：设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得.
13.①④ 解析：对于①，由线面垂直的判断定理可知，若垂直于内的两条相交直线，则，故①正确；
对于②，若，如图1，
可知，与是异面关系，故②不正确；
对于③，若，且，无法得到，故无法得到，故③不正确；
对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若且，则，故④正确；
对于⑤，如图②，满足，且，则异面.
故⑤不正确；
故正确命题的序号是①④.
14. 解析：当时，，∴不满足题意；
当时，，解得，满足题意，∴.
四、解答题
15.解：（1）∵函数的图象过点，∴，∴.
（2）证明：∵函数的定义域为，
又，∴函数是奇函数.
16.解：①函数在区间上只有一个零点，
此时或，
解得或（舍）
②函数在在区间上有两个零点，此时，
解得或（舍）.
综上所述，如果函数在区间上有零点，那么实数的取值范围为.
17.解：（1）∵平面，平面，∴，
∵，，底面是矩形，
∴由勾股定理得，
∴底面是正方形，∴，
又，∴平面.
（2）∵平面，平面，∴，
又，，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，∴是平面和平面的夹角，
由于，，∴，∴，
∴平面和平面夹角的余弦值为.
18.解：（1）由，得，
∵在中，，∴，∵在中，，∴.
（2），∴，
由余弦定理得，
∴，∴，∴的周长为.
19.解：（1），
故，
当，即，函数有最大值为2；
当，即，函数有最小值为.
（2），
，∴函数为偶函数.
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